數(shù)學物理方程第二章1分離變量法ppt課件

1、數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法第二章第二章 分離變量法分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳導三、拉普拉斯方程的定解問題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些結(jié)論數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法基本思想： 首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動問題、熱傳導問題、穩(wěn)定場問題等特點：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微

2、分方程來處理，使問題簡單化。22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法令( , )( ) ( )u x tX x T t帶入方程：2( ) ( )( ) ( )X x Tta Xx T t2( )( )( )( )XxTtX xa T t 令2( )( )0( )( )0XxX xTta T t帶入邊界條件(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t(0)0,( )0XX l22222,0,0(0, )0

3、,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 1 求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律一 有界弦的自由振動數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法( )( )0(0)0,( )0XxX xXX l特征固有值問題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條 件下的求解問題特征固有值：使方程有非零解的常數(shù)值特征固有函數(shù)：和特征值相對應(yīng)的非零解分情況討論：01）( )xxX xAeBe 00llABAeBe 00ABX02）( )X xAxB00ABX( )cossinX xAxBx0sin0ABl03） 令 ，

4、為非零實數(shù) 2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)nnnl222nl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法2222 ( )( )0nna nTtT tl( ) cos sin(1,2,3,)nnnn atn atT tCDnll( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnn an anux tCtDtxnlll11( , )( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnnnu x tux tn an anCtDtxnlll2( )( )0( )( )0XxX xTta T t2222

5、2,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法01( , )( ,0)sin( )ntnnu x tu xCxxl10( , )sin( )nntu x tn anDxxtll1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xx

6、xxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanCTnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個函數(shù)求通解確定常數(shù)分離

7、變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法2 解的性質(zhì) x=x0時：( , )(cossin)sinnnnn an anux tCtDtxlll其中：22arctannnnnnnnDn aACDlC00(, )sincos()nnnnnux tAxtlcos()sinnnnnAtxlxlnsin駐波法 2nlnlt=t0時：22nnnaflnnvfnllna 22Ta 00( , )

8、cos()sinnnnnnux tAtxl(1,2,3,)n 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦作微小橫向振動時的位移。( )(10) 1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(), 0(tTXtu 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxx

9、xuttututxxutu解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX20 02 XX1010(0)0( )0XABX lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB, 3 , 2 , 1,10/nnn100/22nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法, 3 , 2 , 1,100/22nnnxnBxXnn10sin)(0

10、104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu0 XX0104 TT數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)

11、0 ,(1xxxnCxunn0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310) 12(sin) 12(10cos) 12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1 (5233nn為奇數(shù)，為偶數(shù)，nnn33540100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,3時的駐波

12、。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法)()(),(tTxXtxu2XTa X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0,010(0)0,( )0XXxXX l0)0(X( , )( ) ( )0u l tX l T tx( )0X l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例2求下列定解問題數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法0,0(0)0,( )0XXxlXX l20 02

13、 XX(0)0( )0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0( )cos0XAX lBl(21)/2 ,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cos

14、sin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0 XX20Ta T數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)( ,0)sin22nnnu xCxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xnanDx

15、tll0nD202(21)(2 )sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始條件數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 若l=1,a=10時的震動。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第

16、第2 2章分離變量法章分離變量法)()(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)() 1 (), 1 (0)()0(), 0(tTXtutTXtu0) 1 (, 0)0(XX 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu例3 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX0202 XX(0)0(1)0XABXAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0B

17、AxxX)(0 BA0)(xX0 X02xBxAxXsincos)(0sin) 1 (, 0)0(BXAX, 3 , 2 , 1,nnn22nnxnBxXnnsin)(02 XX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法, 3 , 2 , 1,22nnnxnBxXnnsin)(0 TT022 nnTnTtnDtnCTnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )sincos(sintnDtnC

18、xnBnnnxntnDtnCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0 ,(10sin)0 ,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutuxtusincos數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lx

19、txuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu例4 求下列定解問題令帶入方程：解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02x

20、xBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0sincos)()(, 0)0(lBhlBlhXlXAXhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222, 3 , 2 ,

21、1,n2nnxBxXnnnsin)(02 TaT022 nnnTaTatDatCTnnnnnsincosnnnTXu 11sinsincosnnnnnnnnxatDatCuuatDatCxBnnnnnnsincossinxatDatCnnnnnsinsincos0 XX02 TaT數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,222221sinsincosnnnnnnxatDatCu0sin)0 ,(1xaDtxunnnn0nD

