第1章模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

1、 第第1章章 模態(tài)分析理論基模態(tài)分析理論基礎(chǔ)礎(chǔ)主講人：主講人：研究生課程研究生課程tjFetf)(tjXetx)(振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)離散系統(tǒng)（有限自由度）連續(xù)系統(tǒng)（無(wú)限自由度）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)空間角度空間角度時(shí)間角度時(shí)間角度空間離散的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)空間離散的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)n振動(dòng)分析的振動(dòng)分析的“理論路線理論路線”n物理模型物理模型以質(zhì)量、剛度和阻尼為參數(shù)的關(guān)于位移的振動(dòng)微分方程n模態(tài)模型模態(tài)模型一系列固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)阻尼系數(shù)和模態(tài)振型。n響應(yīng)模型響應(yīng)模型一系列響應(yīng)函數(shù)組成n在理論分析中，首先從物理模型開(kāi)始最終到非參數(shù)模型。n在實(shí)驗(yàn)分析中，首先從特性開(kāi)始，最終推求物理模型。)()()()(

2、tftxktxctxm 物理參數(shù)模型物理參數(shù)模型)()()()(tftxktxctxm 0 kxxm txtxtxsin)0(cos)0()()cos()(tAtx另一種形式另一種形式)cos(tAx)0()0(arctg)0()0(22xxxxA兩種形式描述的物兩種形式描述的物塊振動(dòng)，稱為無(wú)阻塊振動(dòng)，稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)，簡(jiǎn)稱尼自由振動(dòng)，簡(jiǎn)稱自由振動(dòng)。自由振動(dòng)。 無(wú)阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的無(wú)阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 初相位角 振 幅)()()()(tftxktxctxm 0kxxcxm 02kcm0222122, 1tAex衰減系數(shù)：固有頻率

3、：阻尼比：mc2mk122, 11. 1. 欠阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng)( (undercritically-damped system) )1dii222, 11)1()exp(sincos)(21ttAtAtxdd0kxxcxm 22, 11i)0(1xA dxxA)0()0(2)cos()exp()(ttAtxd2120020dxxxA0001tanxxxd)cos()exp()(ttAtxd1. 表示初始幅值為A的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)，振動(dòng)的周期為T(mén)d；2.阻尼對(duì)頻率或周期的影響；3.阻尼對(duì)振幅的影響；)/2exp(1dnnxx122, 12. 2. 臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)( (critical

4、ly-damped system) )121)exp()(tBtAtx122, 13. 3. 過(guò)界阻尼系統(tǒng)過(guò)界阻尼系統(tǒng)(over(overcritically-damped system) )1122, 1)exp(sincos)(ttBtAtxn設(shè)系統(tǒng)作用簡(jiǎn)諧激勵(lì)：設(shè)系統(tǒng)作用簡(jiǎn)諧激勵(lì)：n穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)：n穩(wěn)態(tài)速度響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)速度響應(yīng)：n穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)：( )ej tf tFej txXej txj X22()eej tj txjXX tjFetxktxctxm)()()( FXcjmk)(2振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程：n位移頻響函數(shù)位移頻響函數(shù): 為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)與激

5、勵(lì)幅值之比：為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)與激勵(lì)幅值之比：21( )XHFkmj c2( )VVjXjHFFkmj c22( )AAj VHFFkmj c 頻響函數(shù)頻響函數(shù)n 加速度頻響函數(shù)加速度頻響函數(shù)：n 速度頻響函數(shù)：速度頻響函數(shù)：n頻響函數(shù)的倒數(shù)稱為頻響函數(shù)的倒數(shù)稱為阻抗阻抗n位移阻抗：位移阻抗：n速度阻抗：速度阻抗：n加速度阻抗：加速度阻抗：2( )FZkmj cX( )VFkZcj mVj2( )AFkcZmAj 單自由度系統(tǒng)，承受單位脈沖荷載單自由度系統(tǒng)，承受單位脈沖荷載 (t)時(shí)，響應(yīng)為時(shí)，響應(yīng)為h(t)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）( )mxcxkxt單位脈

