第6章群體間的差異比較方差分析

1、第6章6.1方差分析概述6.2一元方差分析6.3二因素方差分析6.4 協(xié)方差分析3數(shù)據(jù)文件“社團(tuán).sav”是對(duì)高校學(xué)生參加社團(tuán)活動(dòng)的興趣調(diào)查。調(diào)查對(duì)象分四個(gè)年級(jí)：大一新生、其他高年級(jí)本科生、碩士生和博士生。用每周參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間來度量對(duì)社團(tuán)活動(dòng)感興趣的程度。u經(jīng)驗(yàn)表明，隨著年級(jí)的上升，對(duì)社團(tuán)活動(dòng)的興趣減弱。因此需要比較這4個(gè)年級(jí)每周參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間均值是否有差別。u首先進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)：均數(shù)比較并用箱圖呈現(xiàn)。u方法一：Explore過程u方法二：Compare MeansMeans過程 Legacy DialogsBoxplotReport參與社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間年級(jí)MeanNStd. Devia

2、tion本科新生23.38402.328其他高年級(jí)本科生21.49352.639碩士研究生5.24412.364博士研究生4.09442.321Total13.011609.278先使用Means過程比較組間的均數(shù)用箱圖呈現(xiàn)不同年級(jí)的組間差異u要比較組間的均數(shù)，一種方法是通過獨(dú)立樣本的 T 檢驗(yàn)進(jìn)行兩兩比較，這樣需要進(jìn)行C426次兩兩比較，即要進(jìn)行6次獨(dú)立樣本的 T 檢驗(yàn)。u 在 T 檢驗(yàn)中，是通過顯著性（Sig.值）來判斷原假設(shè)是否成立，顯著性0.05代表在5%的錯(cuò)誤水平下拒絕或接受原假設(shè)。u 進(jìn)行6次 T 檢驗(yàn)會(huì)得到6個(gè)Sig.值，綜合得到的Sig.值為10.956 0.265 ，大于預(yù)設(shè)

3、的顯著性水平0.05。u因此，對(duì)于多個(gè)分組的比較， T 檢驗(yàn)不再適用。u假設(shè)4個(gè)年級(jí)的學(xué)生分別來自4個(gè)不同的總體，各組的方差都相等，數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，各組的樣本都是獨(dú)立的隨機(jī)樣本。即4組總體的是相同的分布。u通過均值的組間比較得知，按年級(jí)劃分的4組參加社團(tuán)活動(dòng)的均值是不同的。u要回答的問題是：均值的差別是不是由抽樣因素造成的？還是因?yàn)椴煌慕M在總體上就有不相等的均值？u通過方差分析，能夠把樣本的方差分解為源于分組因素的部分和源于抽樣波動(dòng)的部分；如果源于分組的方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于源于抽樣波動(dòng)的方差，則有理由認(rèn)為各組的均值是顯著不全相等。也就是說，這些子總體并不是來自同一個(gè)有相同均值和方差的大總體，至少有

4、一個(gè)子總體來自不同均值的其他總體。u元：指定距的因變量。用方差分析的方法來檢驗(yàn)各組中的因變量均值是不是相等；u因素：用來進(jìn)行分組的變量叫“因素”，如變量“grade”就是因素，通常用因素解釋因變量的方差；u水平：因素的取值稱為“水平”，如“grade”有4種取值，也就是有4種“水平”；u組內(nèi)方差：代表本組內(nèi)各樣本取值相對(duì)于組內(nèi)平均值的分布離散程度，它代表了總方差中不能用分組因素解釋的部分；u組間方差：代表各組平均值相對(duì)于總平均值的分布離散程度，它代表了總方差中可以用分組因素解釋的部分。例：需要比較三個(gè)班的英語成績(jī)是否有差異。從每個(gè)班中隨機(jī)地抽取5個(gè)學(xué)生，他們的英語成績(jī)?nèi)缦卤硪?從一個(gè)班中隨機(jī)抽

