排列數(shù)的應(yīng)用

1、排列數(shù)的應(yīng)用題2.排列數(shù)的公式：排列數(shù)的公式：其中其中n,mN，并且，并且mn。1.從從n個(gè)不同的元素中任取個(gè)不同的元素中任取m（mn)個(gè)不同元素，按個(gè)不同元素，按一定的順序排成一列一定的順序排成一列,叫做從叫做從n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的一個(gè)排列一個(gè)排列； 從從n個(gè)不同的元素中任取個(gè)不同的元素中任取m（mn)個(gè)不同元素的所個(gè)不同元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中任取個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元個(gè)元素的素的排列數(shù)排列數(shù)。用符號(hào)。用符號(hào)“Pnm”表示。表示。復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：Pnm=n(n-1)(n-2) (n-m+1) n!(n-m)!=3.全

2、排列數(shù)與階乘：全排列數(shù)與階乘：Pnn=n!=n.(n-1).(n-2).2.1(n+1)!=(n+1).n.(n-1).2.1=(n+1).n!幾種特殊的排列幾種特殊的排列1.1.優(yōu)先排列優(yōu)先排列()特殊位置 頭和尾解法一：2454480P P 解法二：()特殊元素 甲1545480P P 解法三：間接法65652480PP例例1、6人排一排，甲不在頭也不在尾，有幾種排法？人排一排，甲不在頭也不在尾，有幾種排法？2.2.集團(tuán)排列（捆綁法）集團(tuán)排列（捆綁法）643例已知 男 女排成一排，男一起；女一起；男一起，女一起，分別有幾種排法？3535720P P 432432288P P P 44P1

3、第第一一步步：排排男男生生有有)(44P有有一一起起后后看看作作一一個(gè)個(gè)整整體體，第第二二步步：把把男男生生捆捆綁綁在在576PP4444 共共有有3.3.間隔排列間隔排列743例已知 男 女排成一排，男不一起；女不一起；男不一起，女不一起，分別有幾種排法？43451440P P 3434144P P 33P1 第第一一步步：排排女女生生有有)(44P4個(gè)空位排男生，即個(gè)空位排男生，即兩端共有兩端共有第二步：女生之間加上第二步：女生之間加上441PP4433 共共有有844例已知 男 女排成一排，男不一起且女不一起，有幾種排法？ 解：或4314421152P P P 4.4.有序排列有序排列9

4、5例已知 人比賽跑步，甲比乙快，有幾種情形？解：甲比乙快和甲比乙慢的情形一樣多，55/ 260P10, , , , ,a b c d e fa b c例，按順序的排列有幾種？6633120PP解：1163例書架上有 本書，插入 本，要求不改變?cè)樞?，有幾種插法？99669 8 7504PP 解：2.(1)(2)(3)(4)七人站成一排照相有幾種站法？若甲必須站在中間，有幾種站法？若甲不能站兩端，有幾種站法？若甲、乙必須相鄰，有幾種站法？77(1)5040P 解：66(2)6720P 先將其余 人排好，再將甲插在中間即可。1656(3)3600P P 6262(4)1440P P 先合后分。綜合

5、練習(xí)綜合練習(xí)有附加條件的排列應(yīng)用題的基本解法：1）優(yōu)限法）優(yōu)限法有關(guān)特殊元素有關(guān)特殊元素“在不在在不在”特殊位置的排列問題要先找特殊位置的排列問題要先找出出“受限位置受限位置”與與“受限元素受限元素”，然后以，然后以“受限位置受限位置”為主，用直接法逐位排列之，有時(shí)用間接法解之。為主，用直接法逐位排列之，有時(shí)用間接法解之。2）捆綁法）捆綁法若干個(gè)元素相鄰排列問題，一般用若干個(gè)元素相鄰排列問題，一般用“捆綁法捆綁法”。先把。先把相鄰的若干元素相鄰的若干元素“捆綁捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再排列，然后再“松綁松綁”，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列，將這若干個(gè)元素內(nèi)部

6、全排列3）插空法）插空法若干個(gè)元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即若干個(gè)元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即先將先將“普通元素普通元素”全排列，然后再在排就的每?jī)蓚€(gè)全排列，然后再在排就的每?jī)蓚€(gè)元素之間及兩端插入特殊元素。元素之間及兩端插入特殊元素。4）排除法）排除法對(duì)某些問題的反面比較明了，可用排除法。對(duì)某些問題的反面比較明了，可用排除法。1.(1)15?例某班名同學(xué)兩兩互通一封信,共通了 多少封信,152,152分析： 每封信都有作為寄信和收信的兩個(gè)人 一封信對(duì)應(yīng)于個(gè)不同元素中取出 個(gè) 元素的一個(gè)排列 因此通信數(shù)為從個(gè) 不同元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù)。215: 15 14210(): 2

