2020屆江蘇省蘇北四市高三上學期第一次質(zhì)量檢測(期末)數(shù)學(理)試題

1、2020屆江蘇省蘇北四市高三上學期第一次質(zhì)量檢測（期末）數(shù)學（理）試題I卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 .已知集合 A x|0 x 2 , B x| 1 x 1,則 AUB .答案： x 1 x 2S 1*加拉 2 6SS + 1End加 A?Print S（電4電）2 .已知復(fù)數(shù)z滿足z24 ,且z的虛部小于0,則z .答案：2i3 .若一組數(shù)據(jù)7,x,6,8,8的平均數(shù)為7,則該組數(shù)據(jù)的方差是 答案：4 54 .執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的結(jié)果為 .答案：205 .函數(shù)f （x） Jogzx 2的定義域為.答案：4,+ ）6 .某

2、學校高三年級有AB兩個自習教室，甲、乙、丙 3名學生各自隨機選擇其中一個教室自習，則甲、乙兩人不在同一教室上自習的概率為 .答案：27 .若關(guān)于x的不等式x2 mx 3 0的解集是（1,3）,則實數(shù)m的值為.答案：428 .在平面直角坐標系xOy中，雙曲線上 y2 1的右準線與漸近線的交點在拋物線 y2 2 Px上, 3則實數(shù)P的值為.9 .已知等差數(shù)列an的前n項和為& , a2 & 8，&5 ,則S5的值為.答案：13510 .已知函數(shù)y 向sin2x的圖象與函數(shù)y cos2x的圖象相鄰的三個交點分別是 AB,C,則ABC的面積為.答案：出汽211 .在平面直角坐標系xOy中，已知圓M:x

3、2 y2 4x 8y 12 0 ,圓N與圓M外切與點（0,m）,且過點(0, 2),則圓N的標準方程為 .答案：(x 2)2 y2812 .已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x 1對稱，當x (0,1時，f(x) e(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，若f(2020 ln 2) 8 ,則實數(shù)a的值為uuuABuur uuur uuirAD 2AC AE ,貝cos ADE 的最小答案：313 .如圖，在 ABC中，D,E是BC上的兩個三等分點,值為14 .設(shè)函數(shù)f(x) |x3 ax b|,x 1,1,其中a,b R.若f(x) M包成立，則當M取得最小值時,答案：34二、解答題：本

4、大題共a b的值為6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15 .(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐P ABC中，AP AB , M,N分別為棱PB,PC的中點，平面PAB 平面PBC .(1)求證：BC/平面AMN ；(2)求證：平面 AMN 平面PBC.解：（1）在4PBC中，因為 M N分別為棱PB PC的中點，所以M附BC. 3分又MN平面AMN BC 平面AMN所以BC/平面AMN 6分（2）在4PAB中，因為AP AB, M為才;程PB的中點，所以AM PB . 8分又因為平面 PABL平面PBC平面PAB平面PBC PB, AM 平

5、面PAB所以AM 平面PBC 12分又AM 平面AMN所以平面 AMN_平面PBC 14分16.（本小題滿分14分）ABC中，角AB,C的對邊分別為a,b, c ,.目.cosA 5(1)若 a 5,c 2后，求b的值;若B 4,求tan2c的值.解：（1）在ABC中，由余弦定理b222c 2bccos A a 得,b2 20 2 2.525,即 b2 4b 5 0,解得b 5或b 1，所以b 5.(2)由 cos A得,sin Acos2 A , 1(；)25所以cosCcos(AB)cos(A又因為0C ,所以sinC,1 cos2 C2, A (cosA21(i3210sin A)3 1

6、0102 551010從而tanC3 10sinC 10cosC 1012分所以tan2C10 2tanC1 tan2 C2 31 3214分17 .（本小題滿分14分）如圖，在圓錐SO中，底面半徑R為3,母線長l為5.用一個平行于底面的平面區(qū)截圓錐，截 面圓的圓心為Oi ,半徑為r ,現(xiàn)要以截面為底面，圓錐底面圓心O為頂點挖去一個倒立的小圓 錐OOi ,記圓錐OOi的體積為V .（1）將V表示成r的函數(shù)；（2）求V得最大值.頁3第(第17題)解：(1)在 ASAO 中，so Jsa2 ao2 3r 4， 2 分由 SNQ s sao可知 所以SO r 4分SO R3所以O(shè)Oi2rx4 -9r

