信號(hào)與系統(tǒng)(第三版)西安電子科技大學(xué)出版社陳生潭第1-5章-第3章

1、3.1 3.1 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解3.2 3.2 周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間的傅立葉級(jí)數(shù)3.3 3.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜3.4 3.4 非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅立葉變換非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅立葉變換3.5 3.5 傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)3.6 3.6 周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換3.7 3.7 連續(xù)信號(hào)的抽樣定理連續(xù)信號(hào)的抽樣定理3.8 3.8 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析第三章第三章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.13.1 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解090cos2121VVVV該式可為兩矢量正交的

2、定義式。該式可為兩矢量正交的定義式。另外一種理解另外一種理解 V V1 1與與V V2 2不正交，現(xiàn)在要求尋求一個(gè)與不正交，現(xiàn)在要求尋求一個(gè)與V V2 2 成比例的矢量成比例的矢量C C1212 V V2 2，使得當(dāng)用使得當(dāng)用C C1212V V2 2近近 似表示似表示V V1 1時(shí)，其誤差矢量時(shí)，其誤差矢量V Ve e 的模最小。的模最小。2121VcVVe 就是找一個(gè)最佳系數(shù)就是找一個(gè)最佳系數(shù)C C1212，使使V Ve e的模最的模最 小。如左上圖所示，知小。如左上圖所示，知V V1 1垂直于垂直于V V2 2時(shí)時(shí)，V Ve e的模才能最小。的模才能最小。這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)3.

3、1.1 矢量的正交分析 1.1.正交矢量正交矢量 數(shù)學(xué)定義數(shù)學(xué)定義 兩矢量正交，在幾何意義兩矢量正交，在幾何意義上是指兩矢量相互垂直（如右圖所示）。上是指兩矢量相互垂直（如右圖所示）。兩矢量相互垂直時(shí)的夾角為兩矢量相互垂直時(shí)的夾角為9090度，即：度，即：所以最佳系數(shù)為所以最佳系數(shù)為此時(shí)此時(shí)，cos1212VVc222122212112coscosVVVVVVVVVVc00cos901221cVV，時(shí)，角的增加，直至隨著 C C12 V V22121VcVVe 2.2.矢量分解矢量分解 在平面空間里，相互正交的矢量在平面空間里，相互正交的矢量V1V1和和V2V2構(gòu)成一個(gè)正交矢量集，而且為構(gòu)成一

4、個(gè)正交矢量集，而且為完備的正交矢量集。平面空間中的任完備的正交矢量集。平面空間中的任 1111111cos,cos11VVVVVVcVVc一矢量一矢量V V都可表示為都可表示為V V1 1和和V V2 2的線性組合的線性組合 （如上圖）。即：（如上圖）。即：V=CV=C1 1V V1 1+C+C2 2 V V2 2。式中。式中V V1 1、V V2 2為單位矢量，且為單位矢量，且V V1 1V V2 20 0。其中：。其中： 同樣，對(duì)于一個(gè)同樣，對(duì)于一個(gè)三維三維的空間矢量，要精的空間矢量，要精確地表示它，就必須用一個(gè)確地表示它，就必須用一個(gè)三維三維的正交的正交矢量集。如左圖，矢量集。如左圖，三

5、維三維矢量空間可精確矢量空間可精確地表示為：地表示為：V= =c1 1V1 1+ +c2 2V2 2+ +c3 3V3 32222222cos,cos22VVVVVVcVVc推廣到推廣到n n維空間，則有維空間，則有其中，其中，C Ci = V VV Vi/ /V Vi V Vi niiinnVcVcVcVcV122113.1.2 3.1.2 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解 1.1.正交信號(hào)（函數(shù)）正交信號(hào)（函數(shù)） * *定義定義: :設(shè)設(shè) f 1 1( (t t) )和和 f 2 2( (t t) )為定義在（為定義在（t t1 1 , ,t t2 2 ) )區(qū)間上的兩個(gè)函區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，現(xiàn)

6、在要用與數(shù)，現(xiàn)在要用與 f 2 2( (t t) )成比例的一個(gè)函數(shù)成比例的一個(gè)函數(shù)C C1212f 2 2( (t t) )近似地代表近似地代表 f 1 1( (t t) )，其誤差信號(hào)為，其誤差信號(hào)為)()()(2121tfctftfe平方誤差定義為：平方誤差定義為：dttfEttee221)(改變改變c c1212的大小，如果使的大小，如果使E Ee e 為最小時(shí)相應(yīng)的為最小時(shí)相應(yīng)的c c12120 0，稱，稱 f 1 1(t)(t)和和 f 2 2(t)(t)在區(qū)間在區(qū)間（t t1 1 ,t ,t2 2) )上正交。上正交。判定兩信號(hào)正交的條件：判定兩信號(hào)正交的條件：0)()(*212

