結(jié)構(gòu)力學(xué)第三章-扭轉(zhuǎn)課件

1、31 概述概述 32 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)33 傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖34 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件35 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件剛度條件36 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能37 非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 31 概概 述述 軸：軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、 石油鉆機(jī)中的鉆桿等。石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，

2、且力偶的作用面與直桿的軸線外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA工工 程程 實(shí)實(shí) 例例32 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 略略扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。切應(yīng)變（切應(yīng)變（ ）：）：直角的改變量。直角的改變量。 T=m剪切胡克定律：剪切胡克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)（當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。G剪切胡克定律：剪切胡克定律： G 式中：式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)

3、，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無(wú)量綱，故無(wú)量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定，值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的鋼材的G值約為值約為80 GPa 。 剪切彈性模量剪切彈性模量、彈性模量彈性模量和和泊松比泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在關(guān)系：三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在關(guān)系： 可見(jiàn)，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量可見(jiàn)，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來(lái)。就可以推算出來(lái)。)1 ( 2EG（推導(dǎo)詳見(jiàn)后面章節(jié)）：3

4、3 傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 一、傳動(dòng)軸的外力偶矩一、傳動(dòng)軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：m)(KN 55. 9nPMm)(KN 024. 7nPM其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P 功率，馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS3 扭矩的符號(hào)規(guī)定：扭矩的符號(hào)規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩：構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩

5、，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩MMMTMTMTMx00 x4 扭矩扭矩圖圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。xT例例1已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nA B C DP2 P3 P1 P4解：計(jì)算外力偶矩解：計(jì)算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555. 911nPMm)(kN 78. 43001509.5555. 9

6、232nPMMm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPMnA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN78. 4 0 , 02121MTMTMmkN56. 9)78. 478. 4( , 0 322322MMTMMT3434 0 , 6.37kN mTMTM繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險(xiǎn)截面。段為危險(xiǎn)截面。xTnA B C DM2 M3 M1 M44.789.566.3734 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件等直圓桿橫截面應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力變形幾何方面變形幾何

7、方面物理關(guān)系方面物理關(guān)系方面靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面 1. 橫截面變形后橫截面變形后 仍為平面；仍為平面； 2. 軸向無(wú)伸縮；軸向無(wú)伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xxGGdddtgxdd距圓心為距圓心為 任一點(diǎn)處的任一點(diǎn)處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。ADDE2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：剪切胡克定律：代入上式得： GxGGddxGdd 3. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：Od

8、AAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pIT極慣性矩極慣性矩pIT 橫截面上距圓心為 處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面 直桿。直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。該點(diǎn)到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。單位：?jiǎn)挝唬簃4AIApd2 盡管由實(shí)心圓截面桿推出

9、，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。22204d 2d 32pAdIAd 對(duì)于實(shí)心圓截面：ddO對(duì)于空心圓截面：22224444d 2d ()32 (1)32pADdIADdD )(DddDOd 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。 確定最大切應(yīng)力：確定最大切應(yīng)力：pIT由知：當(dāng)max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTpPPpp令PWTmaxWP 抗扭截面系數(shù)（扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)），抗扭截面系數(shù)（扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)）， 幾何量，單位：m3

10、。對(duì)于實(shí)心圓截面：316PpWIRd對(duì)于空心圓截面：34(1) 16PpWIRD例例 一個(gè)是實(shí)心圓截面I軸，一個(gè)是空心圓截面II軸，兩軸材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩 和長(zhǎng)度 l 均相等，最大切應(yīng)力也相等。若空心圓截面內(nèi)、外直徑比為 ，試求空心圓截面的外徑與實(shí)心圓截面直徑之比以及兩軸的重量比。e M8 . 01d2D2d解：解：16d 311PW 116D 4322）（PWPWTmax帶入最大切應(yīng)力公式：帶入最大切應(yīng)力公式：可得：可得：21PPWTWT即：即：)1 ( 16 1643231DTdT194. 1 12dD兩軸重量比即為橫截面積比兩軸重量比即為橫截面積比512. 04)(421222212ddD