6、沖激勵(lì)可以用單位脈沖函數(shù)（狄拉克單位脈沖激勵(lì)可以用單位脈沖函數(shù)（狄拉克 函數(shù)）函數(shù)） 000)(ttt1)( dtt0) 0 (xmx/ 1) 0(temthdtdsin1)(脈沖響應(yīng)函數(shù)：脈沖響應(yīng)函數(shù)：)()()()(tftxktxctxm cimkH21)()()()(FHX定義：(1)簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出相量與輸入幅值之比。(2)瞬態(tài)激勵(lì)時(shí)，輸出的傅里葉變換與輸入的傅里葉變換之比。(3)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)時(shí)，輸出和輸入的互譜與輸入的自譜之比。dtethHti)()(dteHthti)(21)(n頻響函數(shù)頻響函數(shù)H( )是是脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)的傅里葉變換的傅里葉變換n若系統(tǒng)的激勵(lì)為

7、若系統(tǒng)的激勵(lì)為n已知此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為已知此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為n因此因此n脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)一樣是反映振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的量，頻脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)一樣是反映振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的量，頻響函數(shù)在頻域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性，而脈沖響應(yīng)函數(shù)在時(shí)域內(nèi)描響函數(shù)在頻域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性，而脈沖響應(yīng)函數(shù)在時(shí)域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性。述系統(tǒng)固有特性。( )( )*( )() ( )d() ( )dx th tf th tff thjj( )e( ) ettx tXHFj()j-j( )() ( )de( )de( )edttx tf thFhFh-j( )( )edHh( )( )h tH線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系線性

8、系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系( )ej tf tFn根據(jù)傅里葉變換時(shí)域卷積性質(zhì)，在時(shí)域的卷積在頻根據(jù)傅里葉變換時(shí)域卷積性質(zhì)，在時(shí)域的卷積在頻域應(yīng)為乘積域應(yīng)為乘積( )( )*( )x th tf t( )( ) ( )XHF單位力作用下單位力作用下的系統(tǒng)時(shí)域與的系統(tǒng)時(shí)域與頻域的響應(yīng)頻域的響應(yīng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵(lì)下，頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵(lì)的幅值之比的幅值之比( )XHF 瞬態(tài)激勵(lì)瞬態(tài)激勵(lì)f(t)下響應(yīng)為下響應(yīng)為x(t) ，一般可做傅里葉變換，一般可做傅里葉變換 系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵(lì)下的頻響函數(shù)定義為在響應(yīng)與激勵(lì)的傅里葉系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵(lì)下的頻響函數(shù)定義為在響

9、應(yīng)與激勵(lì)的傅里葉變換之比變換之比()F( )Ff t()F ( )Xx t( )( ) ( ) XHF 周期激勵(lì)周期激勵(lì)f(t)（周期為（周期為T(mén)）作用下，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為周期）作用下，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為周期T的函數(shù)的函數(shù)x(t)，都可寫(xiě)為傅里葉級(jí)數(shù)的形式都可寫(xiě)為傅里葉級(jí)數(shù)的形式系統(tǒng)在周期激勵(lì)下的頻響函數(shù)定義為在各倍頻點(diǎn)上穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵(lì)系統(tǒng)在周期激勵(lì)下的頻響函數(shù)定義為在各倍頻點(diǎn)上穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵(lì)的幅值之比的幅值之比( )XHF0022( )()e1()( )ejktkkTjktTkf tFFf tdtT0022( )()e1()( )ejktkkTjktTkx tXXx tdtT()() ()

10、 (1,2,)kkkXHFk 隨機(jī)振動(dòng)中，隨機(jī)振動(dòng)中，無(wú)論是激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào)都不能進(jìn)行傅里葉變換，只能無(wú)論是激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào)都不能進(jìn)行傅里葉變換，只能用概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)處理。頻響函數(shù)定義為輸出與輸入的互功率譜與用概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)處理。頻響函數(shù)定義為輸出與輸入的互功率譜與輸入的自功率譜之比輸入的自功率譜之比( )( ) ( )xfffGHGn由頻響函數(shù)表達(dá)式由頻響函數(shù)表達(dá)式n可得頻響函數(shù)復(fù)指數(shù)形式可得頻響函數(shù)復(fù)指數(shù)形式 21( )XHFkmj c22222112( )e , arctan1(1)4iHk 幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性 基本表達(dá)式基本表達(dá)式n頻響函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式：頻響函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形

