隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望——定理和應(yīng)用

1、解法：1（第i個(gè)是次品），i0（第i個(gè)是正品）(i=1,2,3,4,5)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望疋理和應(yīng)用、問題的提出引例：一批產(chǎn)品共100件，其中有10件次品，為檢查其質(zhì)量，從中任抽5件,求5件中次品數(shù)E的分布列，并求E的數(shù)學(xué)期望。E012345PC5C90C1C4C10C90C2C3C10C90C3C2C10C90C4C1C10C90C5C105C100C100C100C100C1005C100Co?；。+4XCCo+5XC100C100C100.e三=1x羊+2X華+3XCiooC1005i：+&的分布列為g01P9110101E戸-(匸伍3,4,5)51E才，Ei=5X110=、

2、初步思考和結(jié)論解法一是堂堂正正的解法，但計(jì)算不易，尤其當(dāng)數(shù)字較大時(shí)更難；解法二所用到的下列結(jié)論5一5手送匕nE審?fù)遝©i*i=1當(dāng)各事件“第i個(gè)產(chǎn)品是次品”相互獨(dú)立時(shí)成立（其證明見下文）。但本題中這一點(diǎn)并不滿足，所以解法二不能令人信服。但結(jié)果卻是正確的，而且形式上與二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式一樣，是否一種巧合呢？于是把數(shù)字作了改動(dòng)，結(jié)果仍然正確。再推廣到一般情形，結(jié)果還是正確，即:m件產(chǎn)品中有a件次品，任抽n件，其中含有次品數(shù)E的期望是n,ma其中的一實(shí)際是次品率p，故E審np。m證明：P（手k）=nkE手kCaCk4.CkcnJsCaCm_aCnm,nXfm_a一C=CmnJ.(k=0

3、,1,2,，n)nak1nan_ca_1Cm_aCmk-1=Ca.Cm=曇cm1Cmi：0Cma=n-m由此，我們認(rèn)為，求這類問題中的期望時(shí)，可以直接使用這個(gè)結(jié)論，這將大大簡(jiǎn)化求解過程。比如，袋中若干黑球和白球，任取若干球，求其中白球個(gè)數(shù)的期望的問題就可直接使用這個(gè)結(jié)論。三、進(jìn)一步的探索盡管解法二似乎缺乏理論根據(jù)，但它顯得特別簡(jiǎn)單，而且在其它不同的問題中使用起來也顯示優(yōu)勢(shì)。這促使我們進(jìn)行了進(jìn)一步的思考：隨機(jī)變量之和的期望有什么規(guī)律？1、設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量E與n的分布列分別為EXiX2XPpip2pinyiy2yPqiq2qi若事件“手X”于“n=yi”互相獨(dú)立，則e)=E證明：E(:)=(xi+y

4、i)piqi+(xi+y2)piq2+(X2+yi)p2qi+(X2+y2)p2q2+=xipi(q計(jì)q2+)+pi(yiq計(jì)y2q2+)+X2p2(q計(jì)q2+)+p2(yiq計(jì)y2q2+)+=xiP計(jì)X2P2+(P計(jì)P2+)E=e1eh該結(jié)論可以推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量之和，即定理1:若&(i=1,2,3,)相互獨(dú)立，則E(，J八Eii£i£2、若兩個(gè)隨機(jī)變量E與n均服從“兩點(diǎn)分布”，其分布列分別為EXiX2PpiP2nyiy2Pqiq2其中，p2=1-pi,q2=1-qi則有E（）二E：E記事件a=“手xi”,b=“n=yi”，貝UA=“手X2”，B=“n=y?”證

5、明中用到如下結(jié)論：p（ab）+p（aB）=p（a）證明：E()=(xi+yi)P(AB)+(xi+y2)P(AB)+(X2+yi)P(AB)+(X2+y?)P(AB)=XiP(AB)+P(AB)+X2P(AB)+P(AB)+yiP(AB)+P(AB)+y2P(AB)+P(AB)=XiP(A)+X2P(A)+yiP(B)+y2P(B)=EE該結(jié)論同樣可以推廣到有限個(gè)服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量之和，即nnECJEii盤iz+nn定理2：若n個(gè)隨機(jī)變量&(i=i,2,n)均服從兩點(diǎn)分布，則E(JEi。四、應(yīng)用舉例有些隨機(jī)變量的分布列不易求得，從而不易求得期望，有些隨機(jī)變量雖然不難求得分布列但期望

6、同樣不易計(jì)算。如果能把這樣的隨機(jī)變量表示為若干服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的和的形式，則可大大簡(jiǎn)化計(jì)算期望的過程。例i把數(shù)字i,2,3,，n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱i個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)E的數(shù)學(xué)期望。該題很難直接求得E的分布列，但可巧妙地轉(zhuǎn)化為服從兩點(diǎn)分布的變量之和。解:設(shè)i=0(合)(i=i,2,n),inii則P(首=i)=一,P(g=0)=Eg=nnnnn=E審E(二勺)='“Ei=nE&=iizii±例2設(shè)事件A在第i次實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)生的概率為Pi(i=1,2,n),求事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)E的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)看=1(第i次試驗(yàn)時(shí)A發(fā)生)

7、,&=0(第i次試驗(yàn)時(shí)A不發(fā)生)則&的分布列為&10PPi1-Pinnn二E滬pi二E審Jr，_Ei八Pii±i-1i1例3有n張卡片，分別寫有1,2,，n,從中任取m張(m<n),其上的數(shù)字之和為E,求EE。分析：本題若直接求E的分布列，難度相當(dāng)大，而轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量之和來表示E則容易得多了。解：設(shè)第i張卡片上的數(shù)字是&(i=1,2,m)，貝V&的分布列是&12nP111nnn由于&不服從兩點(diǎn)分布，故不能應(yīng)用上述定理。怎么辦？再進(jìn)行探索，我們得到如下結(jié)果。五、更一般的結(jié)論定理1與定理2都有嚴(yán)格的條件，限制了它們的應(yīng)用，下面

8、將這兩個(gè)定理推廣到一般情形?？紤]兩個(gè)隨機(jī)變量&與n設(shè)它們的分布列分別為&X1X2XiPP1P2Pinyiy2yPq1q2qi記事件Aj="&Xi,n=yj”(i、j=1,2,3,)，P(Aij)=pij。則(&n的分布列為n&y1y2yiX1p11p12p1jX2P2iP22P2jXPiiPi2Pij顯然有pi=pii+P12+pij+=、'pij,qi=pii+P21+pii+=、pj1ji同理有pwpij,qj=7pjjiE(丁滬臣(Xi+yj)pj=ijvV(XiPij-yjPij)=、(VXPij亠二yjPij)ijijj=E(x送Pj)+遲(送yjPj)=送(Xipj+區(qū)(送yjPij)ijij=E：_(yja必)=E匚亠二(yjqj)=jij由此得到如下定理。定理3：E與n是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則nnE('i)Eioi=4i=1m(n1)由于定理中E與n是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，所以，可以推廣到有限多個(gè)隨機(jī)