隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)12定義定義: :.)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).xxyeysin2如如?dxdy如如何何求求第1頁/共30頁3例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知

2、由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第2頁/共30頁4例例2 2.,)23,23(,333線通過原點線通過原點在該點的法在該點的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點點上上求過求過的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.第3頁/共30頁53例例221dxydxeyy求求已知已知,解：解：求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對兩邊對xyxeeyyy

3、yyxeey1yey2222)()()(yyeyyeyyy 22222)()()(yyeeyyeeyyyyy 3223)()(yyey第4頁/共30頁6例例4 4.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy第5頁/共30頁7觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方

4、程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu第6頁/共30頁8例例5 5解解)()()(1421311141123xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對x142)1(3111 xxxyy.,)()(yexxxyx求求設(shè)設(shè)23411第7頁/共30頁9例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得

5、xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第8頁/共30頁107例例.,)12(2dxdyxxxyxxx求求解：解：,)12(21xxxy令令對對數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)得得：) 1)(2(412ln)12(232221xxxxxxxxxdxdyx,2xxxy 令令對數(shù)求導(dǎo)得：對數(shù)求導(dǎo)得：xxyxlnln2xexxlnlnln) 1(ln12xxxxxxxxdxdyxdxdydxdydxdy21一般地一般地可用對數(shù)求導(dǎo)法?？捎脤?shù)求導(dǎo)法。)()()(xvxuxf第9頁/共30頁11.

6、,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t第10頁/共30頁12),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdt

7、dydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx第11頁/共30頁13,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd )()(ttdxd )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dxdtttdtd)()( dtdxttdtd1)()( 第12頁/共30頁14例例8 8解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax第13頁/共30頁15.),12(,2ay

8、axt 時時當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即第14頁/共30頁16例例9 9解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 )tan(tdxddxdttdtd)tan(dtdxtdtd1)tan(第15頁/共30頁1710例例),(01sin3232xfyytettxy確定確定設(shè)設(shè)點的切線方程。點的切線方程。

9、求曲線的對應(yīng)求曲線的對應(yīng)0t解解求導(dǎo)求導(dǎo)第二個方程對第二個方程對 t,sin1costetedtdyyydxdtdtdydxdydtdxdtdy 1261sin1costteteyy, 1, 30yxt,20edxdyt切線方程切線方程) 3(21xey第16頁/共30頁18.,)()(變化率稱為相關(guān)變化率變化率稱為相關(guān)變化率這樣兩個相互依賴的這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個變化

10、率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?第17頁/共30頁19例例1111解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時時當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米時米時當(dāng)當(dāng)h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加

11、率仰角增加率 米米500米米500第18頁/共30頁20例例1212解解?,20,120,4000,/803水面每小時上升幾米水面每小時上升幾米米時米時問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長為形狀是長為水庫水庫秒的體流量流入水庫中秒的體流量流入水庫中米米河水以河水以則則水庫內(nèi)水量為水庫內(nèi)水量為水深為水深為設(shè)時刻設(shè)時刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhhdtdV 38000,/288003小時小時米米 dtdV小時小時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米時米時當(dāng)當(dāng) h第19頁/共30頁21

12、隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo);對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的變化率變化率; ; 解法解法: : 通過建立兩者之間的關(guān)系通過建立兩者之間的關(guān)系, , 用鏈用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解式求導(dǎo)法求解. .第20頁/共30頁2211042P習(xí)題)2(5),4 , 2(4),4 , 2(3 , 2),4 , 3 , 1 (

13、112,11),2(9),4 , 2(8),2(7第21頁/共30頁23思考思考題題設(shè)設(shè) )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對對嗎嗎？第22頁/共30頁24思考題解答思考題解答不對不對 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 第23頁/共30頁25一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)01552223 yxyyxx確定了確定了y是是x的函的函數(shù)，則數(shù)，則)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._.2 2、 曲線曲線733 xyyx在點在點（1 1，2 2）處的切線方程）處的切線方程是是_._.3 3、 曲線曲線

14、ttyttxsincos在在2 t處的法線方程處的法線方程_._.4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則dxdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、 設(shè)設(shè)yxexy , ,則則dxdy=_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題第24頁/共30頁26二、二、 求下列方程所確定的隱函數(shù)求下列方程所確定的隱函數(shù) y y 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三、三、 用對數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：用對數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3

15、3、 xexxy 1sin. .第25頁/共30頁27四、四、 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 tbytaxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設(shè)設(shè))(tf 存在且不為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數(shù)的所確定的函數(shù)的 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)33dxyd . .六、設(shè)六、設(shè))(xf滿足滿足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .第26頁/共30頁28七、七、 在中午十二點正甲船的在中午十二點正甲船的 6 6 公里公里/ /小時的速率向

16、東行小時的速率向東行駛，乙船在甲船之北駛，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/ /小時的速小時的速率向南行駛，問下午一點正兩船相距的速率為多率向南行駛，問下午一點正兩船相距的速率為多少？少？八、八、 注入水深注入水深 8 8 米，上頂直徑米，上頂直徑 8 8 米的正圓錐形容器中，米的正圓錐形容器中，其速率為每分鐘其速率為每分鐘 4 4 立方米，當(dāng)水深為立方米，當(dāng)水深為 5 5 米時，其表米時，其表面上升的速率為多少？面上升的速率為多少？第27頁/共30頁29一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcyx ； 3 3、32