11、式：n其中其中 ( )( )( )RIHHjH2222211( )(1)4RHk 實(shí)頻特性實(shí)頻特性虛頻特性虛頻特性222212( )(1)4IHk 直角坐標(biāo)表達(dá)式（復(fù)數(shù)形式）直角坐標(biāo)表達(dá)式（復(fù)數(shù)形式）對(duì)于任一對(duì)于任一 ，根據(jù)上式可計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的一對(duì)，根據(jù)上式可計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的一對(duì)HR( )、 HI( )值，值，從而得到復(fù)平面上的一條矢量。從而得到復(fù)平面上的一條矢量。 從從0變到變到，矢端將畫(huà)出變化，矢端將畫(huà)出變化過(guò)程的軌跡，該軌跡過(guò)程的軌跡，該軌跡近似近似為一個(gè)圓。（為一個(gè)圓。（Nyquist圖）圖）22211( )( )44RIHHkk 222212( )(1)4IHk 2222211( )(

12、1)4RHk 矢量表達(dá)式矢量表達(dá)式n頻響函數(shù)表示成矢量形式：頻響函數(shù)表示成矢量形式： jHiHHIRin其中其中)()()()(tftKtCtMxxx nnnnnnmmmmmmmmmM212222111211nnnnnncccccccccC212222111211nnnnnnkkkkkkkkkK2122221112110 xKxM)()(tt 頻率：頻率：tjetXx)(0XMK)(20MK2特解特解該方程有非零解的該方程有非零解的充要條件是其系數(shù)充要條件是其系數(shù)矩陣行列式為零矩陣行列式為零頻率方程頻率方程特征方程特征方程設(shè)無(wú)重根，解得設(shè)無(wú)重根，解得 的的n個(gè)互異正根個(gè)互異正根 0i，稱為無(wú)阻

13、尼系統(tǒng)的固有頻率。，稱為無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率。即即特征方程的特征值特征方程的特征值.對(duì)一個(gè)具有n個(gè)自由度的系統(tǒng)，可以得到一個(gè)關(guān)于頻率的n次代數(shù)方程，方程的n個(gè)根表示體系可能存在的n個(gè)振型對(duì)應(yīng)的頻率。具有最低頻率的陣型稱之為第一階振型，第二低頻率對(duì)應(yīng)的振型為第二階振型。0MK2n0020100 xKxM)()(tt 振型分析：振型分析：0XMK)(20XMKii)(201.特征向量，或振型，特征向量，或振型，一般用一般用i來(lái)表示；來(lái)表示；2.對(duì)對(duì)n自由度系統(tǒng)，自由度系統(tǒng)，n個(gè)個(gè)振型；振型；nnnnnnn21222121211121tjetXx)(模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣振型正交性：振型正交性：iiiMK

14、20jjjMK20iTjiiTjMK20jTijjTiMK200)(2020iTjjiM0iTjM0iTjK0iTjM當(dāng)當(dāng)i=j時(shí)，定義時(shí)，定義模態(tài)質(zhì)量模態(tài)質(zhì)量（主質(zhì)量）（主質(zhì)量）iTiimM0iTjK當(dāng)當(dāng)i=j時(shí)，定義時(shí)，定義模態(tài)剛度模態(tài)剛度（主剛度）（主剛度）iTiikMjikjiKjimjiiiTjiiTj00M振型正交性：振型正交性：第第j階模態(tài)慣性力在第階模態(tài)慣性力在第i階模態(tài)階模態(tài)運(yùn)動(dòng)中做功為零；第運(yùn)動(dòng)中做功為零；第j階模態(tài)階模態(tài)彈性力在第彈性力在第i階模態(tài)運(yùn)動(dòng)中做階模態(tài)運(yùn)動(dòng)中做功為零。功為零。模態(tài)質(zhì)量與模態(tài)剛度：模態(tài)質(zhì)量與模態(tài)剛度：iiTimMiiTikKiiiTiiTiimkM