7、1dttftftt 2 2 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解* *正交函數(shù)集：正交函數(shù)集：設(shè)一函數(shù)集設(shè)一函數(shù)集,)(),.,(),()(21tgtgtgtgN),(21ttt Njidttgtgjijikjttii3 , 2 , 1,)()(0*21若 當(dāng)當(dāng)K Ki=1 1時(shí)，稱為時(shí)，稱為歸一化正交函數(shù)集歸一化正交函數(shù)集。 * *信號(hào)的分解：信號(hào)的分解：用上述正交函數(shù)集近似地表示信號(hào)用上述正交函數(shù)集近似地表示信號(hào)f (t)，即：，即：),(g(t)21ttt 為正交函數(shù)集，則稱)()(.)()()(12211tgctgctgctgctfiNiiNN這種近似所產(chǎn)生的平方誤差為：這種近似所產(chǎn)生的平方誤

8、差為：dttgctfEttNiiie2121)()(可以求出，欲使可以求出，欲使E Ee e達(dá)到最小，其第達(dá)到最小，其第r個(gè)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)個(gè)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)Cr為為21212*)()()(ttrttrrdttgdttgtfc此時(shí)的平方誤差為下式所示：此時(shí)的平方誤差為下式所示：dttgcdttfENittiitte2122121)()( 如果對(duì)于某一類如果對(duì)于某一類f(t),(t),所選擇的正交函數(shù)集滿足所選擇的正交函數(shù)集滿足Ee等于零，等于零，則稱正交函數(shù)集對(duì)于則稱正交函數(shù)集對(duì)于f(t)(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集。這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集。 一個(gè)完備的正交函數(shù)集通常是一個(gè)無窮函數(shù)集一

9、個(gè)完備的正交函數(shù)集通常是一個(gè)無窮函數(shù)集。 關(guān)于完備的正交函數(shù)集，有兩個(gè)重要定理。見課本關(guān)于完備的正交函數(shù)集，有兩個(gè)重要定理。見課本P91。.2, 1 , 0sin,cosntntn 3 3 兩個(gè)完備的正交函數(shù)集兩個(gè)完備的正交函數(shù)集 （1 1）三角函數(shù)集）三角函數(shù)集 基本周期：基本周期：T=2T=2/, ,正交正交區(qū)間（區(qū)間（t t0 0 ，t t0 0+T+T）。是完備的）。是完備的正交函數(shù)集。正交函數(shù)集。nmnmTTtttdtmtn02/coscos00正交性：nmnmTTtttdtmtn02/sinsin00nmnmTtttdtntn00sincos00完備性：無窮函數(shù)集。完備性：無窮函數(shù)

10、集。.2, 1,0ntjne 基本周期：基本周期：T=2T=2/, , 正交區(qū)間正交區(qū)間（t t0 0 ，t t0 0+T+T）。 是完備的正交函數(shù)集。是完備的正交函數(shù)集。nmnmTTtttmnjtjmTtttjndtedtee0*0000正交性完備性：無窮函數(shù)集完備性：無窮函數(shù)集(2)指數(shù)函數(shù)集：指數(shù)函數(shù)集：3.2 3.2 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分解周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分解3.2.1 3.2.1 三角形式傅立葉級(jí)數(shù)分解三角形式傅立葉級(jí)數(shù)分解 1.1.三角函數(shù)集三角函數(shù)集 2,sin,cos.2, 1 , 0TtntntfnT對(duì)周期信號(hào)，該函數(shù)在（對(duì)周期信號(hào)，該函數(shù)在（t t0 0，t t0 0

11、+T+T）上為完備的正交函數(shù)集。）上為完備的正交函數(shù)集。 2.2.正交展開正交展開 將任一周期函數(shù)信號(hào)展開為：將任一周期函數(shù)信號(hào)展開為：)sincos()sincos()()(100tnbtnaatnbtnatgctfnnnnnniiT該函數(shù)系數(shù)該函數(shù)系數(shù).2 , 10coscos)(00000000)(1cos)(22*nndttntdtntfaTttTTttTdttfTtdtntfTTttTttTn.2 , 1sin)(2sinsin)(0000002*ntdtntfTdttntdtntfbTttTTttTttTn)cos(2)sincos(2)(1100nnnnnnTtnAAtnbtna