22、)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsin數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法nmnmxxxnlm00dsinsin0nmnmnmnmll)sin()sin(21nmnmnmnmnmnmllllllsincoscossinsincoscossin21llllnmnnmmnmnmcossinsincos)(1mmnnnmnmnmnmlllltantancoscos1)(10 xxxlnmnmd)

23、cos()cos(210hl/tan數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法二 有限長桿上的熱傳導222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl)()(),(tTxXtxu2XTa X T 21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu令帶入方程：解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法

24、 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02xxBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0)0( )( )cossin0XAX lhX lBlBhlhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法, 3 , 2 , 1,n2nnxBxXnnnsin)(20Ta T220nnnTa T22na tnnT

25、C ennnTXu 2211sinna tnnnnnuuC ex22sinna tnnnC B ex22sinna tnnC ex222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法00sinsind0lmnmnxx xmn20sindlnnxxL令)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxx

26、C02dsin221sinna tnnnuC ex222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxlhl/tan數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX令帶入方程：令例5 求下列定

27、解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X00 XBAxX0X 0202 XXxBxAXsincoslnnxlnBXnnsin0)0(BAX0)( llBeAelX0 BA0)0( AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22202TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222n

28、nnTXu 11sin2222ntlnannnxlneCuuxlneBAtlnannsin22222222sina ntlnnnuC exlxlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,22nlnnn1sin)()0 ,(nnxlnCxxuxxlnxlClndsin)(20數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTaT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(),

29、0(tTlXxtlutTXxtu0)(, 0)0(lXX例6 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAXlleBeAlX )(0 BA00 XBAxX0BX 0202 XXxBxAXcossinlnnxlnBXnncos0)0(AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,

30、0,22200BX xlnBXnncos, 3 , 2 , 1,2nlnn02TaT000T00TA002222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu xlneBAtlnanncos2222xlneCtlnancos2222000CAB100cos2222ntlnannnxlneCCuu000TXu 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222100cos2222ntlnannnxlneCCuu10cos)()0 ,(nnxlnCCxxuxxl

31、Cld )(100 xxlnxlClndcos)(20( )1x假設(shè) 則u為多少？為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？考慮數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法( ),10,10 xx al假設(shè)001( )d2llCx xl022( )cosd2( 1)1()lnnnCxx xllln2222001cosnna ntlnnuuCnC exl有界桿上的熱傳導桿的兩端絕熱）數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法xxtuau20|0 xx luu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2220Ta

32、T20XX22exp()T Aatsin,nlXx )()(xXtTukkkkkXTu),( txuu分離變量流程圖數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法三 拉普拉斯方程的定解問題axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX1 直角坐標系下的拉普拉斯問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2

33、章分離變量法章分離變量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAX0)( aaBeAeaX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanAXnnsin0)0( BX0sin)(aAaX, 3 , 2 , 1,22nannn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0

34、,0, 02222xanAXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 1nnuu1sinnyannyannxaneDeCxaneDeCyannyannsinsinnnyyaannnnnuC eD eAxa數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 022221sinnyannyannxaneDeCuxanDCxxunnn1sin)()0 ,(xaneDeCxbxunabnna

35、bnn1sin)(),(xxanxaDCnndsin)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndsin)(2a0022( )( ) sind1n baann banx exx xaaCe022( )( ) sind1n baann banx exx xaaDe數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法22220,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ), ( , )( ),0uuxaybxyuyu a yybxxu xx u x bxxaXYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0

36、(), 0(yYaXxyauyYXxyu0)(, 0)0(aXX例7 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)( aaeBeAaX0)(BAaXa0 BA00 XBAxX00BX0202 XXxBxAXcossinannxanBXnncos0)0(AX0sin)(aBaX, 3 , 2 , 1,22nannn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程

37、與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanBXnncos, 3 , 2 , 1,22nannn000BX0 YY0000DyCY0 Y00222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 000YXu 00000C yDBC yDxaneDeCyannyanncosxanBeDeCnyannyanncosxaneDeCDyCuunyannyannnn1000cos數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxb

