一維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度ppt課件

1、一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布三、小結(jié)三、小結(jié)第第2.32.3節(jié)一維連續(xù)型隨機(jī)變量節(jié)一維連續(xù)型隨機(jī)變量 及其概率密度及其概率密度性質(zhì)性質(zhì). 0)(,)1( xpx對任意的對任意的. 1d)()2(xxp證明證明 (2) ttpFxxd)(lim)(1.,)(,d)()(),(,)(簡簡稱稱概概率率密密度度率率密密度度函函數(shù)數(shù)的的概概稱稱為為其其中中為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則稱稱有有使使對對于于任任意意實實數(shù)數(shù)非非負(fù)負(fù)可可積積函函數(shù)數(shù)若若存存在在的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為，為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)Xxp

2、XttpxFxxpXxFXx 一、概率密度的概念與性質(zhì)一、概率密度的概念與性質(zhì)1.定義定義.d)(xxp11d)(xxpSxxpxd)( 2證明證明.d)(xxpxx 21 )()(12121221xFxFxXPxXPxXxXPxXxPxxpxd)( 1xxp0)( 211221xxdxxpxFxFxXxP)()()() 3().()(,)()(xpxFxxp 則則有有處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若4)(aFaXP ,d)(xxpa 1aXPaXP xxpxxpad)(d)()(1aF .d)(xxpa同時得以下計算公式同時得以下計算公式(5)PX=a=0.由于由于PX=a=F(a)-F(a-0),

3、而而F(x)在在R上連續(xù)上連續(xù),所以所以PX=a=0.證證:由此可得由此可得連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)bXaP bXaP bXaP bXaPbadxxp)(1s1Sa b xxp0)( 不可能事件的概率一定為不可能事件的概率一定為0,而概率為而概率為0的事件不一定是不可能事件的事件不一定是不可能事件., 0 aXP注意注意是可能發(fā)生的顯然aX 若若X是連續(xù)性隨機(jī)變量是連續(xù)性隨機(jī)變量,那那么么 是是 是某連續(xù)性隨機(jī)變量是某連續(xù)性隨機(jī)變量X的密度函數(shù)的充要條件的密度函數(shù)的充要條件.1)(; 0)(,dxxpxpRx)(xp事實上事實上:.)(;)(;)

4、(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量設(shè)設(shè)解解, 1d)() 1 (xxp由例例1 1的的概概率率密密度度為為知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得得由xttpxFd)()(當(dāng)當(dāng) 時時 ,0 x00)(xdtxF30 x當(dāng)當(dāng) 時時 ,43 x當(dāng)當(dāng) 時時 ,當(dāng)當(dāng) 時時 ,4xxdttpxF)()(xdttdt0060122x3030d)22(d60)(xttttdtxF4232xx4343

5、0002260)(xdtdttdttdtxF1 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布).,(,),(,)(baUXbaXbxaabxpX記為記為區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 011. 均勻分布均勻分布boaxp )(概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數(shù)分布函數(shù)xo)(xF a b 1均勻分布分布

6、函數(shù)圖形演示均勻分布分布函數(shù)圖形演示例例3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現(xiàn)現(xiàn)對對 X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測進(jìn)行三次獨(dú)立觀測 ,試求至少有兩次觀測值試求至少有兩次觀測值大于大于3 的概率的概率. X X 的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 .,)(其它其它05231xxp設(shè)設(shè) A 表示表示“一次觀測中一次觀測中X的值大于的值大于 3 ”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有設(shè)設(shè)Y 表示表示3次獨(dú)立觀測中觀測值大于次獨(dú)立觀測中觀測值大于3的次數(shù)的次數(shù),那么那么., 323BY32132223C033332132C3)( XPAP由由于于

7、,32d3153 x.,.,)(分布分布的指數(shù)的指數(shù)服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義XxxexpXx0000 2. 指數(shù)分布指數(shù)分布指數(shù)分布密度指數(shù)分布密度函數(shù)圖形演示函數(shù)圖形演示)(xp3121 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如例如無線電元件的壽命無線電元件的壽命 , 電力設(shè)備的壽命電力設(shè)備的壽命, 動物的壽動物的壽命等都服從指數(shù)分布命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景分布函數(shù)分布函數(shù) . 0, 0, 0,1)(xxexFx 指數(shù)分布分布函數(shù)圖形演示指數(shù)分布分布函數(shù)圖形演

8、示3121例例4 4 設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為=1/2000=1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布( (單位單位: :小時小時) )(1)(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, , 求能正常使用求能正常使用10001000小時以小時以上的概率上的概率. . (2) (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 1000 小時以小時以上上, ,求還能使用求還能使用10001000小時以上的概率小時以上的概率. . .,)(000120001xxexFxX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解1000)1( XP10001 X

9、P)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性無記憶性”.).,(,)0(,21)(22)(22NXXxexpXx記為的正態(tài)分布或高斯分布服從參數(shù)為則稱為常數(shù)其中的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)高斯資料高斯資料圖形演示圖形演示)(xp正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對對稱稱曲曲線線關(guān)關(guān)于于x ;)(

10、,)(xpx212取取得得最最大大值值時時當(dāng)當(dāng) ;)(,)(03 xpx時時當(dāng)當(dāng);)4(處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線在曲線在x )(xp;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時的大小時改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xxp;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x)(xp)(xp.,)(,)7(圖圖形形越越矮矮越越胖胖越越大大圖圖形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形狀狀在在改改變變不不變變圖圖形形的的對對稱稱軸軸的的大大小小時時改改變變當(dāng)當(dāng)固固定定xp正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示)(xp正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)texFxtd21

11、)(222)( 正態(tài)分布分布函數(shù)圖形演示正態(tài)分布分布函數(shù)圖形演示 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 正態(tài)分布下的概率計算正態(tài)分布下的概率計算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計算軟件包計算(演示演示)方法二方法二:

12、轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計算).1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正這這樣樣時時中中的的當(dāng)當(dāng)正正態(tài)態(tài)分分布布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,21)(22 xexx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,d21)(22 xtexxt 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例6 6 . 0828. 0 ).(1)(:),

13、1 , 0(xxXPxNX證明已知證證dtexXPxtx2221)()(duedueuxux22222121)(1)(1)(xxXPxXPutxx).1 , 0(),(2NXZNX 則則若若引引理理證明證明的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故解解textd21222)(, ut令ueuxd2122)(xXPxFueuxd2122.)(),(),(2xxFxFXNX證明的分布函數(shù)為已知例例7 7. x證畢證畢)()(cFdFdXcP 因因而而. cd . cddXcP 即

14、即例例 知知)4 , 1 ( NX,求求)2(XP解解:)2(XP)2(1XP)2(1F)212(1)5 . 1(1)5 . 1 (9332. 0.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量的值的值系數(shù)系數(shù)求求的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例(其中其中 )0aBAaxBAxFaFaxax2arcsinlim)(lim0)(故有故有解解 (1) 因為因為 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量, 11lim)(lim2arcsin)(axaxxFBAaaBAaF,)(連續(xù)連

15、續(xù)所以所以xF.1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxp 的概率密度為的概率密度為隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X)3(., 0,122其它axaxa.0244,)5 , 0(2有有實實根根的的概概率率求求方方程程上上服服從從均均勻勻分分布布在在設(shè)設(shè) kkxxk解解,12有有實實根根時時或或即即 kk,0)2(16162時時當(dāng)當(dāng) kk則有實根的概率為則有實根的概率為.53d5152 x例例3 3分布函數(shù)分布函數(shù)概率密度概率密度三、小結(jié)三、小結(jié)2. 常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 xttp