12、atf.2 , 1 , 0cos)(200ntdtntfTaTttTn其中將將a a0 0包含在包含在a an n中則有：中則有：TttTnntdtntfTb00.2 , 1sin)(2nnnnnnabarctgbaAaA2200次諧波分量ntntn sin,cos.,;,nnnnnnnnnnnnbbAAaanbnAa的的奇奇函函數(shù)數(shù)。為為的的偶偶函函數(shù)數(shù)，為為基波分量直流分量ttAasin,cos2200 該周期函數(shù)可以視為由直流、基波和無窮多諧波分量組成。該周期函數(shù)可以視為由直流、基波和無窮多諧波分量組成。 3 3。 4.4.當(dāng)該周期函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，當(dāng)該周期函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，b bn n0

13、0，展開式只含直，展開式只含直 流及流及分分量量tncos說明：說明：1.1.周期信號(hào)可分解表示為三角函數(shù)的線性組合。周期信號(hào)可分解表示為三角函數(shù)的線性組合。 2.2.物理意義：周期信號(hào)可分解為眾多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的物理意義：周期信號(hào)可分解為眾多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正（余）弦函數(shù)或分量的線性組合。具體有：正（余）弦函數(shù)或分量的線性組合。具體有： 當(dāng)該周期函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，當(dāng)該周期函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，a a0 0a an n0 0，展開式只，展開式只 會(huì)含會(huì)含分分量量tnsindtetfTFeFtfTtttjnTnntjnnT00)(1)(tjnnniiTeFtgctf)()(TtttjnTTtttjn

14、TtttjnTTttiTttiTndtetfTdtedtetfdttgdttgtfF0000000000)(1)()()()(22*3.2.2 3.2.2 指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)分解指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)分解 1.1.復(fù)指數(shù)函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集 2.2,1,0TetfntjnT該函數(shù)集在（該函數(shù)集在（t t0 0，t t0 0+T+T）上為周期信號(hào)的完備正交函數(shù)集。）上為周期信號(hào)的完備正交函數(shù)集。 2.2.正交展開：正交展開： 將任一周期信號(hào)展開為將任一周期信號(hào)展開為 稱為周期信號(hào)的指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)展開式或復(fù)系數(shù)傅葉級(jí)數(shù)稱為周期信號(hào)的指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)展開式或復(fù)系數(shù)傅葉級(jí)數(shù)0002FaAtjnnnnnne

15、FtnAA)cos(210dtetfTFTtttjnTn00)(110)sincos(2)(nnnTtnbtnaatfn22nnFAnjnjnnnnnneAAeFFFA統(tǒng)統(tǒng)一一表表示示為為令令考考慮慮到到3.2.3 3.2.3 傅立葉系數(shù)關(guān)系傅立葉系數(shù)關(guān)系 比較兩種展開式，得：比較兩種展開式，得： 例題：周期性矩形脈沖的傅立葉系數(shù)計(jì)算。例題：周期性矩形脈沖的傅立葉系數(shù)計(jì)算。P94P94結(jié)論：結(jié)論：)cos(210nnntnFF.2 , 1 , 0.2 , 1cos)(2sin)(20000nntdtntfTatdtntfTbTttTnTttTn其中：其中：E)2sin(2)2sin(24)2s

16、in(4sin1420nnEnnTTnnETtnnTE例例：周期性矩形脈沖信號(hào)，求其三角型、指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)。：周期性矩形脈沖信號(hào)，求其三角型、指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)。tTT202)(tfT周期：周期：T TT T2/2/ 幅度：幅度：E E寬度：寬度： 2022cos4cos2tdtnTEtdtnETanTEETEdtTtdtnETa222cos221220220解解：因?yàn)椋阂驗(yàn)閒T(t)為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以bn=0展開式僅含直流與余弦分量展開式僅含直流與余弦分量.2, 1, 0)(1)(lim0kkSaxSax2)()()(00dxxSadxxSaxSa)2()sin()sin(2)2(

17、211222222222nSaTETEnTEjeeTnEetjnTEdteETFnnnjjtjntjnnnnxxxSasin)(其中：其中：如下圖如下圖 稱為稱為“取樣取樣”函函數(shù)數(shù)其性質(zhì)：其性質(zhì)： 偶函數(shù)偶函數(shù) 3.3 3.3 周期信號(hào)的頻譜與功率周期信號(hào)的頻譜與功率則則有有若若令令,4TnjnneFF)cos(2)(10)(nnntnjnntjnnnTtnFFeFeFtfn)4(41)2(412nSanSaFTn.2, 1, 0)2(nnSaTFn3.3.1 3.3.1 fT(t)的頻譜的頻譜 fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)信號(hào)或正弦信號(hào)的線性組合。可分解為一系列虛指數(shù)信號(hào)或正弦信號(hào)的線性

