函數(shù)極限連續(xù)2PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)極限連續(xù)函數(shù)極限連續(xù)2 如果按照某一法則，對每一個正整數(shù)，對應(yīng)著一個確定的實(shí)數(shù)xn，xn按下標(biāo)由小到大排列得一序列 就叫做無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記做xn.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，第n項xn叫做數(shù)列的一般項（通項）. ，nxxxx321第1頁/共39頁數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念 如果數(shù)列xn，當(dāng)n無限增大時，數(shù)列xn的取值無限接近常數(shù)a，就稱a 是xn當(dāng)n 時的極限，記作 如果數(shù)列沒有極限，稱數(shù)列是發(fā)散的第2頁/共39頁 1. 收斂數(shù)列xn的極限是唯一的 2.收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂。 3.無界數(shù)列必定發(fā)散 4.收斂數(shù)列的極限有的可以達(dá)到，有的不能達(dá)到。例如，

2、常數(shù)列可以達(dá)到它的極限。收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)第3頁/共39頁1）自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限第4頁/共39頁2）自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第5頁/共39頁3）左、右極限第6頁/共39頁第7頁/共39頁函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)第8頁/共39頁函數(shù)極限的運(yùn)算函數(shù)極限的運(yùn)算1）無窮小、無窮大無窮小的定義第9頁/共39頁無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個無窮小的和也是無窮小性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小第10頁/共39頁無窮大第11頁/共39頁無窮小的比較第12頁/共39頁第1

3、3頁/共39頁2）極限的四則運(yùn)算法則第14頁/共39頁第15頁/共39頁3）兩個準(zhǔn)則第16頁/共39頁第17頁/共39頁4）兩個重要極限第18頁/共39頁第19頁/共39頁連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念1）增量的概念三、函數(shù)的連續(xù)性第20頁/共39頁2）連續(xù)的定義第21頁/共39頁3）左連續(xù)、右連續(xù)的定義第22頁/共39頁;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)為為并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)則則稱稱要要有有一一個個不不滿滿足

4、足如如果果上上述述三三個個條條件件中中只只xfxxxf函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)第23頁/共39頁1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第24頁/共39頁2.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左

5、處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy第25頁/共39頁解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為

6、第一類間斷點(diǎn). .特特點(diǎn)點(diǎn).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x第26頁/共39頁3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間第27頁/共39頁例例.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf

7、解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個別的幾個點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個別的幾個點(diǎn).第28頁/共39頁連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算第29頁/共39頁第30頁/共39頁初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性第31頁/共39頁定義:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間對于在區(qū)間Ixfxf

8、xfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y第32頁/共39頁 ( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小值的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.第33頁/共39

9、頁xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy ( (有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf第34頁/共39頁.),(0)(內(nèi)至少存在一個實(shí)根內(nèi)至少存在一個實(shí)根在在即方程即方程baxf 第35頁/共39頁 ( (介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )

10、( 及及 Bbf )(, , 那末，對于那末，對于A與與B之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得Cf )( )(ba . . 第36頁/共39頁幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個交點(diǎn)至少有一個交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 第37頁/共39頁推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1111.)1 , 0(01423至少有一根至