5、取三個(gè)學(xué)生，每次抽得的學(xué)生成績(jī)是不同的，見表二.表一：三個(gè)班的樣本英語成績(jī)表二：同一個(gè)班中抽取的三個(gè)樣本英語成績(jī)抽樣波動(dòng)引起抽樣波動(dòng)引起的均值的均值差異差異（組內(nèi)方差（組內(nèi)方差）抽樣波動(dòng)引起的，還抽樣波動(dòng)引起的，還是總體間存在顯著差是總體間存在顯著差異呢？（異呢？（組間方差）組間方差）182X 384X 280X 181X 282X 383X 2222211(828084)82311()8282(8082)(8482)413xXXcSXXcc代表組數(shù)282,1xXS1、計(jì)算組間的變差：對(duì)表一可求得組間方差：對(duì)第二組同樣可求組間方差22211222()()()(1)ccpXXXXXXSc n12

6、23pS22113pS22225 4=302/35 1=1.3611/3xpxpnSFSnSFS第一組：第二組：計(jì)算得3、計(jì)算F比值2、計(jì)算組內(nèi)的變差：對(duì)表一、表二可求得組內(nèi)方差：u若F 值顯著大于1，則說明均值間的差異不能用抽樣誤差來解釋，各組間存在顯著差異。u若F 值接近1，則說明各組間差異不明顯，均值的差異主要是由抽樣誤差來造成的。u 方差分析是一種假設(shè)檢驗(yàn)，運(yùn)用方差分析時(shí)，對(duì)參與分析的變量所來自的總體有要求和假設(shè)。u數(shù)據(jù)要求n一個(gè)因變量（定距變量）一個(gè)因變量（定距變量）n一個(gè)或多個(gè)自變量（分類變量）一個(gè)或多個(gè)自變量（分類變量）u基本假設(shè)：n獨(dú)立隨機(jī)性：每個(gè)總體中的樣本都必須是獨(dú)立隨機(jī)抽

7、樣的獨(dú)立隨機(jī)性：每個(gè)總體中的樣本都必須是獨(dú)立隨機(jī)抽樣的n各總體要求正態(tài)分布：各組樣本來自正態(tài)總體各總體要求正態(tài)分布：各組樣本來自正態(tài)總體n因變量等方差：各組樣本中因變量方差在總體水平上相等。因變量等方差：各組樣本中因變量方差在總體水平上相等。u方差分析中，n原假設(shè)：被檢驗(yàn)的每一個(gè)總體的均值都是相等的；原假設(shè)：被檢驗(yàn)的每一個(gè)總體的均值都是相等的；n備擇假設(shè)：這些總體中至少有一個(gè)總體的均值與其他總體備擇假設(shè)：這些總體中至少有一個(gè)總體的均值與其他總體的均值有差異。的均值有差異。0121:,nijHYYYHYY ij=u在這樣的原假設(shè)下進(jìn)行方差分析：n組內(nèi)方差的大小不依賴原假設(shè)的成立與否，不會(huì)受到樣本

8、組內(nèi)方差的大小不依賴原假設(shè)的成立與否，不會(huì)受到樣本均值的影響，是一個(gè)相對(duì)均值的影響，是一個(gè)相對(duì)“穩(wěn)定穩(wěn)定”的值；的值；n組間方差的估計(jì)只有在原假設(shè)成立的情況下才正確，否則組間方差的估計(jì)只有在原假設(shè)成立的情況下才正確，否則組間方差會(huì)非常大。組間方差會(huì)非常大。u結(jié)論n根據(jù)組內(nèi)方差可以看出同一個(gè)組內(nèi)不同案例值的差異程度；根據(jù)組內(nèi)方差可以看出同一個(gè)組內(nèi)不同案例值的差異程度；n根據(jù)組間方差可以觀察不同組別之間的差異程度。根據(jù)組間方差可以觀察不同組別之間的差異程度。n如果組間方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組內(nèi)方差，就可以拒絕各總體均值如果組間方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組內(nèi)方差，就可以拒絕各總體均值之間沒有差別這一原假設(shè)。之間沒有差別這一

