第11章 對策論

1、10.10.對策論對策論 1.1.概述概述 1對策模型對策模型 研究兩個或兩個以上的參加者在某種對抗性或競爭性的場合下各自作出決策，使自己的一方得到盡可能最有利的結(jié)果。 帶有競爭性質(zhì)的現(xiàn)象，稱為對策現(xiàn)象。日常生活中：在政治方面：正經(jīng)濟領(lǐng)域內(nèi)：齊王賽馬 10.10.對策論對策論 1.1.概述概述 1對策模型對策模型 2對策現(xiàn)象的三個基本要素對策現(xiàn)象的三個基本要素 局中人:決策者,利益得失者,不是公證人、馬、謀士等，可以是團體、國家等；聰明的，有理智的；把那些利益完全一致的參加者們看作一個局中人；兩人,多人,結(jié)盟,不結(jié)盟10.10.對策論對策論 1.1.概述概述 1對策模型對策模型 2對策現(xiàn)象的三

2、個基本要素對策現(xiàn)象的三個基本要素 局中人:策略:自始至終的行動方案；把局中人的策略全體，稱做這個局中人的策略集合；例如，在齊王與田忌賽馬的例子中，如果開始就要把各人的三匹馬排好次序，然后依次出賽。各局中人都有六個策略：(1)(上、中、下)，(2) (上、下、中)(3)(中、上、下)(4)(中、下、上)，(5) (下、中、上)， (6) (下、上、中)。這個策略全體就是局中人的策略集合。 有限,無限 10.10.對策論對策論 1.1.概述概述 1對策模型對策模型 2對策現(xiàn)象的三個基本要素對策現(xiàn)象的三個基本要素 局中人:策略:得失: 一局對策結(jié)束時，每個局中人的“得失”是全體局中人所取定的一組策略

3、的函數(shù)。通常稱為“支付函數(shù)”。 從每個局中人的策略集中各取個策略，組成的策略組，稱作“局勢”。“得失”是“局勢”的函數(shù)。 如果全體局中人的“得失”相加總是等于零時，這個對策就稱為零和對策。否則稱為“非零和對策”。 10.10.對策論對策論 1.1.概述概述 1對策模型對策模型 2對策現(xiàn)象的三個基本要素對策現(xiàn)象的三個基本要素 3對策模型的分類對策模型的分類10.10.對策論對策論 2.2.矩陣對策（矩陣對策（Matrix Games） 1定義：定義： 有限二人零和對策，即參加對策的局中人只有兩個，而每有限二人零和對策，即參加對策的局中人只有兩個，而每個局中人都有有限個可供選擇的策略。而且在任一局

4、勢中，兩個局中人都有有限個可供選擇的策略。而且在任一局勢中，兩個局中人的得失之和總等于零（一個局中人的所得即為另一個個局中人的得失之和總等于零（一個局中人的所得即為另一個局中人的所失）。局中人的利益是沖突的，也稱為對抗對策。局中人的所失）。局中人的利益是沖突的，也稱為對抗對策。2.2.矩陣對策（矩陣對策（Matrix GamesMatrix Games）例例1 1：配錢幣游戲：配錢幣游戲： 兩個局中人兩個局中人1 1和和2 2各出示一枚錢幣，在不讓對方看見的情況各出示一枚錢幣，在不讓對方看見的情況下，將錢幣下，將錢幣放放在卓上，若兩個錢幣都呈正面或都呈反面，則局在卓上，若兩個錢幣都呈正面或都呈

5、反面，則局中人中人1 1得得1 1分，局中人分，局中人2 2得得-1-1分。若兩個錢幣一正一反，則局中分。若兩個錢幣一正一反，則局中人人2 2得得1 1分。分。可用一個可用一個支付矩陣支付矩陣表示表示. . 局中人2局中人11（正）2（反）1（正）1-12（反）-112.2.矩陣對策（矩陣對策（Matrix GamesMatrix Games）例例2 2：“石頭石頭 、剪刀、布、剪刀、布”游戲游戲 局中人局中人2 2局中人局中人1 11 1（石頭）2 2（剪刀）（剪刀）3 3（布）（布）1 1（石頭）0 01 1-1-12 2（剪刀）（剪刀）-1-10 01 13 3（布）（布）1 1-1-1