18、組合。 為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫出振幅為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫出振幅及相位隨及相位隨w w變化的曲線稱其為頻譜圖。變化的曲線稱其為頻譜圖。 以前節(jié)周期信號(hào)為例：以前節(jié)周期信號(hào)為例：EtTT202)(tfT 各諧波分量的角頻率各諧波分量的角頻率n 是基波角頻率是基波角頻率的的n n倍且有不同的倍且有不同的 振幅和相位，均由傅立葉系數(shù)振幅和相位，均由傅立葉系數(shù)反映出來。反映出來。44222TT譜譜線線數(shù)數(shù)第第一一零零點(diǎn)點(diǎn)）譜譜線線間間隔隔）(222422nknT0)(0)(radnnradn相相位位譜譜nnnFFSaF)(441n振振幅幅譜譜 雙邊振幅譜：雙

19、邊振幅譜： 單邊振幅譜：?jiǎn)芜呎穹V：頻譜特點(diǎn)：頻譜特點(diǎn)：.2, 1 ,02.2, 1,0nFAnnFnnn 1.離散性、諧波性：僅在離散性、諧波性：僅在0、正負(fù)、正負(fù)、正負(fù)正負(fù)2 2。處出現(xiàn)，處出現(xiàn)，與相應(yīng)諧波分量對(duì)應(yīng)。譜線間隔與相應(yīng)諧波分量對(duì)應(yīng)。譜線間隔2/T2/T ，當(dāng)當(dāng)T T增加，增加，減小減小)/(2)(10sradBHzBf第第一一零零點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)T趨近于無窮大時(shí)，周期函數(shù)變?yōu)榉侵芷诤瘮?shù)，離散譜變?yōu)檫B趨近于無窮大時(shí)，周期函數(shù)變?yōu)榉侵芷诤瘮?shù)，離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜。續(xù)譜。 2.收斂性：振幅包絡(luò)線按收斂性：振幅包絡(luò)線按Sa(/ 2) )規(guī)律變化，總趨勢(shì)為規(guī)律變化，總趨勢(shì)為0 0。 * * 能量集中

20、于低頻分量：能量集中于低頻分量：當(dāng)當(dāng)nn/ 2=k2=k(k=正負(fù)正負(fù)1,正負(fù)正負(fù)2.),即即n=2kn=2k/時(shí)時(shí), ,包絡(luò)線振幅為零包絡(luò)線振幅為零. .定義信號(hào)頻帶寬度定義信號(hào)頻帶寬度( (帶寬帶寬):): * * 帶寬與脈寬成反比帶寬與脈寬成反比:愈小愈小,B,Bw w愈大愈大. . * * 脈沖幅度一定時(shí)脈沖幅度一定時(shí), ,振幅譜幅值振幅譜幅值(/T)(/T)與與成正比成正比, ,與與T T成反比成反比. .當(dāng)當(dāng)T T趨近于無窮大時(shí)趨近于無窮大時(shí), ,各諧波分量振幅均趨近于無窮小各諧波分量振幅均趨近于無窮小, ,但它們之但它們之間仍有一定比例關(guān)系間仍有一定比例關(guān)系. .在非周期信號(hào)頻譜

21、中將用頻譜密度這一概在非周期信號(hào)頻譜中將用頻譜密度這一概念來描述這種相對(duì)比例關(guān)系念來描述這種相對(duì)比例關(guān)系. . 3.3.2 3.3.2 fT(t)的功率的功率 設(shè)設(shè)fT(t)為實(shí)信號(hào)在為實(shí)信號(hào)在1歐姆電阻上消耗的平均功率為歐姆電阻上消耗的平均功率為:22222)(1)(212221222)(2121TTTTdttTfTdttTfTPTTdtntjnenFTnTTdtntnjenFTnnFTdttfPTTTT22)(21fT(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù)所以所以,周期信號(hào)時(shí)域功率周期信號(hào)時(shí)域功率=頻域頻域信號(hào)功率之和信號(hào)功率之和-帕塞瓦兒恒等式帕塞瓦兒恒等式)()(lim)()()()(121tfFdt