7、4 - 3(42 亦1 - 33、r ),0 r 3 .7 分(2)由(1)得 V(r) - K3r2 r3),0 r 3,所以V(r)0時，g (x) 0,所以g(x)單調(diào)遞增，至多有一個零點.4分當a 0時，因為當x (0, 3時，g (x) 0, g(x)單調(diào)遞增，a當x ( 1 , + )時，g (x) 0 , g(x)單調(diào)遞減,a所以x1 時，g(x)max g( 1) 1nT)2.因為g(x)存在兩個零點，所以1n(92。，解得e2 a。因為e2 a 0 ,所以3e2 1 .a因為g(1) a 1 0,所以g(x)在(0,)上存在一個零點. a因為e 2 a 0 ,所以(1)21

8、.a a因為 g( 1)2 a因為y2ttln( 1)2a 1,設(shè) t1 ,則 y 21n t t 1(t e2), a0 ,所以y 21nt t 1(t e2)單調(diào)遞減,所以y 21n e2e2 1 3 e2 0,所以 g( 1)2 1n( 1)2 1 1 0， aa a所以g(x)在(1)上存在一個零點.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為2 _ (e2,0) .10分(3)當 a 2 時，f(x) (2 -)1n x, f (x) 41nx2 - -2x 121n x ,xxx x x設(shè)g(x) 2x 1 1nx,則g(x) 1 2 0 .所以g(x)單調(diào)遞增， x且g(2 1n2 0, g(1

9、) 1 0,所以存在x0依，1)使得g(x) 0 ,12分因為當x (0,%)時，g(x) 0,即f(x) 0,所以f(x)單調(diào)遞減；當x (%,+ )時，g(x) 0,即f(x) 0 ,所以f (x)單調(diào)遞增，所以x %時，f(x)取得極小值，也是最小值，此時 f(x。) (2 2)1nx0 (2 1)1 2x0(4% )4, 14 分% % %因為 x0 (2,1),所以 f(x0) (1,0),因為f(x) ，且 為整數(shù)，所以 1,即的最大值為 1. 16分20.(本小題滿分16分) 已知數(shù)列分的首項為3,對任意的n N*,都有am kan 1 (k 0),數(shù)列% 1是公比不為1的等比數(shù)

10、列.(1)求實數(shù)k的值;、-4 n. n 為奇數(shù) 、.一.一 一 S,*,設(shè)bnan 1,n為偶數(shù),數(shù)列bn的前n項和為Sn，求所有正整數(shù)m的值，使得懸恰好為數(shù)列bn中的項.解：(1)由 an 1 kan 1, a1 3 可知，a? 3k 1,a3 3k2(2)因為an 1為等比數(shù)列，所以 1)2 (a1 1)包即(3k 2)24當k 4時，3所以數(shù)列an1),22 (3k2an 12k 2),即 3k 10k 84,3 -(an 3),所以 an 3 ,31的公比為1,不符合題意;當k 2時，an 1 1 2(an 1),所以數(shù)列 所以實數(shù)k的值為2 .由(1)知 an 12n,所以bn0,

11、解得則an 11的公比an 11an 1則 Sm (4 1) 4(4 1) (4m(4 m)(43)-m 1433)L44244(2m 1) 4m(2m 1) 4 42 L 4m則 S2m1S2m b2mm(4m)4m 4因為b2m且 b2b3設(shè)S2m 12m+15 0,2mbi 34m,0,3又(b2m2b2m+3)(b2mm+J 3 4m2所以 S2m 1 0 ,則 32m00,*bt0,t N ,則t 1,3或t為偶數(shù)，因為b3 1不可能，所以t 1或t為偶數(shù),當_Sm_82m 1m(4 m)“時，m(4 m)m 1/443m m4433 ,化簡得 6m2 24m 84m w即 m2 4