6、0 02.2.矩陣對策（矩陣對策（Matrix GamesMatrix Games）例例3 3：局中人局中人1 1從從p=0,1,2,3p=0,1,2,3四個數(shù)中選出一個數(shù)，局中人四個數(shù)中選出一個數(shù)，局中人2 2在不知在不知道局中人道局中人1 1出什么數(shù)的情況下從出什么數(shù)的情況下從q=0,1,2q=0,1,2三個數(shù)中選出一個數(shù)。局三個數(shù)中選出一個數(shù)。局中人中人1 1得到的支付由下支付函數(shù)確定：得到的支付由下支付函數(shù)確定： P=p(q-p)+q(q+p) P=p(q-p)+q(q+p) 或或 P=qP=q2 2-p-p2 2+2pq+2pq 局中人局中人2 2 q q局中人局中人1 1 p p0

7、 01 12 20 00 01 14 41 1-1-12 27 72 2-4-41 18 83 3-9-9-2-27 72.2.矩陣對策（矩陣對策（Matrix GamesMatrix Games）2 2數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 設(shè)局中人設(shè)局中人1 1有有m m個純策略個純策略1 1,2 2, ,m m; ;記集合為記集合為S S1 1=1 1,2 2, ,m m 。同樣，局中人同樣，局中人2 2有有n n個純策略，集合為個純策略，集合為S S2 2=1 1,2 2, ,n n 支付矩陣（或贏得矩陣）支付矩陣（或贏得矩陣）: :局中人贏得矩陣為：局中人贏得矩陣為： mnmmnnaaaaaaaaaA.2

8、121222111211對策模型記為：S1,S2,A 2.2.矩陣對策（矩陣對策（Matrix GamesMatrix Games）2 2數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 如齊王賽馬： S1=(上、中、下),(上、下、中),(中、上、下),(中、下、上),(下、中、上),(下、上、中) S=(上、中、下),(上、下、中),(中、上、下),(中、下、上),(下、中、上),(下、上、中)田忌的支付（贏得）矩陣為-A311111131111113111111311111131111113A3 3最優(yōu)純策略最優(yōu)純策略例例4 4 對于一個矩陣對策I,S1,S2,A，其中S1=1,2,3,4，S2=1,2,3 求雙方的最

9、優(yōu)策略。解解 由A可以看出，局中人I的最大贏得是16，就是說局中人I十分希望自己取得16，就會出3加入博弈。然而，局中人也在考慮，因為局中人I有出3的心理狀態(tài)，于是局中人就想出3進行博弈，這樣不僅不能使I得到16，反而要輸9(即贏得-9)。同樣，I也會這樣想，有出3的心理狀態(tài)，于是I就會出2，結(jié)果不但得不到9，反而要輸5。同樣，如果I出2，則會出2，使I的贏得達到最小2。而對于I來說，如果出2，I的最優(yōu)策略仍然是2，可獲得最大贏得值2。2和2分別是雙方的最優(yōu)策略，a22=2稱為矩陣博弈G的值。它是第2行中最小值，也正好是第2列中的最大值。 4049116523715A3 3最優(yōu)純策略最優(yōu)純策略

10、 對于給定的S1,S2,A,局中人1希望支付值越大越好，局中人2希望支付值越小越好。 局中人1可選擇i，使他得到的支付不少于： 局中人2可以選擇j，保證他失去的支付不大于:ijnjmia11minmaxijminja11maxminijminjijnjmiaa1111maxminminmax容易證明: 局中人2局中人11（正）2（反）1（正）1-12（反）-11例1：配錢幣游戲：-113 3最優(yōu)純策略最優(yōu)純策略-11例例2 2：“石頭石頭 、剪刀、布、剪刀、布”游戲游戲 局中人局中人2 2局中人局中人1 11 1（石頭）2 2（剪刀）（剪刀）3 3（布）（布）1 1（石頭）0 01 1-1-1

11、2 2（剪刀）（剪刀）-1-10 01 13 3（布）（布）1 1-1-10 03 3最優(yōu)純策略最優(yōu)純策略0=0例例3 3： 局中人局中人2 2 q q局中人局中人1 1 p p0 01 12 20 00 01 14 41 1-1-12 27 72 2-4-41 18 83 3-9-9-2-27 73 3最優(yōu)純策略最優(yōu)純策略齊王賽馬：311111131111113111111311111131111113A-11 , x1+x2=7, x1 +x3=5, x2+x3=4 滿足上式的解有無窮多個，如（5,3,2），(4,3,3). 4.4.合作對策合作對策設(shè)V(S)為集合S中元素合作的收益，則：