22、etfTFjFjFFdejFtftjnnTtj連續(xù)量連續(xù)量則離散量則離散量則則令令ndTdTT,21,2,)()(jFtf221)()(TTtjnnnTtjnndtetfTFTeFtfntjnnTTtjnTneFtfdtetfF)()(221 3.4.1 3.4.1 傅立葉變換傅立葉變換 周期信號(hào)分解的數(shù)學(xué)工具是周期信號(hào)分解的數(shù)學(xué)工具是傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù); 非周期信號(hào)分解的數(shù)學(xué)工具是非周期信號(hào)分解的數(shù)學(xué)工具是傅立葉變換傅立葉變換.對(duì)周期對(duì)周期信號(hào)信號(hào)改寫為改寫為故對(duì)非周期信號(hào)故對(duì)非周期信號(hào)簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為3.4 非周期信號(hào)的分解非周期信號(hào)的分解dttf)(dejFtftj)(21)(復(fù)復(fù)振振幅幅

23、為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dff ,1limlimlim)(TnTTnTnTfFFTFjFdtetfjFtj)()(dtetfjFtj)()()()(sin)(cos)(jXRtdttfjtdttftdttfXtdttfRsin)()(cos)()( 3.4.2 3.4.2 非周期信號(hào)的頻譜函數(shù)非周期信號(hào)的頻譜函數(shù). .1.1.理論上講理論上講, ,f (t)應(yīng)滿足一定條件才可存在傅立葉變換應(yīng)滿足一定條件才可存在傅立葉變換,一般來說一般來說. 存在的充分條件為存在的充分條件為f (t)滿足絕對(duì)可積滿足絕對(duì)可積, ,即要求即要求 2.2.在這里在這里, ,F (j)不是振幅的概念不是振幅的概念,而是密度概念而

24、是密度概念,故稱頻譜密度故稱頻譜密度.3.3.F (j)為一復(fù)函數(shù)為一復(fù)函數(shù).上式中上式中: :tjedejFtftj)()(21)(cos)()()(sin)()(FRFX;)(),(;)(),(1 .的的奇奇函函數(shù)數(shù)為為的的偶偶函函數(shù)數(shù)為為XFRNO易推結(jié)論易推結(jié)論: :f (t)為實(shí)函數(shù)時(shí)有為實(shí)函數(shù)時(shí)有: :);()(,)(,)()(2 .jFjFjFtftfNO的的實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)為為時(shí)時(shí));()(,)(,)()(jFjFjFtftf的的虛虛函函數(shù)數(shù)為為時(shí)時(shí)4 4. .逆變換的物理含義逆變換的物理含義: :*非周期信號(hào)的非周期信號(hào)的 (虛指數(shù)函數(shù)虛指數(shù)函數(shù))分解分解;*非周期信號(hào)的正弦分解

25、非周期信號(hào)的正弦分解:)()()(arctan)(22)()(XRFRX00)(0)()()()()(tjtjeFejFttfjFtf則則若若為常數(shù)為常數(shù)、則則若若21221122112211)()()()()()()()(aajFajFatfatfajFtfjFtf00000)()()()()()(00tjtjxjtxjtxtxttdxdttjejFedxexfdxexfdtettfttfF、 一一. .線性線性： 傅立葉計(jì)算是一種線性運(yùn)算，它包含兩種意義：傅立葉計(jì)算是一種線性運(yùn)算，它包含兩種意義：1。齊次性：時(shí)域信號(hào)數(shù)乘。齊次性：時(shí)域信號(hào)數(shù)乘 a，頻譜函數(shù)也數(shù)乘，頻譜函數(shù)也數(shù)乘a。2?？杉?/p>

26、性：幾個(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)各信號(hào)頻譜函數(shù)之和?？杉有裕簬讉€(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)各信號(hào)頻譜函數(shù)之和。 二二. .時(shí)移性時(shí)移性：證明：證明：3.5 傅立葉交換性質(zhì)、定理傅立葉交換性質(zhì)、定理)()()()(000jFetfjFtftj則則：為為實(shí)實(shí)常常數(shù)數(shù)且且若若：0)()(tF滯滯后后不不變變，t2202)()()()(222jeSatggtg0)()(0tjejFttf 同理：同理： 所以：所以：f(t)右移右移t0，F(xiàn)(j)幅度不變，諧頻率分量相位滯后幅度不變，諧頻率分量相位滯后t0 例：例：)(tg)2/(tgt0dtetfdteetfetfFtjtjtjtj)(000)()()()()()(