15、K20)(00000021inTmdiagmmmM)(00000021inTkdiagkkkK模態(tài)質(zhì)量矩陣模態(tài)質(zhì)量矩陣模態(tài)剛度矩陣模態(tài)剛度矩陣頻響函數(shù)：頻響函數(shù)：)()()(tttfxKxM FX )(2MKniiiTiimk12)(HMKH21)(頻響函數(shù)矩陣頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展式的模態(tài)展式tjXetf)(脈沖響應(yīng)函數(shù)：脈沖響應(yīng)函數(shù)：niiTiiimHth122011)()(-FniiiTiimk12)(H多自由度粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：多自由度粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程： ( )MxCxKxf t CMK1 nrrrxq111 ( )nnnrrrrrrrrrMqCqKqf t, 1,2,iqi

16、n其中：其中：進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè)物理坐標(biāo)系中矢量進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè)物理坐標(biāo)系中矢量x在模態(tài)坐標(biāo)系中在模態(tài)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：的坐標(biāo)為：nms第第s階模態(tài)質(zhì)量階模態(tài)質(zhì)量nks第第s階模態(tài)剛度階模態(tài)剛度ncs第第s階模態(tài)阻尼系數(shù)階模態(tài)阻尼系數(shù)nqs第第s階模態(tài)坐標(biāo)階模態(tài)坐標(biāo)111 ( )nnnrrrrrrrrrMqCqKqf t ( )Tsssssssm qc qk qf tssscmk ( ) ej tf tFej tssqQ左乘左乘 sT令令 則 n不考慮起始條件，可得位移響應(yīng)：不考慮起始條件，可得位移響應(yīng)：22()e e j tTj tsssssTsssssmj ck QFFQmj ck11 ee

17、nnj tj trrrrrrxXqQ12211 TnnrrrrrrrrrnXXXQFmj ckX2211 12TTnnrrrrrrrrrrrrrFFXmj ckkj rr21 12TnrrrrrFXkj 21 12rrrYkj 1 nTrrrrXHYF位移響應(yīng)位移響應(yīng)頻響函數(shù)頻響函數(shù)211( )NNirjrijrirjrrrrrrHYkmj c 物理意義為：在物理意義為：在j點(diǎn)作用單位力時(shí)，在點(diǎn)作用單位力時(shí)，在i點(diǎn)點(diǎn)引起的響應(yīng)引起的響應(yīng)頻響函數(shù)頻響函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)：脈沖響應(yīng)函數(shù)：脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅氏變換脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅氏變換 頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系n頻響函數(shù)矩陣中任一行

18、為頻響函數(shù)矩陣中任一行為 如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)i點(diǎn)拾振，輪流激勵(lì)所有點(diǎn)，即點(diǎn)拾振，輪流激勵(lì)所有點(diǎn)，即可求得可求得H中的一行。中的一行。（單點(diǎn)拾振法單點(diǎn)拾振法）1211211221 NTiiiNrirrrNrirrrNrrNirrrNrrrrrHHHYYkmj c n頻響函數(shù)矩陣中任一列為頻響函數(shù)矩陣中任一列為 如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)j點(diǎn)激振，在其他各點(diǎn)拾振，即點(diǎn)激振，在其他各點(diǎn)拾振，即可求得可求得H中的一列。（中的一列。（單點(diǎn)激勵(lì)法單點(diǎn)激勵(lì)法）111222211 jrrNNjjrrrrjrrrrrrNrNrNjHHYkmj cH 頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系 頻響函數(shù)圖像頻響函數(shù)圖像n頻響函數(shù)表達(dá)式頻響函數(shù)表達(dá)式 n頻響函數(shù)的圖像可以看作為一系列單自由度系統(tǒng)的頻響頻響函數(shù)的圖像可以看作為一系列單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)曲線的迭加。函數(shù)曲線的迭加。2111( )NNNirjrijrirjrrijrrrrrrHYHkmj c 1234523456F11234512345123451234512345模態(tài)階數(shù)模態(tài)階數(shù)12345頻率(Hz)34.4994100.6979 158.7263203.88