38、xuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xaneDeCDyCunyannyann100cosxanDCDxxunnn10cos)()0 ,(xaneDeCDbCxbxunabnnabnn100cos)(),(xxanxaDCnndcos)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndcos)(2a01dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaC1dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaDxxaDd )(1a00 xxaDbCd )(1a000 xxxabCd)(-)(1a00數(shù)學物理

39、方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX例8 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXX

40、axXX0202 XXxxBeAeX0X0)( aaBeAeaX0)0(BAX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanBXnnsin0)0( BX0sin)(aAaX, 3 , 2 , 1,22nannn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanBXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYyanneD11sinnyannnnxaneDuunn

41、nYXu xanBeDnyannsinxaneDyannsinxanDxxunn1sin)()0 ,(xxanxaDandsin)(20數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法2 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題22222yuxuu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyxuu2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu11222222222cossinuuyuyuyusincosuu22

42、211uu數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20),(),(20 , 01100222fuuu), 0(u)2 ,()0 ,(uu)()(),(u0112 0112 歐拉方程 21102 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例9 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20),(),(20 , 01100222fuuu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnAnnnsincos02 歐拉

43、方程 lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()()ddddPPPttt 0 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20),(),(20 , 01100222fuuu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos02 00002 ln000DC 0C02 n022 nnnnnnnnDCnnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincos)(),(nnnnnFnEEfu222000000111( )d ,(

44、 )cosd ,( )sind2nnnnEfEfnFfn 0 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20,cos),(20 , 01100222uuu)2 ,()0 ,(uu),(u)()(),(u0112 0112 21102 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例10 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20,cos),(20 , 01100222uuu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nn

45、nnnBnAnnnsincos02 歐拉方程 lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()()ddddPPPttt 0 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20,cos),(20 , 01100222uuu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos000000lnCD tCD 0C02 nntntnnnnnnnC eD eCD nnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincoscos),(nnnnn

46、FnEEu01Ecos0u其它為零0 02 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu)2 ,()0 ,(uu)()(),(u0112 0112 21102 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例12 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,2

47、2nnnnnBnAnnnsincos數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos02 歐拉方程 00002 ln000DC 02 n022 nnnnnnnnDC000unnnulnln00000FEDCAnnnnnnDCnBnAsincosnHGnFEnnnnnnnnsincos1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法20, 1

48、),(, 0),(20 , 011222buaubauu1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu0sincosln),(100nnnnnnnnnnaHaGnaFaEaFEau1sincosln),(100nnnnnnnnnnbHbGnbFbEbFEbu0ln00aFE0nnnnaHaG0nnnnaFaE1ln00bFE0nnnnbHbG0nnnnbFbEabaElnln0abFln10其他為零ababaulnlnlnlnabalnln數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法1, 0) 3/,()0 ,(3/0,6sin), 1 (

49、3/0, 1, 011222uuuuu), 0(u)()(),(u0112 0112 21102 0 0) 3/()0( 0)3/()0(3/0, 00)() 3/()()0(例13 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法1, 0) 3/,()0 ,(3/0,6sin), 1 (3/0, 1, 011222uuuuu 0)3/()0(3/0, 00202 BeAe000 AB002sincosBAnn3, 3 , 2 , 1,922nnnnnBnn3sin0)0(A03/sin)3/(B數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2

50、 2章分離變量法章分離變量法1, 0) 3/,()0 ,(3/0,6sin), 1 (3/0, 1, 011222uuuuunBnn3sin, 3 , 2 , 1,92nnn02 0922 nnnnnnnnDC33nnC3nnnu1313sinnnnnnnEuu13sin6sin), 1 (nnnEu2, 0, 12nEEn66sinunnnnnnECnB333sin3sin數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法qypxtpxyxyxutqxutxutqytyputyutqypxyuxuatu0 ,00,0),()0 ,(, 0),(), 0 ,(0,0, 0),(), 0(0,0 ,0,22222)()()(),(tTyYxXtyxuTYXYTXaTXY 2012 TTaYYXX XX YY)(12TTa0 XX0 YY0)(2TaT例13 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2 2章分離變量法章分離變量法qypxtpxyxyxutqxutxutqytyputyutqypxyuxuatu0 ,00,0),()0 ,(, 0),(), 0 ,(0,0, 0),(),