7、10P 解封答 共通封信。(2)151()? 某年全國(guó)男子足球超級(jí)聯(lián)賽共有個(gè)隊(duì)參 加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比 賽 場(chǎng) 雙循環(huán)賽 ，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽15 2152分析： 一場(chǎng)比賽是由主隊(duì)與客隊(duì)進(jìn)行的，從個(gè)隊(duì)中取出 個(gè)隊(duì)的一個(gè)排列對(duì)應(yīng)于一場(chǎng) 比賽。因此，比賽總場(chǎng)數(shù)為從個(gè)不同 元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù)。215: 15 14210(): 210P 解場(chǎng)答 共進(jìn)行場(chǎng)比賽。例2 有5名男生，4名女生排隊(duì)。（1）從中選出3人排成一排，有多少種排法？（2）全部排成一排，有有多少種排法？（3）排成兩排，前排4人，后排5人，有多少種排法？39504P99362880P99362880P例3、用0到9這

8、十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè) 沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？百位十位個(gè)位解法一：對(duì)排列方法分步思考。1119989 9 8648P P P 12999 9 8648P P 特殊位置優(yōu)先考慮解法二：對(duì)排列方法分類思考。 符合條件的三位數(shù)可分為兩類：百位 十位 個(gè)位39P0百位 十位 個(gè)位29P0百位 十位 個(gè)位29P32996482PP根據(jù)加法原理：特殊元素優(yōu)先考慮例3、用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè) 沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法三： 從0到9這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 ，310P.648898910310P29P 所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是 其中以0為排頭的排列數(shù)為 . 29P排除法變題：用0到9這十

9、個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)？1115885 8 8320P P P 例3、用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè) 沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？例例4、7名學(xué)生站成一排，甲乙必須站在一起，有多少名學(xué)生站成一排，甲乙必須站在一起，有多少 種方法？種方法？捆綁法：捆綁法：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題，要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題。即將需要相鄰的元素可以用捆綁法來解決問題。即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其他元素一起作排列，同合并為一個(gè)元素，再與其他元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以做排列。時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以做排列。一般地：一般地：n個(gè)人

10、站成一排，其中某個(gè)人站成一排，其中某m個(gè)人相鄰，可個(gè)人相鄰，可用用“捆綁法捆綁法”解決解決.53練習(xí)： 個(gè)男生， 個(gè)女生排成一排，三個(gè)女生要排在一起，有多少種排法？2626P P3636P P 例例5、由數(shù)字、由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字4與與5不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個(gè)數(shù)是不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個(gè)數(shù)是72方法一：分步計(jì)算方法一：分步計(jì)算（插空法）插空法）第一步：將第一步：將1 1、2 2、3 3進(jìn)行全排列，有進(jìn)行全排列，有P P3 33 3=6=6種方法種方法第二步：再讓第二步：再讓4 4與與5 5插入四個(gè)空中的兩個(gè)空中，共有插入四個(gè)空中的兩

11、個(gè)空中，共有P P4 42 2=12=12種方法種方法。因此，符合條件的五位數(shù)共有因此，符合條件的五位數(shù)共有P P3 33 3.P.P4 42 2 =72=72（個(gè)）（個(gè)）插空法：插空法：對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題，可以用插空法，即先選好沒有限制條件的元素，問題，可以用插空法，即先選好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空擋然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空擋之中即可。若之中即可。若n個(gè)人站成一排，其中個(gè)人站成一排，其中m個(gè)人不相鄰，可個(gè)人不相鄰，可用用插空法插空法解決。解決。 例例5、由數(shù)字、由數(shù)字1、

12、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字4與與5不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個(gè)數(shù)是不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個(gè)數(shù)是72方法二：整體思維方法二：整體思維（排除法）排除法） 先不考慮附加條件，那么所有的五位數(shù)應(yīng)有先不考慮附加條件，那么所有的五位數(shù)應(yīng)有P P5 55 5 =120=120個(gè)。其個(gè)。其中不符合題目條件的，即中不符合題目條件的，即4 4與與5 5相鄰的五位數(shù)共有相鄰的五位數(shù)共有P P4 44 4.P.P2 22 2 =48=48個(gè)。個(gè)。因此，符合條件的五位數(shù)共有因此，符合條件的五位數(shù)共有P P5 55 5 - P- P4 44 4.P.P2 22 2 =72=72個(gè)個(gè)