27、000jFetfjFtj同理：同理：2)(4422 即：即：三三. .頻移性頻移性：證：證：110tje)(sin)(cos0000210210tjtjjtjtjeeteet說明：說明：頻域中頻譜右移頻域中頻譜右移0，反映在時(shí)域中對(duì)立反映在時(shí)域中對(duì)立f(t)乘以虛指數(shù)乘以虛指數(shù)函數(shù)函數(shù)例：例：求高頻調(diào)制信號(hào)的頻譜。求高頻調(diào)制信號(hào)的頻譜。)()()(0210212SaSatfF)()()()(22100Satgeetgtjtjttgtf0cos)()(解：解：即：即：f (t)的頻譜是將的頻譜是將g(t)頻譜左右各移頻譜左右各移0，幅度為原來的幅度為原來的1/2。低頻信號(hào)不便遠(yuǎn)距離傳輸，經(jīng)調(diào)制，

28、頻譜挪移，使變頻信號(hào)實(shí)低頻信號(hào)不便遠(yuǎn)距離傳輸，經(jīng)調(diào)制，頻譜挪移，使變頻信號(hào)實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳輸，載波信號(hào)可以是現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳輸，載波信號(hào)可以是cos 0t或或sin 0t 。一般有：。一般有：)(1)(ajFaatf)()()(, 0111aajaajjFdxexfdxexfaaxax有有當(dāng)當(dāng))(1ajFa)()(jFtf若若)()()(cos)()()()(sin)(0021000210jFjFttfjFjFttfj)(1)(ajFaatfdxdtxtatxdteatfatfFaatj11,)()(令令故有：故有：四四. .尺度變換尺度變換：且且a為常實(shí)數(shù)（為常實(shí)數(shù)（a不等于零）。則：不等于零）。則：

29、證：證：)()()(, 0111aajaajjFdxexfdxexfaaxax有有當(dāng)當(dāng)綜上有：綜上有：含義含義: f (at):表示將表示將 f (t)波波形沿大軸壓縮形沿大軸壓縮a倍倍.表示將表示將F(j)波形沿波形沿軸擴(kuò)展軸擴(kuò)展a倍，幅度減小倍，幅度減小|a|倍倍。)()(2SajF01abjaaejFbatfjFtf)()(. 2)()(. 1142例：例：t220)()(tgtf)()(42221SajF21t440)()2(2tgtf48 可見：可見：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與帶寬成反比。信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與帶寬成反比。 電子技術(shù)中為加快信息傳輸，在時(shí)域壓縮持續(xù)時(shí)間，電子技術(shù)中為加快信息傳輸，在時(shí)

30、域壓縮持續(xù)時(shí)間， 但是在但是在域不得不展寬頻帶，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該權(quán)衡考慮。域不得不展寬頻帶，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該權(quán)衡考慮。推論：推論：dejFtftj)()(21)(2)(211)(ttttjdejFtf)()(2dtejtFftj)()(2)(2)(fjtFbjaabjaejFbatfejFbtf)()()()(1再再先先)()(jFtf若若)(2)(fjtF則則abjaaabaaejFtafjFatf)()()()(11再再先先證一：證一：先進(jìn)行時(shí)移后進(jìn)行尺度變換先進(jìn)行時(shí)移后進(jìn)行尺度變換證二：證二：先進(jìn)行尺度變換后進(jìn)行時(shí)移先進(jìn)行尺度變換后進(jìn)行時(shí)移注意：注意：在時(shí)域，無論時(shí)移、尺度都是對(duì)在時(shí)域，

31、無論時(shí)移、尺度都是對(duì)t來說的。來說的。五五. .對(duì)稱性對(duì)稱性：證：證：所以，性質(zhì)成立！所以，性質(zhì)成立！推論：推論：若若f(t)為為t的偶函數(shù)，則的偶函數(shù)，則例一例一 ：)()()(2)(122SgnjSgnjSgntSgntjtj)(2)()()(22gSaSatgt. )1 (21F)()()(),()(, 2222kkkkggktSagtSa有有令令則：則：jttjettf1)()()(, )()(),(2121jFjFtftf若：若：djFjFjFjF)()()()(2121其中：其中：例二例二：例三例三：求求F(1/t)。例四例四：求求)()()()()()()()(212121212

32、1jFjFtftfjFjFtftf) 1(2)1 (2而：而：jt1)()(解：解：)(2)()(2)(11tjjttt六六. .卷積定理卷積定理：)()(2)()()(Sagggtfttt且且)(tf)()(222Satft0dtetfftftfFtj)()()()(2121)()()()(2121jFjFdejFfj)(tfFddtetftftj)()(21ttttttf), 0()0 ,(0)()(應(yīng)用傅立葉變換定義和時(shí)移性可證卷積。應(yīng)用傅立葉變換定義和時(shí)移性可證卷積。證明如下：證明如下：例例：求求解：解： 含義：時(shí)域卷積運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為頻域相乘在求傅立葉反變換含義：時(shí)域卷積運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為頻域