11、AA三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開(kāi)。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開(kāi)。因此，我們需要研究斜截面上的應(yīng)力。因此，我們需要研究斜截面上的應(yīng)力。點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如右圖 2、斜截面上的應(yīng)力、斜截面上的應(yīng)力M1、切應(yīng)力互等定理：、切應(yīng)力互等定理： 0故dydxdzdxdzdyMz該定理表明：該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。向則共同指向或共同背離該交線

12、。單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。上式稱為切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理。dx dy zOdz x2、斜截面上的應(yīng)力、斜截面上的應(yīng)力 x轉(zhuǎn)角規(guī)定：轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時(shí)針：為“+”順時(shí)針：為“”由平衡方程：由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAF0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAF 利用解得：2cos ; 2sin 2cos ; 2sin 分析：當(dāng) = 45時(shí)，0 , 45min45當(dāng) = 45時(shí)，0 , 45max4

13、5當(dāng) = 90時(shí)，max9090 , 0 45 由此可見(jiàn)：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。max00 , 0當(dāng) = 0時(shí)，四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：對(duì)于等截面圓軸：maxmaxPWT( 稱為許用剪應(yīng)力。)強(qiáng)度計(jì)算三方面：強(qiáng)度計(jì)算三方面： 校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：maxmaxPWTmaxTWPmaxPWT）（空：實(shí)：433116 16 DDWP35 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件剛度條件

14、一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式pGITx dd 可知：長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 的一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若TGITlxGITplp( d d0GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的截面的抗扭剛度抗扭剛度。二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT或 稱為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。剛度計(jì)算的三方面：剛度計(jì)算的三方面： 校核剛度：校核剛度： 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：

15、計(jì)算許可載荷： max max GT Ip max pGIT 有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。例例已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。該軸由45號(hào)鋼制成，為空心圓截面，內(nèi)、外半徑比為0.5，鋼的許用切應(yīng)力 =40Mpa,切變模量G=80Gpa,許可單位扭轉(zhuǎn)角 。試根據(jù)強(qiáng)度與剛度條件選擇軸的半徑。/m)( 3 . 0 nA B C DP2 P3 P1 P4dDxT4.789.566.37解：由扭矩圖，可知解：由扭矩圖，可知mKNT.56. 9max 161516D )

16、21(116D 116D 34343）（）（PW 161532D 132D 444）（PImTWTP334maxmax10109)1 (16D 由強(qiáng)度條件由強(qiáng)度條件 180 maxPGIT由剛度條件由剛度條件mmmGT5 .125105 .125 1180)1 (32D 344max綜合強(qiáng)度條件與剛度條件可知綜合強(qiáng)度條件與剛度條件可知mm5 .125D mTWTP334maxmax10109)1 (16D 由強(qiáng)度條件由強(qiáng)度條件36 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能dV)dx(dzdy)(dW2121GGxWVV221 21dydzdddd22一、一、 應(yīng)變能與應(yīng)變能密度應(yīng)變能與

17、應(yīng)變能密度acddxb dy dzzxy單元體微功：?jiǎn)卧w微功：應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 ：等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變能等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變能VldAdxdVVA對(duì)只在兩端受外力偶矩的等直圓桿的應(yīng)變能對(duì)只在兩端受外力偶矩的等直圓桿的應(yīng)變能APlPGIlTdAITGldAdxGV2)(2222A2222 lGIVP又由又由PGITl37 非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形非圓截面等直桿：非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。一一、自由扭轉(zhuǎn)、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。二二、約束扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。三三、矩形桿橫截面上的剪應(yīng)力、矩形桿橫截面上的剪應(yīng)力: :1. 切應(yīng)力分布如圖：（角點(diǎn)、形心、長(zhǎng)短邊中點(diǎn)） hbh 1T max 注意！b2. 最大剪應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角 maxmaxtWT2 bhtW其中：3 bhIt , tGIT相當(dāng)極慣性矩 hbh 1T max 注意！bmax131查表求查表求 和和 時(shí)一定要時(shí)一定要注意，表中注意，表中 和和 與哪套公式對(duì)應(yīng)。與哪套公式對(duì)應(yīng)。 ; ) 1