9、原假設(shè)。u構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量服從已知的F分布。n如果各組均值相等的原假設(shè)成立，那么組間方差主要由隨機(jī)如果各組均值相等的原假設(shè)成立，那么組間方差主要由隨機(jī)誤差造成，即組間方差的值應(yīng)接近組內(nèi)方差，也就是誤差造成，即組間方差的值應(yīng)接近組內(nèi)方差，也就是F值不值不會(huì)太大，且接近于會(huì)太大，且接近于1；n如果自變量對(duì)因變量造成了顯著影響，那么自變量的各因素如果自變量對(duì)因變量造成了顯著影響，那么自變量的各因素對(duì)組間均方差的影響必然遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差，對(duì)組間均方差的影響必然遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差，F(xiàn)值顯著大于值顯著大于1。u給出顯著性水平，與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的概率P值相比較。n如果如果P值小于值小于，則應(yīng)拒絕零假設(shè)，認(rèn)為自

10、變量的不同水平下，則應(yīng)拒絕零假設(shè)，認(rèn)為自變量的不同水平下，因變量的總體均值存在顯著差異；因變量的總體均值存在顯著差異；n如果如果P值大于值大于，則不能拒絕零假設(shè)，認(rèn)為自變量的不同水平，則不能拒絕零假設(shè)，認(rèn)為自變量的不同水平下，因變量的總體均值之間無顯著差異。下，因變量的總體均值之間無顯著差異。u根據(jù)數(shù)據(jù)“社團(tuán).sav”推斷不同年級(jí)的學(xué)生參加社團(tuán)活動(dòng)的興趣是否存在差異。uAnalyzeCompare MeansOne-way ANOVA因變量因變量自變量自變量趨勢(shì)檢驗(yàn)趨勢(shì)檢驗(yàn)多重比較檢驗(yàn)多重比較檢驗(yàn)等方差性假設(shè)成立等方差性假設(shè)成立等方差性假設(shè)不成立等方差性假設(shè)不成立常用的兩種多重比常用的兩種多重

11、比較方法較方法輸出結(jié)果選項(xiàng)輸出結(jié)果選項(xiàng)方差齊性檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn)均值圖均值圖用于各組方差不等用于各組方差不等時(shí)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)時(shí)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)u第一步：描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果：表格或箱圖u第二步：總體的方差齊性檢驗(yàn)。n當(dāng)樣本總量較大，樣本中案例個(gè)數(shù)比較接近時(shí)，方差分析當(dāng)樣本總量較大，樣本中案例個(gè)數(shù)比較接近時(shí)，方差分析對(duì)總體正態(tài)分布和等方差性的要求不是很高；對(duì)總體正態(tài)分布和等方差性的要求不是很高；n當(dāng)樣本容量不大，樣本中案例個(gè)數(shù)差異較大時(shí)，方差分析當(dāng)樣本容量不大，樣本中案例個(gè)數(shù)差異較大時(shí)，方差分析要求正態(tài)總體和等方差性。要求正態(tài)總體和等方差性。方差齊性檢驗(yàn)的方差齊性檢驗(yàn)的原假設(shè)：各組方原假設(shè)：各組方差相等。差相等。

12、因此，因此，P值大于值大于0.05，方差齊性，方差齊性檢驗(yàn)通過。檢驗(yàn)通過。u第三步：總體的正態(tài)性檢驗(yàn)：直方圖或Q-Q圖。n可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行拆分，作直方圖觀察各組的正態(tài)性。可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行拆分，作直方圖觀察各組的正態(tài)性。n也可以用也可以用Explore過程輸出過程輸出Q-Q圖或圖或KS檢驗(yàn)結(jié)果判斷。檢驗(yàn)結(jié)果判斷。三個(gè)組的正態(tài)性檢驗(yàn)沒有通過。但只要樣本量足夠三個(gè)組的正態(tài)性檢驗(yàn)沒有通過。但只要樣本量足夠大，非正態(tài)性不影響方差分析的結(jié)果。大，非正態(tài)性不影響方差分析的結(jié)果。u第四步：方差分析結(jié)果 F值遠(yuǎn)大于1，說明組間方差遠(yuǎn)大于組內(nèi)方差，由于分組造成的差異遠(yuǎn)超過抽樣誤差。 P值遠(yuǎn)小于0.05，因此可以拒絕原