13、2：學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票：學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。張。8個(gè)學(xué)生，個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生之間，且老個(gè)老師，要求老師在學(xué)生之間，且老師互不相鄰，共有多少種不同方法？師互不相鄰，共有多少種不同方法？5256P P練習(xí)練習(xí)1: 7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰，有多少種名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰，有多少種 方法？方法？8487P P例例6 6、有一輛客車和四輛貨車同時(shí)去某地，客車不走在、有一輛客車和四輛貨車同時(shí)去某地，客車不走在最前面，問這個(gè)車隊(duì)有多少種不同的排法？最前面，問這個(gè)車隊(duì)有多少種不同的排法？ 解法解法1 1：先把先把受限元素受限元素-客

14、車排在后面的四個(gè)位置上，有客車排在后面的四個(gè)位置上，有P P4 41 1 種不同的排法，再把四個(gè)一般元素種不同的排法，再把四個(gè)一般元素-貨車分別排在其余的四個(gè)貨車分別排在其余的四個(gè)位置上，有位置上，有P P4 44 4 種不同的排法。根據(jù)乘法原理，共有種不同的排法。根據(jù)乘法原理，共有P P4 41 1.P.P4 44 4 =96=96種不同的排法。種不同的排法。 解法解法2 2：先安排先安排受限位置受限位置，從四輛貨車中選一輛排在首位，有，從四輛貨車中選一輛排在首位，有P P4 41 1 種排法，再把客車和其余三輛貨車排在后面的四個(gè)位置上，種排法，再把客車和其余三輛貨車排在后面的四個(gè)位置上，有

15、有P P4 44 4種排法。根據(jù)乘法原理，共有種排法。根據(jù)乘法原理，共有P P4 41 1.P.P4 44 4 =96 =96 種不同的排法。種不同的排法。 解法解法3:3:先把四輛貨車排成一列，有先把四輛貨車排成一列，有P P4 44 4 種不同的排法，再把種不同的排法，再把客車插入第一輛貨車之后的四個(gè)位置上客車插入第一輛貨車之后的四個(gè)位置上( (插空法插空法)，有有P P4 41 1 種不種不同的插法。根據(jù)乘法原理，共有同的插法。根據(jù)乘法原理，共有P P4 41 1.P.P4 44 4 =96=96種不同的排法。種不同的排法。 解法解法4:4:先不考慮限制條件，把五輛車排成一列，有先不考慮

16、限制條件，把五輛車排成一列，有P P5 55 5種不種不同的排法，其中不符合條件同的排法，其中不符合條件( (客車排在首位客車排在首位) )的排法有的排法有P P4 44 4 種種( (排除法排除法)。因此，符合條件的排法共有因此，符合條件的排法共有P P5 55 5 - P- P4 44 4 種。種。答：這個(gè)車隊(duì)共有答：這個(gè)車隊(duì)共有9696種不同的排法。種不同的排法。例例6 6、有一輛客車和四輛貨車同時(shí)去某地，客車不走在、有一輛客車和四輛貨車同時(shí)去某地，客車不走在最前面，問這個(gè)車隊(duì)有多少種不同的排法？最前面，問這個(gè)車隊(duì)有多少種不同的排法？ 例例7 7、學(xué)校開設(shè)語文、數(shù)學(xué)、外語、政治、物理、化

17、學(xué)校開設(shè)語文、數(shù)學(xué)、外語、政治、物理、化學(xué)、體育學(xué)、體育7 7門課，如果星期六只開設(shè)門課，如果星期六只開設(shè)4 4節(jié)課，體育不排節(jié)課，體育不排在第在第1 1、4 4節(jié)，問有多少種排列法。節(jié)，問有多少種排列法。 解解1 1：7 7門課中選門課中選4 4門進(jìn)行排課共有門進(jìn)行排課共有P P7 74 4 種排法，其中體育課排在種排法，其中體育課排在第第1 1節(jié)有節(jié)有P P6 63 3 種排法，種排法， 體育課排在第體育課排在第4 4節(jié)也有節(jié)也有P P6 63 3 種排法，種排法，所以符合條件的排法共有：所以符合條件的排法共有：P P7 74 4-2P-2P6 63 3=600=600（種）（種）.(.(