12、A：V(A,B,C)-V(B,C)=10-4=6, V(A,B)- V(B)=6, V(A,C)-V(C)=4B：V(A,B,C)-V(A,C)=5, V(A,B)-V(A)=6, V(B,C)-V(C)=3C：V(A,B,C)-V(A,B)=3, V(A,C)-V(A)=4, V(B,C)-V(B)=3方案: A B C AB AC BC ABC 效益: 1 1 1 7 5 4 10 A，B，C的總貢獻為的總貢獻為:16,14,10,因此因此x1:x2:x3=:16:14:10, 且且x1+x2+x3=10,得：得：x1=10*16/(16+14+10)=4, x2=10*14/40=3.5

13、, x3=10*10/40=2.5 n n人合作對策模型人合作對策模型Shaplay公理公理: : 設(shè)（設(shè)（I，v）給定的一個給定的一個n人合作博弈，則由人合作博弈，則由v決定決定的一個分配應(yīng)滿足：的一個分配應(yīng)滿足： 1). 合作獲利對每個人的分配與賦予他的記號合作獲利對每個人的分配與賦予他的記號i無關(guān)無關(guān); 2). 各人分配之和等于合作獲利各人分配之和等于合作獲利; 3). 如果如果i對于每一個他參加的合作都沒有貢獻，那么對于每一個他參加的合作都沒有貢獻，那么他不應(yīng)從全體的合作獲利中得到報酬他不應(yīng)從全體的合作獲利中得到報酬; 4). 當當n人同時進行兩項合作時，每人獲利可分兩項合作人同時進行

14、兩項合作時，每人獲利可分兩項合作計算計算 )(),.,(),()(21vvvvnn n人合作對策模型人合作對策模型Shaplay證明了滿足上四假設(shè)的分配是有唯一解：證明了滿足上四假設(shè)的分配是有唯一解： niisVsVsWviSsi,.,2 , 1)()(|)(|)(其中：Si是I中包含i的所有子集; |S|是S的人數(shù); 是加權(quán)因子 可看作i對合作S的貢獻!|)!|()!1|(|)(|nSnSSW)()(iSVSV稱稱 為由為由V定義的合作的定義的合作的Shaplay值值. .其意義為：對于一個其意義為：對于一個n人合作對策模型，其第人合作對策模型，其第i個人的收入應(yīng)按照個人的收入應(yīng)按照i對各種

15、形式的合作的貢獻的加權(quán)平均來確定。對各種形式的合作的貢獻的加權(quán)平均來確定。 )(vShaplay n n人合作對策模型人合作對策模型三人經(jīng)商問題三人經(jīng)商問題 （對于第一個人）（對于第一個人）!|)!|()!1|(|)(|nSnSSW1 1=1=1* *1/3+61/3+6* *1/6+41/6+4* *1/6+61/6+6* *1/3=41/3=4同理：同理：2 2=3.5, =3.5, 3 3=2.5=2.5 S11,21,31,2,3V(S)17510V(S-1)0114V(S)- V(S-1)1646|S|1223W(|S|)1/31/61/61/3niisVsVsWviSsi,.,2

16、, 1)()(|)(|)(4.4.合作對策合作對策設(shè)Q為污水量（T/S）,L為管道長（km）已知：建處理廠的費用:CT=730Q0.712; 鋪管道費用:Cp=6.6Q0.51L; 污水量:Q1=5，Q2=3，Q3=5; 距離:L12=20，L23=38。 問題:沿河有三鎮(zhèn)1、2、3，污水需經(jīng)處理后流入河中。若聯(lián)合建廠，廠址應(yīng)在下游，問如何聯(lián)合及如何投資？ 污水處理問題污水處理問題 三鎮(zhèn)聯(lián)合建一個處理廠投資方案： 1）平分：5560/3=18531600 城2反對 2）城3提出：建廠費按三城的污水量之比5:3:5分擔，管道費由城1,2承擔。城2同意，并提出從城2到城3的管道費由城1,2按污水量

17、之比5:3分擔，從城1到城2的管道費由城1擔負。 各城費用: D(3)=4530*5/13=1740 D(2)=4530*3/13+730*3/8=1320， D(1)=4530*5/13+730*5/8+300=25002300， 城1反對。污水處理問題污水處理問題 1=400*1/6+390*1/3=197(千元)， 城1的費用為：2300-197=2103(千元)2=400*1/6+640*1/3+250*1/6=322(千元)， 城2的費用為：1600-322=1278(千元), 城3的費用為：5560-2103-1278=2179(千元).用Shaplay值計算各城應(yīng)承擔的費用:（相對于單干所獲得的收益）設(shè)特征函數(shù)V(S)為單干的費用與合作的費用之差. 對于城1： 污水處理問題污水處理問題 三鎮(zhèn)聯(lián)合建一個處理廠投資方案： 1）