[理學(xué)]第一節(jié)方差分析ppt課件

1、第九章 方差分析方差分析的背景： 在工農(nóng)業(yè)消費中產(chǎn)量的上下、質(zhì)量的優(yōu)劣，經(jīng)濟管理中效果的好壞等，往往是有許多因素所至。這就要從眾多因素中找出主要因素，分析該因素處在何種狀態(tài)時，使產(chǎn)量高、質(zhì)量優(yōu)，管理效果好。 要解決這類問題：二、如何分析多因素多狀態(tài)下試驗結(jié)果的差異性？ 當兩個總體方差相等時，可用t 檢驗來檢驗兩個總體均值間的差異性；當總體是三個或三個以上時如何檢驗?zāi)?？就要用本章的方差分析。它是在二十世紀20 年代由英國著名統(tǒng)計學(xué)家R.Fisher首先應(yīng)用到農(nóng)業(yè)試驗中的。由于試驗設(shè)計不同，方差分析的方法也有所不同。本章重點介紹單、雙因素的方差分析。一、設(shè)計一個試驗試驗設(shè)計；方差分析的作用：從方差

2、的角度分析試驗數(shù)據(jù)、判斷各因素各狀態(tài)對試驗結(jié)果作用大小的有效的統(tǒng)計分析方法。.幾個概念 例1 檢驗?zāi)撤N激素對羊羔增重的效應(yīng)。選用3個劑量進展試驗，加上對照不用激素在內(nèi)，每次試驗要用4只羊羔，假設(shè)進展4次重復(fù)，那么共需要16只羊羔。研究激素用量對羊羔增重的影響是否顯著。 羊羔的增重kg/每頭/每200日 1475057542525453653626769744515757594321（對照）處理重復(fù)稱激素為因素；激素的劑量為程度狀態(tài)；羊羔增重量響應(yīng)值。顯然，例為單因素四程度試驗。也就是四個總體的比較問題一般地因素：可控制的試驗條件；程度：因素變化的各個等級；響應(yīng)值：目的值。單因素試驗：試驗中只有

3、一個因素變化，其他可控制的條件不變。雙多因素試驗：試驗中變化的因素多于一個。 本例中有一因素激素，記為A四個不同程度分別記為A1，A2，A3，A4?？烧J為一個激素程度的增重量就是一個總體，在方差分析中總假定各總體獨立地服從同方差的正態(tài)分布，即第i個激素程度的增重量是一個隨機變量，它服從分布),(21Ni=1, 2, 3, 4, 5。要檢驗假設(shè)43210:H 假設(shè)回絕HO，那么我們就認為這四個激素程度的平均增重量之間有顯著差異；反之，就認為各激素程度間增重量的不同是由隨機因素引起的。方差分析就是檢驗上述假設(shè)的一種方法。 方差分析是檢驗同方差的假設(shè)干正態(tài)母體均值是否相等的一種統(tǒng)計分析方法。是否成立

4、.柯赫倫Cochran 定理定理8.1假設(shè)k)(212nxnii那么,k互相獨立，且)(2jjfQj，k的充要條件是fffkn一、單因素方差分析一、單因素方差分析 設(shè)Xii=1, 2, , n互相獨立，均服從N0, 1分布。jj，k是某些正態(tài)變量的平方和，這些變量分別是X, Xn的線性組合，其自由度為fj 在某試驗中，因素 A 有 k個不同程度A1，A2，Ak，試驗結(jié)果 1，2，k 是 k個互相獨立的總體，且iNi，2， j =1，2，k 。將 Aj 程度重復(fù) t次，得到t 個試驗結(jié)果數(shù)據(jù)xij，j=1, 2, , t，這可以看成是取自Yi的一個容量為t的子樣，i=1, 2, , r。由于xi

5、j),(21N以假定xij具有下述數(shù)據(jù)構(gòu)造式：tjkixijiij, 2 , 1, 2 , 1,其中), 0(2Nij且互相獨立要檢驗的假設(shè)是:rH210:為了今前方便起見，把參數(shù)的形式改變，并記kiik11kiaii, 2 , 1, 稱為一般平均，i為因子A的第i個程度的效應(yīng)，容易看出，r個效應(yīng)滿足關(guān)系式：單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)構(gòu)造式可以寫成：yij=+ai+ij，i=1,2,，k,j=1,2,，t ; kiia10所要檢驗的假設(shè)可以寫成：H0: a1=a2=ar=0kiia10方差分析的根本思想： 從分析引起諸xij波動的原因入手。這里有兩個原因，一個是假設(shè)為真時，諸xij的波動純粹是