13、假設(shè)，而接受備擇假設(shè)。 因此認(rèn)為本科新生、高年級(jí)本科生、碩士研究生、博士研究生這4個(gè)總體的均值是有顯著差異的。u第五步：進(jìn)一步分析多重比較u當(dāng)方差分析的結(jié)果顯著，說明4組中至少有一組與其他組不同，但卻無法判斷到底是哪一組或哪些組之間結(jié)果不同，u此時(shí)需要進(jìn)一步運(yùn)用多重比較來具體考察各組之間的差別。 多重比較的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：除碩士和博士外，其他組別兩兩之間差異顯著。26u 在上例中，我們只考慮了自變量“年級(jí)”對(duì)因變量“參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間”的影響，如果我們分兩個(gè)因素“性別”和“年級(jí)”考慮對(duì)“參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間”的影響，此時(shí)的分析用單因素方差分析便無法完成。u二因素方差分析是研究當(dāng)自變量有兩個(gè)時(shí)，檢驗(yàn)各組

14、的均值是否全等。u1、檢驗(yàn)假設(shè)n當(dāng)同時(shí)考慮年級(jí)和性別兩個(gè)因素時(shí)，要檢驗(yàn)的假設(shè)變?yōu)楫?dāng)同時(shí)考慮年級(jí)和性別兩個(gè)因素時(shí)，要檢驗(yàn)的假設(shè)變?yōu)?個(gè)，其中最后一個(gè)是兩個(gè)因素的交互作用是否顯著：個(gè)，其中最后一個(gè)是兩個(gè)因素的交互作用是否顯著：n不同年級(jí)的學(xué)生平均每周參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間是否全等；不同年級(jí)的學(xué)生平均每周參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間是否全等；n男女生平均每周參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間是否全等；男女生平均每周參加社團(tuán)活動(dòng)的時(shí)間是否全等；n用年級(jí)和性別進(jìn)行交互分析后，各組均值是否全等。用年級(jí)和性別進(jìn)行交互分析后，各組均值是否全等。u2、數(shù)據(jù)要求n要求各組的數(shù)據(jù)都來自正態(tài)分布總體中的隨機(jī)樣本，并且要求各組的數(shù)據(jù)都來自正態(tài)分布總

15、體中的隨機(jī)樣本，并且各組方差恒定。各組方差恒定。u3、主效應(yīng)與交互效應(yīng)n在方差分析中，主效應(yīng)指每個(gè)因素單獨(dú)對(duì)因變量的影響。在方差分析中，主效應(yīng)指每個(gè)因素單獨(dú)對(duì)因變量的影響。此例中，年級(jí)和性別兩個(gè)因素構(gòu)成了兩個(gè)主效應(yīng)；此例中，年級(jí)和性別兩個(gè)因素構(gòu)成了兩個(gè)主效應(yīng)；n交互效應(yīng)指第三個(gè)因素（年級(jí)和性別交互形成）對(duì)因變量交互效應(yīng)指第三個(gè)因素（年級(jí)和性別交互形成）對(duì)因變量的影響。的影響。參加社團(tuán)活動(dòng)的平參加社團(tuán)活動(dòng)的平均時(shí)間年級(jí)因素均時(shí)間年級(jí)因素的影響性別因素的影響性別因素的影響的影響沒有交互效應(yīng)的情況有交互效應(yīng)的情況平均年薪起點(diǎn)性平均年薪起點(diǎn)性別因素的影響工別因素的影響工作單位性質(zhì)的影響作單位性質(zhì)的影響

