圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析·強(qiáng)度條件

1、變變形形幾幾何何關(guān)關(guān)系系物物理理關(guān)關(guān)系系靜靜力力關(guān)關(guān)系系 觀察變形觀察變形 提出假設(shè)提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式建立公式deformationgeometricrelation Distribution regularity of deformationDistribution regularity of stressEstablish the formulaExamine the deformationthen propose the hypothesis physicalrelationstaticrelation3-4 圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析圓桿扭

2、轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件(Analyzing stress of circular bars & strength condition)21.1.變形現(xiàn)象變形現(xiàn)象(Deformation phenomenon) （1） 軸向線仍為直線軸向線仍為直線, 且長(zhǎng)度不變；且長(zhǎng)度不變； （2） 橫截面仍為平面且與軸線垂直；橫截面仍為平面且與軸線垂直；一、變形幾何關(guān)系一、變形幾何關(guān)系(Geometrical Relationship of Deformation) （3） 徑向線保持為直線徑向線保持為直線, 只是繞軸只是繞軸線旋轉(zhuǎn)線旋轉(zhuǎn). 2.2.平面假設(shè)平面假設(shè)(Plane assumption)

3、 變形前為平面的橫截面變形前為平面的橫截面 , 變形變形后仍保持為平面后仍保持為平面.3aabbdxO1O23.3.幾何關(guān)系幾何關(guān)系(Getrical relationship) 傾角傾角 是橫截面圓周是橫截面圓周上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) A 處的切應(yīng)變處的切應(yīng)變, d 是是 b - b截面相對(duì)于截面相對(duì)于a - a 截面象剛性平面一樣繞桿的截面象剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)角度軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)角度. 經(jīng)過(guò)半徑經(jīng)過(guò)半徑 O2 D 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)G 的縱向線的縱向線 EG 也傾斜了一個(gè)角度也傾斜了一個(gè)角度r r , 也就是橫截面半徑上任一點(diǎn)也就是橫截面半徑上任一點(diǎn) E 處的切應(yīng)變處的切應(yīng)變dtand

4、rrrrr r GGxEGTTdADGDGE 同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力 均相同均相同, 且其值與且其值與 成正成正比比, 與半徑垂直與半徑垂直. 二、 物理關(guān)系物理關(guān)系(Physical Relationship)由剪切胡克定律由剪切胡克定律 G xGGdd r r r rr r aabATTdxDbdDO1O2GGrOdAdAT三、靜力關(guān)系三、靜力關(guān)系 (Static Relationship) 1.1.公式的建立公式的建立(Establish the formula)TAA dr rrrTAxGA dddTAxGA ddd2r r p2dIAA 結(jié)論結(jié)論pddGITx 代入

5、物理關(guān)系中得到代入物理關(guān)系中得到PITr r r r 式中：式中：T 橫截面上的扭矩橫截面上的扭矩 求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離Ip 橫截面對(duì)圓心的橫截面對(duì)圓心的 極慣性矩極慣性矩Wt 稱作抗扭截面系數(shù)，單位為稱作抗扭截面系數(shù)，單位為 mm3 或或 m3.2. 的計(jì)算的計(jì)算(Calculation of max) max tmaxppmaxmaxWTITIT r rr r maxptr rIW rOTdAdAmax（1）實(shí)心圓截面）實(shí)心圓截面dO3.3.極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計(jì)算極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計(jì)算 (calculating the polar moment of i

6、nertia §ion modulus under torsion)d(2dr rr r A32d2d42032pdAIdA r rr rr r162/32/34maxptdddIW r rdODdd（2）空心圓截面）空心圓截面32)1(44p DI)1(1643t DW其中其中Dd 例題例題2 圖示空心圓軸外徑圖示空心圓軸外徑D = 100mm, 內(nèi)徑內(nèi)徑d d = 80mm, = 80mm, M1 = 6kNm, M2 = 4kNm, 材料的切變模量材料的切變模量 G = 80GPa.（1） 畫軸的扭矩圖；畫軸的扭矩圖；（2） 求軸的最大切應(yīng)力求軸的最大切應(yīng)力, 并指出其位置并指出

7、其位置.M1M2ABCll解解:（1）畫軸的扭矩圖）畫軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2 - Me1=0T2 = 2kNm AB段段（+）（-）T1 = - 4kNm最大扭矩發(fā)生在最大扭矩發(fā)生在 BC 段段 Tmax= 4kNm4kNm2kNm+_T（2）求軸的最大切應(yīng)力）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置并指出其位置max 最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上周邊上, 且垂直于半徑且垂直于半徑.tmaxmaxWT M1M2ABCllmax34(1-)1634.5MPaTDmax4kNm2kNm+_扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)

8、四、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件四、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件 (Strength Condition)低碳鋼低碳鋼試件沿試件沿橫截面橫截面斷開。斷開。鑄鐵試鑄鐵試件沿與件沿與軸線約軸線約成成45的螺旋的螺旋線斷開線斷開。13II、 純剪狀態(tài)斜截面上的應(yīng)力純剪狀態(tài)斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：低碳鋼試件：沿橫截面斷開。沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45的螺旋線斷開。的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。141. 在危險(xiǎn)點(diǎn)在危險(xiǎn)點(diǎn)M 取單元體取單元體如圖如圖(b)。M(b) 2. 斜截面上的應(yīng)力；斜截面上的應(yīng)力；取分離體如圖取分離體如圖(d)。(d) 15轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角

