專題06常見三角形的旋轉(zhuǎn)模型(原卷版)

1、八下數(shù)學(xué)思維解法技巧培優(yōu)小專題專題6常見三角形的施碑樓生等邊三角形的旋轉(zhuǎn),ZADC【典例1】(2019鳳山縣期中)如圖，在等邊中，點。為ZUBC內(nèi)的一點，乙8=120°=90°，將HSZ)繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)60“得ZUCE,連接(1)求證：.1D=Z)E：(2)求NDCE的度數(shù)：(3)若 BD=1,求 CD 的長.【點撥】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)先判斷出力然是等邊三角形即可:(2)利用四邊形的內(nèi)角和即可求出結(jié)論：(3)先求出CD,再用勾股定理即可求出結(jié)論.【典例2】(2019金湖縣期末)問題背景：如圖設(shè)尸是等邊工3C內(nèi)一點，Rl=6,尸8=8, PC= 10.求

2、44P3的度數(shù).小君研究這個問題的思路是：將,4C尸繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到易證：APP是等邊三角形,尸8P是直角三角形，所以NWP3=NzlPP+N3尸P=1500.圖2圖3簡單應(yīng)用：(1)如圖2,在等腰直角ZU5C中，乙4c8=90'.尸為H3C內(nèi)一點，且E4 = 5,尸5=3,(2)如圖 3,在等邊J5C 中，P 為AABC 內(nèi)一點,且 E4 = 5,尸3=12,乙4P8=150° ,貝ij PC=拓展廷伸：如圖 4, ZABC= Z-£DC= 90° , AB=BC,求證：y/2BD=ADDC.若圖4中的等腰直角與RtAlDC在同例如圖5,若AD

3、=2, DC=4,請直接寫出他的長.圖4【點撥】簡單應(yīng)用：(1)先利用旋轉(zhuǎn)得出80'=/片=5, NPCP =90° , CP=CP=2五,再根據(jù)勾股定理 得出 取=2。=4,最后用勾股定理的逆定理得出48例是以8U為斜邊的直角三角形，即可得出結(jié)論：(2)同(1)的方法得出，進而得出/8%'=/初8- N/f"'=90° ,最后用勾股定理即可 得出結(jié)論：拓展廷伸：先利用旋轉(zhuǎn)得出87=8。CD'=AD,4BCD'=4BAD,再判斷出點。'在DC的延長線上，最 后用勾股定理即可得出結(jié)論；同的方法即可得出結(jié)論.S等腰直角三

4、角形的旋轉(zhuǎn)【典例3】（2020新賓縣二模）如圖，四邊形.138中，乙18C=N3C=45° ,將58繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點8的對應(yīng)點恰好與點,4重合，得到AWCE.（1）請求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）請判斷4E與m的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若,m=2, 8=3,試求出四邊形X3CZ）的對角線3。的長.【點撥】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得仇”且力如，可得8C=4C,即可求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)：（2）由全等三角形的性質(zhì)可得N。宓=N£4C,由直角三角形的性質(zhì)可求N/IM?=90° ,即可得4RL8D;（3）由勾股定理可求”的長，再由勾股定理可求彳右劭的長.一般等腰三角形的旋

5、轉(zhuǎn)【典例4 （2019武侯區(qū)期末）如圖，在ZU5c中，乙s。=90，將48C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到DEC,連接AD, BE,延長取交,10于點F.（1）求證：ZDEF= ZABF,（2）求證：尸為的中點：（3）若H8=8, ,4C=10, EEC±BC.求E產(chǎn)的長.【點撥】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可.（2）如圖1中，底ANIBF干N,。優(yōu)L8尸交81的延長線于 利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.（3）如國1中，界ANLBF干N, ZW_L8尸交81的延長線于W 想辦法求出血 取即可.【典例5】（2019漢川市期中）如圖，在RtZUBC中，ZC=90° , .4C=2, Z-

6、45C= 30°，點。為RtAX3C內(nèi)一點，連接1。.BO. CO,且N/OC=NCO8=N3Q4 = 1200.以點3為旋轉(zhuǎn)中心，將,403繞點8順時針方向旋轉(zhuǎn)60° ,得到&4'。' B連接。，求:（1）/OBO'的度數(shù):(2) Q4+O3+OC 的長.AfCB【點撥】（D根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論：（2）先判斷800'為等邊三角形，所以帥 =80, /BO0f =4B0f 0=60： 再證明點C、0、0,、A7 共線，從而得到4 0=0儕。濟0A,然后利用勾股定理計算4 C即可.1. （2019北京）在八43。中，BA=BC,

7、NA4C=a, M是,4C的中點，尸是線段3M上的動點，將線段24 繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PO.（1）若a = 60°且點尸與點可重合（如圖1）,線段。的延長線交射線于點。，請補全圖形，并 寫出NCD8的度數(shù)；（2）在圖2中，點尸不與點8,河重合，線段。的延長線于射線8M交于點。，猜想NCDB的大?。ㄓ煤琣的代數(shù)式表示），并加以證明;（3）對于適當大小的a,當點尸在線段AVf上運動到某一位置（不與點& M重合）時，能使得線段C。的延長線與射線氏以交于點。，且PQ=QD,請直接寫出a的范圍.2. （2019西湖區(qū)校級月考）將RtZXJBC繞點直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)90

8、76;后得到八49。，/片的延長線與AB交于點D,連接。C.求證：HBLTD求N4QC的度數(shù).3. （2019鹽田區(qū)校級期末）在RtAlSC中，ZBAC=90° .現(xiàn)有一塊足夠大的三角板，其直角頂點。是BC邊上一點，平分NR4C,兩直角邊分別交.18, ±7于點£ F.（1）當QEL括（如圖1）時，判斷四邊形尸的形狀，并說明理由.（2）將三角板繞點。旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖2）,求證：4E+H尸=夜3.4. （2019延慶縣一模）如圖1,已知：已知：等邊A15C,點。是邊8。上一點（點。不與點反點。重 合），求證：BD+DOAD.下而的證法供你參考：把MCD繞點乂順時

9、針旋轉(zhuǎn)60°得到入州區(qū) 連接 即，則有NCDgAlffE, DC=EB, ，4）=AE,NDAE=60° ,.,IDE 是等邊三角形，:.AD=DE.在QBE 中，BDEB>DE,即：BD+DOAD實踐探索：（1）請你仿照上面的思路，探索解決下而的問題：如圖3,點。是等腰直角三角形AIBC邊上的點（點。不與8、C重合）.求證：BD+DOVlW.（2）如果點。運動到等腰直角三角形外或內(nèi)時，BD、0c和之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 直接寫出結(jié)論.創(chuàng)新應(yīng)用：（3）已知：如圖4,等腰ZU5c中，- 18=KC,且NA/C=a （a為鈍角），。是等腰ZUBC外一點，且ZBDC+ZBAC=1SO° , BD、DC與，山之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明.圖1圖2圖3圖45. （2019和平區(qū)期末）已知，在 Rt4CUB 中，Zai8 = 90° ,乙鋁。=30° , 08=4.將繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60° .得到RtODC.點乂、3的對應(yīng)點分別為點。，C.連接3c.（I ）如圖，。的長=， N80C的大小= （度），N08C的大小= （度）：（II）動點M, N同時從點。出發(fā)，在AOCB邊上運動，動點“沿O-C-3路徑勻速運動，動點N沿 。一3-C路徑勻速運動，當兩點相遇時，運動停止.已知點M的運動速