33、相乘在求傅立葉反變換jjtt121)()(2)(2111)()()()()()(jjjdd時(shí)有時(shí)有凈面積凈面積即即當(dāng)當(dāng)0)(0)0(tfF)()()()()(1jtjFttfdxxf)2()()0()()()()1(FjjFdxxftft)(2)()(22jtjtj七七. .時(shí)域微分、積分時(shí)域微分、積分：)()(jFtf若若) 1 ()()()()()()()1(jFjtfjFjtfnn則則：jjFtf)()()1(式（式（2）證：）證：例一例一 ：jtt)(1)(由對(duì)稱性得：由對(duì)稱性得：由時(shí)域相乘得：由時(shí)域相乘得：)()()()(jFtfjtnn則則djFjttftf)()()()0(則則)

34、()()()()()(jFjFjFdjdF 2112)()()()()(22jjttttt)()(2)()(21211tftfjFjFF)()(2)()()(111FtfjfFjFF2)(tj)()()(2)(21tfjtjtfjfFt由線性、倒置性可得：由線性、倒置性可得：八八. .頻域微分、積分頻域微分、積分：1.1.頻域微分：頻域微分：)()(jFtf若若證：證：因?yàn)橐驗(yàn)楦鶕?jù)頻域卷積定理根據(jù)頻域卷積定理得：得：由前面結(jié)果由前面結(jié)果)(2jt 得：得：同理同理n階微分也成立！階微分也成立！2.頻域積分：頻域積分：)()(jFtf若若djFf)()0(2121)()(jtt211)()()(

35、jtjtjdd)()()()()()()()1()1(jFjFjFdjF)(2)()()(2)()()(111)1(1FtfFtfjFFjFFjt1)()()(2)(1jtt)()()0()()()()(11)1(1tftftfttfjFFjtjt如果如果f(0)=0，則有，則有djFjttf)()(證：證：按卷積微積分性質(zhì)：按卷積微積分性質(zhì)：考慮傅立葉反變換得下式考慮傅立葉反變換得下式1：由于由于按對(duì)稱性得：按對(duì)稱性得：將上結(jié)果代入將上結(jié)果代入1式得：式得：其中其中f(0)可由頻域積分得到：可由頻域積分得到：例例 ：jt1)()(djFdttfw2212)()(則則ddtetfjFtj)()

36、(21djFjF)()(21nnTFdttfTT22122)(dttfw)(2dtdejFtftj)()(21九九. .帕什瓦爾定理帕什瓦爾定理: :)()(jFtf若若 對(duì)于周期信號(hào)的帕什瓦爾定理有：對(duì)于周期信號(hào)的帕什瓦爾定理有： 表明周期信號(hào)的功率該信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分表明周期信號(hào)的功率該信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。量功率之和。 周期信號(hào)是功率信號(hào)，但一般而言，非周期信號(hào)不是功周期信號(hào)是功率信號(hào)，但一般而言，非周期信號(hào)不是功率信號(hào)，其平均功率為零，其能量為有限值，故為能量信號(hào)，率信號(hào)，其平均功率為零，其能量為有限值，故為能量信號(hào)，只能從能量觀點(diǎn)研究。只能從能量觀點(diǎn)研究。 非

37、周期信號(hào)總能量：非周期信號(hào)總能量：時(shí)域定義時(shí)域定義交換積分次序交換積分次序2)()()()()(, )()(jFjFjFjFjFjFjF故故dFdjFdttfw)()()(22212可證：可證：最后得：最后得：nTnTtt)()()(tT22)(,2,)(1TTdtetfFTeFtftjnTnntjnnTnnntjnnTnFeFFtfF)(2)()(十十. .周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換: :方法一：方法一：說明：說明：fT(t)的傅立葉變換由無窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，它位于信的傅立葉變換由無窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，它位于信 號(hào)各諧波角頻率號(hào)各諧波角頻率n n處，其強(qiáng)度為各諧波分量幅度處，

38、其強(qiáng)度為各諧波分量幅度Fn的的 2倍倍 。例例：?jiǎn)挝粵_激序列的傅立葉變換。：?jiǎn)挝粵_激序列的傅立葉變換。1tTT20nanjnF)()(TdtetdtetFTTTTtjnTtjnTTn1)()(222211)()()(ttftfTaTnaaTnjFjFtfF)()()()()(nTTnt)()()(2)(tT說明：說明：的傅立葉變換是周期為的傅立葉變換是周期為強(qiáng)度為強(qiáng)度為的沖激序列。的沖激序列。方法二：方法二：綜上：綜上：nnaannTnTjFnjnFnFtfF)()(2)()()(2)(nnnSa)()2(nTnnSatfF)()2()(. 2nnnTnnSaTnFtfF)()2(2)(2)(