9、規(guī)定：規(guī)定： x 軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時(shí)針：為逆時(shí)針：為“+”順時(shí)針：為順時(shí)針：為“”平衡方程：平衡方程： sin2 cos2 ，0nF d( d cos ) sin( d sin ) cos0AAA xntdA0tF d( d cos) cos( d sin)sin0AAA 16 45最大壓應(yīng)力最大壓應(yīng)力+ 455 ，-13，最大拉應(yīng)力最大拉應(yīng)力 45+135， ，45135max ， 018090max ， ， sin2 cos2 oo180180 x1745 和其它斜面相比，在和其它斜面相比，在法線方向?yàn)榉ň€方向?yàn)?= - 45 的斜的斜面上，拉應(yīng)力最大。沿這面上，

10、拉應(yīng)力最大。沿這個(gè)斜面材料被拉斷。個(gè)斜面材料被拉斷。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45的螺旋線斷開。的螺旋線斷開。45 為什么不會(huì)在為什么不會(huì)在 = 45 的斜面上壓壞？的斜面上壓壞？18鑄鐵壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限鑄鐵壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限 b 比拉伸時(shí)比拉伸時(shí)的強(qiáng)度極的強(qiáng)度極限限大幾倍。大幾倍。 灰口鑄鐵拉伸和壓縮時(shí)的灰口鑄鐵拉伸和壓縮時(shí)的 e e 曲線曲線 試樣沿著與橫截面試樣沿著與橫截面大致成大致成5055的斜截的斜截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)而破壞。面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)而破壞。鑄鐵壓縮破壞斷口：鑄鐵壓縮破壞斷口： 鑄鐵壓縮破壞試驗(yàn)鑄鐵壓縮破壞試驗(yàn) 四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算1) 有明顯屈

11、服階段的塑性材料，如低碳鋼等。有明顯屈服階段的塑性材料，如低碳鋼等。實(shí)驗(yàn)曲線：實(shí)驗(yàn)曲線：mmaxps 扭轉(zhuǎn)時(shí)最大剪應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)時(shí)最大剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)變曲線示意圖最大剪應(yīng)變曲線示意圖扭轉(zhuǎn)時(shí)扭矩和轉(zhuǎn)角曲線扭轉(zhuǎn)時(shí)扭矩和轉(zhuǎn)角曲線示意圖示意圖max, pTWRll21強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件： 有明顯的屈服階段。有明顯的屈服階段。 表現(xiàn)為塑性流動(dòng)，變形表現(xiàn)為塑性流動(dòng)，變形較大。卸載后變形不可較大。卸載后變形不可恢復(fù)，殘余變形也較大?；謴?fù)，殘余變形也較大。ps扭轉(zhuǎn)時(shí)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變曲扭轉(zhuǎn)時(shí)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變曲線示意圖線示意圖max 許用剪應(yīng)力許用剪應(yīng)力 這是構(gòu)件的這是構(gòu)件的 一種破一種破壞形式，稱為屈服破壞。壞形式，稱

12、為屈服破壞。 1Snn ， （） 這類構(gòu)件正常工作這類構(gòu)件正常工作的強(qiáng)度條件：不允許應(yīng)的強(qiáng)度條件：不允許應(yīng)力達(dá)到屈服極限力達(dá)到屈服極限 。S 221. 1. 數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式(Mathematical formula)四、強(qiáng)度條件四、強(qiáng)度條件 (Strength Condition)2.2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Application of strength condition)強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核(Check the intensity)設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面(Determine the required dimensions) 確定許可載荷確定許可載荷(Determine the all

13、owable load)tmaxmax WTtmax WTmaxt TW tmax WT ABC解解：作軸的扭矩圖作軸的扭矩圖MeAMeBMeC22 kNm14 kNm+_分別校核兩段軸的強(qiáng)度分別校核兩段軸的強(qiáng)度例題例題3 圖示階梯圓軸圖示階梯圓軸, ,AB 段的直徑段的直徑 d1 = 120mm, ,BC 段的直徑段的直徑 d2 = 100mm. .扭轉(zhuǎn)力偶矩為扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA = 22 kNm, MB = 36 kNm , MC =14 kNm. 已知材料的許用切應(yīng)力已知材料的許用切應(yīng)力 = 80MPa, 試校核該軸的強(qiáng)度試校核該軸的強(qiáng)度.MPa84.6416/ )12. 0(102216

14、/33311t11max1 dTWTMPa3 .7116/ )1 . 0(101416/333222t2max2 dTWT因此因此, 該軸滿足強(qiáng)度要求該軸滿足強(qiáng)度要求.例題例題4 實(shí)心圓軸實(shí)心圓軸1和空心圓軸和空心圓軸2（圖（圖a、b）材料）材料, 扭轉(zhuǎn)力偶矩扭轉(zhuǎn)力偶矩 M 和長(zhǎng)度和長(zhǎng)度l 均均相等相等, 最大切應(yīng)力也相等最大切應(yīng)力也相等. 若空心圓軸的內(nèi)外徑之比若空心圓軸的內(nèi)外徑之比 = 0.8 ,試求試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.2max1max ll(a)(b) 分析：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為分析：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為d1, 空心空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為圓截面的內(nèi)、外徑分別為 d2、 D2 ; 又扭又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為設(shè)為 T .已知：已知：2t2max1t1maxWTWT dd2D22t1tWTWT 16)1(16432312t1t DdWW因此因此()3341211616 dD解得解得194. 18 . 0113412 dD