6、隨機性引起的；另一個可能是假設(shè)不真而引起的。因此我們就想用一個量來刻劃諸xij之間的波動，并把引起波動的上述兩個原因用另外兩個量表示出來，這就是方差分析中常用的平方和分解的方法。 我們可以用xij與樣本總平均之間的偏向平方和來反映xij之間的波動，令kitjijTxxS112)(kitjijtknxnx11,1其中kiiAxxtS12.)(tjijixtx11kitjiijexxS112)(kitjijTxxS121)(總離差平方和:它反映了觀測數(shù)據(jù)總的變異程度kiiAxxtS12.)(組間平方和:反映因子A的不同程度效應(yīng)間的差異。kiitjijexxS12.1)(組內(nèi)誤差平方和:反映了隨機誤

7、差ij 對響應(yīng)值影響的總和這是由于yayiiikitjiijeS112)(kiiiAatS12)(我們可證明S =SA +Se ESe=n-rriiAratES122) 1(假設(shè)0成立，那么2) 1( rESA當假設(shè)H0為真時，.12的無偏估計為與kSknSAe比值)/() 1/(knSkSFeA不能太大，當F值過大時，可以認為假設(shè)不真可證明當假設(shè)H0為真時，) 1(22nsT)1(22ksA)(22knse于是), 1(1knkFknsksFeA 對于 顯著性程度，查出臨界值F k-1,n-k,滿足PFF1-= 假設(shè) FFk-1,n-k,那么在程度下回絕H0 ，即認為有些程度對響應(yīng)值的影響有

8、顯著差異。單因素方差分析表來源平方和自由度均方和F 比因子 A212xntxSkiiAk-11kSA)/() 1/(knSkSFeA誤差 eSe=ST-SAn-kknSe總和kitjijTxnxS1122n-1二 雙因素方差分析 設(shè)在某試驗中，有二個因素在變動。 因子A取r個不同程度 A1，A2，Ar， 因子B取s個不同程度 B1，B2，Bs， 在Ai,Bj程度組合下的試驗結(jié)果獨立地服從Nij，2分布。為了研究方便起見，把參數(shù)改變一下，并令risjijrs111rissjiji, 2 , 1,11rijsjrij1, 2 , 1,1riii, 2 , 1,sjjj, 2 , 1, 稱為一般平均

9、，i為因子A的第i個程度的效應(yīng)，j為因子B的第j個程度的效應(yīng)，它們滿足：risjji110, 0例3 將土質(zhì)根本一樣的一塊耕地分成均等的五個地塊，每塊又分成均等的四個小區(qū)。有四個品種的小麥，在每一地塊內(nèi)隨機分種在四個區(qū)上，每小區(qū)的播種量一樣，測得收獲量如下表單位：公斤，試以顯著性程度1=0.05,2=0.01考察品種和地塊對收獲量的影響是否顯著。 地塊品種B1B2B3B4B5A132.334.034.736.035.5A233.233.636.834.336.1A330.834.432.335.832.8A429.526.228.128.529.4一、雙因子無交互作用方差分析若jiij，我們稱

10、這種方差分析模型為無交互作用的方差分析模型。此時，我們只需對（Ai, Bj）的每個組合各做一次試驗，記其結(jié)果為 yij，則分布且都服從間相互獨立諸), 0(,0, 0., 2 , 1, 2 , 1,211Nsjrixijrisjjiijjiij無交互作用的方差分析模型假設(shè)有兩個：H01:1=2=ar=0H02:1=2=s=0 假設(shè)檢驗結(jié)果回絕H01H02，那么認為因子AB的不同程度對結(jié)果有顯著影響，假設(shè)二者均不回絕，那就說明因子A與B的不同水平組合對結(jié)果無顯著影響。 雙因素方差分析觀測數(shù)據(jù)表 12jr1y11y12y1jy1r2y21y22y2jy2riyi1yi2yijyirsym1ym2y

11、mjysr記：sjyryriysyyrsyriijjsjijirisjij, 2 , 1,1, 2 , 1,1;11111risjijTyyS112)(sjjrisjriijiijyyryysyyyy1211122)()()(BAeSSSririiiiAsxxsS1122)()(因子A的偏向平方和反映了假設(shè)H01不真,因子A的效應(yīng)間的差異引起的波動因子B的偏向平方和sjsjjjjBrxxrS122)()(反映了假設(shè)H02不真,因子B的效應(yīng)間的差異引起的波動risjjiijexxxxS112)(誤差平方和反映了誤差的波動總的偏向平方和risjijTxxS112)(反映了數(shù)據(jù)yij波動eBASSS