12、m驗證SL 732S4S30,所以m可取值為1, 2,當t為偶數(shù)時,設(shè)cm由知82mS2m 123m 12m 4m4m 3,當當m 4時，cm 1cm所以082mS2m 1即3m212m87 /日 w 二得，當m23m(4 m)m(44時,0,cm 1c5所以m)cmc4c42時,3,S4S312分319- 5,110240 ,無整數(shù)解.綜上，正整數(shù)m的值2 .m 1/443/m44329m 42m3450；82mS2m13一 2 一 ，3m 12m 4 14m21b2,則 1cm的最小值為c51910243T 23m 12m 44m16分2019-2020學年度高三年級第一次質(zhì)量檢測數(shù)學n

13、（附加題）21 .【選做題】本題包含 A、B、C小題，請選定其中兩題，并在答題卡相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4 2:矩陣與變換（本小題滿分10分）2 3 .已知矩陣M的一個特征值為4,求矩陣M的逆矩陣M 1t 1. .23解：矩陣M的特征多項式為f( )3(2)(1) 3t .t 1因為矩陣M的一個特征值為4,所以f (4)13所以 M 2 3 ,所以 M 1213221322 1222132213210分B.選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立

14、極坐標系，直線l的極坐標方程為（cos sin ） 12,曲線C的參數(shù)方程為x 23cos （為參數(shù)， R）.在曲 y 2sin線C上點M ,使點M到l的距離最小，并求出最小值解：由 l : cos sin 12 0 ,及 x cos , y sin所以l的直角坐標方程為 x y 12 0在曲線C上取點M 2石cos ,2sin,則點M到l的距離2 點 cos 2sin 124sin_3_12212 4sin.2當 6時，d取最小值4艮此時點M的坐標為3,1 .2分6分8分10分C.選彳4-5:不等式選講（本小題滿分10分）已知正數(shù)x, y,z滿足x y z 1,求一1x 2y解：因為x, y

15、, z都為正數(shù)，且x y z 1,11+y 2z z 2x的最小值.1y 2z2x所以由柯西不等式得,2y) (y 2z) (z 2x)y 2z當且僅當x y z 1時等號成立,3z12xvz2x)29 ,所以 111 的最小值為3. 10分x 2y y 2z z 2x第22題、第23題，每題10分，共計20分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(本小題滿分10分)如圖，在三棱柱ABC AB1C1中，側(cè)面AABB為正方形，側(cè)面BBQC為菱形，BBQ 60,平面AARB 平面BBGC .(1)求直線AC1與平面AA1B1B所成角的正弦值;(2)求二面角B A

16、C1 C的余弦值.AB BB1 ,因為平面 AA1B1B 平面BB1cle ,平面 AA1B1B I平面BB1cle BB1 AB 平面AABB ,所以AB 平面BB1C1C .以點B為坐標原點，分別以 BA, BB1所在的直線為x, y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系B不妨設(shè)正方形 AABB的邊長為2, 則 A2 , 0 , 0 , B1 0 , 2 , 0 .在菱形BB1C1C中，因為 BB1C1 60.一UUUU所以 C1(0 ,1 , V3)，所以 AC1( 2 ,1 ,因為平面 AABB的法向量為n 0設(shè)直線則sinAC1與平面AABB所成角為UUUUI 3 |cos AC1, n

17、| 2 2 1BA1(第22題)，0 ，,)2分即直線_64 ，AC1與平面AAB1B所成角的正弦值為(2)由(1)可知，C 0 ,1，8設(shè)平面ACG的一個法向量為n1uuju,所以CC1X1,y1，Z1UUUUn1 AC10,日口因為UUUU 即n1 CC10,取 X13 , W 0,設(shè)平面ABG的一個法向量為n2Z1Z1n12 ,1 ，0 , 2J2X2 ， V2urnuuur因為 BA 2 , 0 , 0 , BC10 ,1，曲，X2 , y2 , Z2 所以X2 , y2 , Z22 , 0 , 00l ，取 n20 , M ,1 0 , 1 , J30設(shè)二面角B ACi C的平面角為，n1 n21貝1 cos cos n1 , n2 .N 1叫,4 1 67所以二面角B AC1 C的余弦值為耳10分23.(本小題滿分10分)已知n為給定的正整數(shù),設(shè)(3 x)n a0 a1x a2X2 LR.(1)若n 4 ,求a。，a1的值;n若X 3,求k0(n k)akXk的值.2 , 16解：(1)因為 n 4,所以 a0 C4(2)4=-, a1