18、排除法排除法） 解解2：考慮：考慮體育不排在第體育不排在第1 1、4 4節(jié)。所以第節(jié)。所以第1 1，4 4節(jié)可從節(jié)可從6 6門課中選門課中選2 2門有門有P P6 62 2種，則第種，則第2 2，3 3節(jié)從余下的節(jié)從余下的5 5門中選門中選2 2門有門有P P5 52 2種，由乘法種，由乘法原理共有原理共有P P6 62 2.P.P5 52 2=600=600（種（種).().(特殊位置優(yōu)先考慮特殊位置優(yōu)先考慮) ) 解解3：考慮：考慮體育不排在第體育不排在第1 1、4 4節(jié)。可分兩類：（節(jié)?？煞謨深悾海? 1）體育課不排，）體育課不排，有有P P6 64 4種；（種；（2 2）體育課排進(jìn)有體

19、育課排進(jìn)有P P2 21 1種，余種，余下下從從6 6門選門選3 3門門有有P P6 63 3種種，所以，所以有有P P2 21 1.P.P6 63 3種。種。由加法原理得：共由加法原理得：共有有 P P6 64 4+P+P2 21 1P P6 63 3=600(=600(種種) )。( (特殊元素特殊元素優(yōu)先考慮優(yōu)先考慮) ) 例例8 8、 7 7人站一排照相（人站一排照相（1 1）若甲、乙兩人坐在兩端；）若甲、乙兩人坐在兩端；丙不坐正中間的排法有多少種？（丙不坐正中間的排法有多少種？（2 2）若甲坐最左邊，）若甲坐最左邊，乙、丙不相鄰，有多少種排法？（乙、丙不相鄰，有多少種排法？（3 3）

20、若甲坐在首位，）若甲坐在首位，乙、乙、 丙必須相鄰，丁不在末位有多少種排法？丙必須相鄰，丁不在末位有多少種排法？ 解：（解：（1 1）甲、乙兩人坐兩端的排列數(shù)為）甲、乙兩人坐兩端的排列數(shù)為P P2 22 2，正中間的排列數(shù)，正中間的排列數(shù)為為P P4 41 1，其它位置的排列數(shù)為，其它位置的排列數(shù)為P P4 44 4，所以共有所以共有P P2 22 2.P.P4 41 1.P.P4 44 4=192(=192(種種) )。（優(yōu)限法優(yōu)限法） (2) (2)因?yàn)榧鬃笪?，則問題可看作為六個(gè)不同元素的排列，其因?yàn)榧鬃笪?，則問題可看作為六個(gè)不同元素的排列，其中乙丙不相鄰，所以符合題意的總排列為中乙丙

21、不相鄰，所以符合題意的總排列為 (3) (3)將乙丙捆起看作一個(gè)元素，則問題為六個(gè)不同元素的排將乙丙捆起看作一個(gè)元素，則問題為六個(gè)不同元素的排列問題，又甲必坐首位，則問題又可看作五個(gè)不同元素的排列，列問題，又甲必坐首位，則問題又可看作五個(gè)不同元素的排列，其中丁不在末位，排列數(shù)為其中丁不在末位，排列數(shù)為P P4 41 1, ,所以總的排列數(shù)為所以總的排列數(shù)為P P4 44 4. P. P5 52 2 ( (種）（種）（插空法插空法）或）或P P6 66 6-P-P2 22 2P P5 55 5=480=480（種）（種）（排除法排除法）P22.P41.P44=192(種）（種）（捆綁法捆綁法）2

22、、12600 的正偶約數(shù)的個(gè)數(shù)共有的正偶約數(shù)的個(gè)數(shù)共有 個(gè)。個(gè)。31 (2)xyz、的展開式中含的展開式中含 xyz 項(xiàng)的系數(shù)是項(xiàng)的系數(shù)是 _補(bǔ)充：補(bǔ)充：3、用、用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，組成比這五個(gè)數(shù)字，組成比20000大且百位數(shù)上大且百位數(shù)上不是不是3的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有 個(gè)。個(gè)。4、三個(gè)學(xué)生坐在一排十個(gè)座位上，要求每人兩邊均有、三個(gè)學(xué)生坐在一排十個(gè)座位上，要求每人兩邊均有空位，共有空位，共有 種不同坐法。種不同坐法。1254781206、用數(shù)字、用數(shù)字0，l，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，有多少個(gè)能被有多少個(gè)能被25整除，有多少個(gè)比整除，有多少個(gè)比240135大的數(shù)大的數(shù)?5、書架上原來排放著、書架上原來排放著6本書，現(xiàn)要再插入本書，現(xiàn)要再插入3本書，則不本書，則不同的插法的種數(shù)為同的插法的種數(shù)為_ 504(1) 21(2) 4075.1, 2,95從中取出 個(gè)，組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。規(guī)定奇數(shù)數(shù)字必須排在奇數(shù)位號(hào)，求這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)。解：偶數(shù)位上只