12、在H01，H02為真時) 1(122rsST) 1(122rSA) 1(122sSB) 1)(1(122srSe)1)(1( , 1() 1)(1/() 1/(srrFsrSrSFeAA)1)(1( , 1() 1)(1/() 1/(srsFsrSsSFeBB 對給定的顯著性水平，當)1)(1( , 1(1srrFFA時拒絕 H01，1FFB) 1( , 1(rs)1( s時拒絕 H02。方差分析表來源平方和自由度均方和F 比AriiAxnsxS122r-11rSA) 1)(1/() 1/(srSrSFeAABsjjBxnrxS122s-11sSB) 1)(1/() 1/(srSsSFeBBe

13、BATeSSSS(r-1)(s-1) 1)(1(srse總和risjijTxnxS1122rs-1例3 將土質(zhì)根本一樣的一塊耕地分成均等的五個地塊，每塊又分成均等的四個小區(qū)。有四個品種的小麥，在每一地塊內(nèi)隨機分種在四個區(qū)上，每小區(qū)的播種量一樣，測得收獲量如下表單位：公斤，試以顯著性程度1=0.05,2=0.01考察品種和地塊對收獲量的影響是否顯著。 地塊品種B1B2B3B4B5A132.334.034.736.035.5A233.233.636.834.336.1A330.834.432.335.832.8A429.526.228.128.529.4方差來源平 方 和自由度均 方F 值顯著性品

14、種(A)SA=134.65344.8820.49* *地塊(B)SB=14.1043.531.61誤差(R)SR=26.2812誤 差St=175.0319查表得臨界值F0.054，12=3.26，F(xiàn)0.013，12=5.95。由于FBF0.054，12，故認為地塊不同對收獲量無顯著影響。由于FAF0.013，12，故認為品種不同對收獲量影響極顯著。二、雙因子有交互作用方差分析假設(shè)ij+i+j，那么稱jiijija 為因子A的第i個程度與因子B的第j個程度的交互效應(yīng)，它們滿足關(guān)系式：riijsj1, 2 , 1, 0sjijrir1, 2 , 1, 0 為了研究交互效應(yīng)是否對結(jié)果有顯著影響，那

15、么在Ai,Bj程度組合下至少要做t2次試驗，記其結(jié)果為yijk，那么分布相互獨立均服從諸), 0(0, 0, 0, 0.21111Nyijksjijriijsjjriiijkijjiijktksjri, 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1要檢驗假設(shè):H01:1=2=ar=0H02:1=2=s=0 H03:對一切i,j有ij=0 將總的離差平方和分解：risjtkijkTyyS1112)(eBABASSSS Se反映了誤差的波動；SA，SB，SAB除反映誤差的波動外還分別反映了因子A的效應(yīng)的差異，因子B的效應(yīng)的差異，交互效應(yīng)的差異所引起的波動。我們分別稱它們?yōu)檎`并的偏向平方和，因子A的偏向平

16、方和，因子B的偏向的平方和以及交互作用AB的偏向平方和。在 H01為真時，)1(, 1() 1(/) 1/(trsrFtrsSrSFeAA在 H02為真時，)1(, 1() 1(/) 1/(trssFtrsSSSFeBB在 H03為真時，)1(),1)(1() 1(/) 1)(1/(trssrFtrsSsrSFeBABA方差分析表來源平方和自由度均方和F 比A riiAynstyS122r11rSA) 1(/) 1/(trsSrSFeAABSjjBynrtyS122s11sSB) 1/() 1/(tSsSFeBBABrisjijBAtyS112BASSyn2(r1)(s1) 1)(1(srSBABAF) 1(/) 1)(1/(trsSsrSeBAeBABATeSSSSSRs(t1) 1( trsSe對給定的顯著性程度，當)1(, 1(1trsrFFA時,拒絕H01;當1FFB)1(, 1(trss時拒絕 H02;當)1(),1)(1(1trssrFFBA時拒絕 H03。例3 在某化工消費中為了進步收率，選了三種不同濃度，四種不同溫度做試驗。在同一濃度與溫度組合下各做兩次試驗，其收率數(shù)據(jù)如下面計算表所列數(shù)據(jù)均已減去75。試在=0.05顯著性程度下檢驗不同濃度、不同溫度以及它們間的交互作用對收率有無顯著影響。B(溫度) A(濃度)B1