16、性別和工作單位性別和工作單位性質(zhì)的交互效應(yīng)性質(zhì)的交互效應(yīng)u4、檢驗(yàn)原理n二因素方差分析也是通過比較組間與組內(nèi)方差來說明各個(gè)二因素方差分析也是通過比較組間與組內(nèi)方差來說明各個(gè)自變量的作用是否顯著。自變量的作用是否顯著。n二因素方差分析中的組內(nèi)方差之和是兩個(gè)自變量交互形成二因素方差分析中的組內(nèi)方差之和是兩個(gè)自變量交互形成的各個(gè)組內(nèi)的方差的總和。例如性別和年級(jí)的交互中，組的各個(gè)組內(nèi)的方差的總和。例如性別和年級(jí)的交互中，組內(nèi)方差之和要考慮內(nèi)方差之和要考慮248個(gè)組內(nèi)內(nèi)部各組均值差異的和。個(gè)組內(nèi)內(nèi)部各組均值差異的和。u針對(duì)數(shù)據(jù)“社團(tuán).sav”,分析年級(jí)和性別對(duì)參加社團(tuán)活動(dòng)時(shí)間的影響。nAnalyzeGe

17、neral Linear ModelUnivariatenModel選項(xiàng)卡選項(xiàng)卡選入年級(jí)、性別以選入年級(jí)、性別以及交互效應(yīng)的三個(gè)及交互效應(yīng)的三個(gè)變量。如果交互效變量。如果交互效應(yīng)不顯著，則回到應(yīng)不顯著，則回到此選項(xiàng)卡去掉交互此選項(xiàng)卡去掉交互效應(yīng)。效應(yīng)。nProfile Plots選項(xiàng)卡選項(xiàng)卡:輸出均值圖輸出均值圖單擊單擊Add將輸出考將輸出考慮交互效應(yīng)的均值慮交互效應(yīng)的均值圖。圖。nOptions選項(xiàng)卡選項(xiàng)卡輸出描述性統(tǒng)計(jì)量輸出描述性統(tǒng)計(jì)量方差齊性檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn)通過。方差齊性檢驗(yàn)通過。（原假設(shè)是各組方（原假設(shè)是各組方差相等）差相等）主效應(yīng)顯著主效應(yīng)顯著 交互效應(yīng)不交互效應(yīng)不顯著顯

18、著 n當(dāng)交互效應(yīng)不顯著時(shí)，需要重新指定當(dāng)交互效應(yīng)不顯著時(shí)，需要重新指定model選項(xiàng)卡中的變選項(xiàng)卡中的變量，將交互效應(yīng)去掉。量，將交互效應(yīng)去掉。u由于主效應(yīng)顯著，可以做事后比較：Post Hoc事后比較的自變量事后比較的自變量水平應(yīng)大于三個(gè)。水平應(yīng)大于三個(gè)。交互效應(yīng)并入誤差交互效應(yīng)并入誤差項(xiàng)項(xiàng)LSD法進(jìn)行事后比法進(jìn)行事后比較的結(jié)果。較的結(jié)果。u1、針對(duì)數(shù)據(jù)“手機(jī)購(gòu)買.sav”n分析不同年級(jí)的同學(xué)手機(jī)購(gòu)買動(dòng)機(jī)有無差別？分析不同年級(jí)的同學(xué)手機(jī)購(gòu)買動(dòng)機(jī)有無差別？n如果同時(shí)考慮性別因素呢？如果同時(shí)考慮性別因素呢？u2、數(shù)據(jù)“工資水平.save”統(tǒng)計(jì)了不同性別和單位性質(zhì)的薪資起點(diǎn)。n試分別分析不同單位性質(zhì)和性別的員工之間薪資是否有所試分別分析不同單位性質(zhì)和性別的員工之間薪資是否有所不同。不同。n試分析不同單位性質(zhì)和性別兩因素共同作用下的員工試分析不同單位性質(zhì)和性別兩因素