D函數(shù)的微分同濟(jì)PPT學(xué)習(xí)教案VIP

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D函數(shù)的微分同濟(jì)函數(shù)的微分同濟(jì)引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA 0 xx面積的增量為2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時(shí)為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在0 x取得增量x時(shí),0 x變到,0 xx邊長由其第1頁/共27頁的微分微分,)(xfy 在點(diǎn) 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點(diǎn)記作yd,df或即xAyd定理定理: 函

2、數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x處可導(dǎo)，在點(diǎn)0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點(diǎn)0 x可微可微,第2頁/共27頁證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點(diǎn) 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點(diǎn) 可導(dǎo),0 x且)(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0第3頁/共27頁)(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy

3、)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在點(diǎn) 可導(dǎo),0 x則線性主部的此項(xiàng)為時(shí)yxf0)(0第4頁/共27頁0)(0 xf時(shí) ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時(shí)yyd很小時(shí), 有近似公式xyyd與是等價(jià)無窮小,當(dāng)故當(dāng)?shù)?頁/共27頁xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan當(dāng) 很小時(shí),xyyd時(shí)，當(dāng)xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐

4、標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記第6頁/共27頁,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctan xy ydxxd112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P116表)又如又如,第7頁/共27頁設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv第8頁/共27頁

5、, )e1(ln2xy求 .dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex第9頁/共27頁,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC注意 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.)( 為

6、任意常數(shù)C注意:第10頁/共27頁)(22 44)(22)(4sin22)sin(2k224數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如 第11頁/共27頁)()(0 xoxxfy當(dāng)x很小時(shí),)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:第12頁/共27頁xx,00很小時(shí),xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(3) exxtan)4( )1ln()5(x證明證明:令)1

7、()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時(shí)當(dāng) xxx1)1 (第13頁/共27頁180dx29sin的近似值 .解解: 設(shè),sin)(xxf取300 x,629x則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(29sin4848. 029sin第14頁/共27頁5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(004938. 3xx1)1 (004942. 32455第15頁/共27頁為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為334RV 鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時(shí)體積的增量,VVVd

8、01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克 . )cmg9 . 8:(3銅的密度估計(jì)一下, 每只球需要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm , 第16頁/共27頁某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,aA稱為a 的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差aaA稱為a 的相對(duì)誤差相對(duì)誤差若AaAA稱為測量 A 的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限aA稱為測量 A 的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限第17頁/共27頁已知測量誤差限為,x按公式)(xfy 計(jì)算 y 值時(shí)的誤差yydxxf)(xxf)(故 y 的絕對(duì)誤差限約為xyxf)(相對(duì)誤差限約為xyxf

9、xfy)()(若直接測量某量得 x ,第18頁/共27頁mm,03.60D測量D 的 絕對(duì)誤差限,mm05. 0D欲利用公式24DA 圓鋼截面積 ,解解:計(jì)算 A 的絕對(duì)誤差限約為DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相對(duì)誤差限約為242DDADADD20 .6005. 02%17. 0試估計(jì)面積的誤差 . 計(jì)算(mm2)第19頁/共27頁1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導(dǎo)2. 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差第20頁/共27頁1. 設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)0

10、x處的yy ,d及,dyy 并說明其正負(fù) .yd0 xx00 xxyOy00yyd第21頁/共27頁xxed)d(arctane x2e11xd xx2e1exxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21第22頁/共27頁)(xyy 由方程063sin33yxyx確定,.d0 xy解解:方程兩邊求微分,得xx d32當(dāng)0 x時(shí),0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 設(shè) ,0a且,nab 則nnba1nanba第23頁/共27頁P(yáng)123 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; *12習(xí)題課 第24頁/共27頁1. 已知,