39、. 1式式。關(guān)關(guān)系系滿滿足足 2)(. 3tgFn:)(關(guān)關(guān)系系與與傅傅立立葉葉交交換換傅傅立立葉葉系系數(shù)數(shù)jFFan)(2)(2jnFTjnFFaannaTaTnjFjnFF)()(11)2()()2(SatgnSaTFn1)(tfTTT202例例 ：)(tfs的最高頻率范圍。的最高頻率范圍。為信號(hào)為信號(hào))(2tffmmm)()(集中在低頻范圍，集中在低頻范圍，tfFjFmm一一.低通信號(hào)與樣值信號(hào)低通信號(hào)與樣值信號(hào)： 1.1.低通信號(hào)（也稱帶限信號(hào)）：低通信號(hào)（也稱帶限信號(hào)）：2.2.樣值信號(hào)樣值信號(hào) 信號(hào)信號(hào)f (t)加在抽樣器的輸入端，抽樣器相當(dāng)于一個(gè)定時(shí)開加在抽樣器的輸入端，抽樣器相

40、當(dāng)于一個(gè)定時(shí)開關(guān)，它每隔關(guān)，它每隔Ts秒閉合一次，閉合時(shí)間為秒閉合一次，閉合時(shí)間為，輸出端輸出，輸出端輸出f fs s(t)(t)3.7 連續(xù)信號(hào)的抽樣定理連續(xù)信號(hào)的抽樣定理)()(tftfs樣值信號(hào)樣值信號(hào)模擬信號(hào)模擬信號(hào)?；謴?fù)出恢復(fù)出無失真地?zé)o失真地或可由或可由的全部信息；的全部信息；保留保留在何條件下，在何條件下，)()()()(. 2tftftftfsssssssfTfT21)(ts開關(guān)序列信號(hào)開關(guān)序列信號(hào)關(guān)系。關(guān)系。、)()(?)(. 1jFjFtfFss抽樣周期抽樣周期抽樣頻率抽樣頻率抽樣角頻率抽樣角頻率2.2.抽樣數(shù)學(xué)模型：抽樣數(shù)學(xué)模型：研究?jī)蓚€(gè)問題：研究?jī)蓚€(gè)問題：snTTnjF

41、s2)(s1其中其中nsnjFjFjF)()()()()(221nsTsnTttfttftfs)()()()()(二二.樣值信號(hào)的傅立葉變換樣值信號(hào)的傅立葉變換：設(shè)：設(shè)：f (t)(t)為低通信號(hào)，為低通信號(hào)，S(t)S(t)為均勻沖激序列。為均勻沖激序列。信號(hào)的抽樣及其頻譜圖示：信號(hào)的抽樣及其頻譜圖示：。，無法截取，無法恢復(fù)，無法截取，無法恢復(fù)否則，將發(fā)生混選現(xiàn)象否則，將發(fā)生混選現(xiàn)象恢復(fù)?；謴?fù)。時(shí)域來說，實(shí)現(xiàn)無失真時(shí)域來說，實(shí)現(xiàn)無失真，從，從中中要用理想濾波器截取其要用理想濾波器截取其函數(shù)且不發(fā)生重疊。只函數(shù)且不發(fā)生重疊。只為周期內(nèi)容的周期為周期內(nèi)容的周期是以是以的頻譜的頻譜樣值信號(hào)樣值信號(hào)

42、)()()()(jFjFjFtfss時(shí)。時(shí)。即：即：可見，當(dāng)可見，當(dāng)msmsmfTorff212(2nsmsmsnTtSanTftffT)()()(21時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))()()(jHjFjFs)()()()()()(tSaTnTtnTfthtftfmmsnsss)()()()()(smsnmsmssnmsnTtSanTfTtSaTnnTfT三三.f (t)的恢復(fù)的恢復(fù)： 頻域處理：頻域處理：恢復(fù)公式恢復(fù)公式 可見：連續(xù)信號(hào)可見：連續(xù)信號(hào)f(t)(t)可由多個(gè)位于抽樣點(diǎn)的可由多個(gè)位于抽樣點(diǎn)的Sa函數(shù)組成，函數(shù)組成，各各Sa函數(shù)的幅值為該點(diǎn)的抽樣值函數(shù)的幅值為該點(diǎn)的抽樣值f (nTs),依據(jù)上述公式

43、，可由依據(jù)上述公式，可由各抽樣值恢復(fù)出各抽樣值恢復(fù)出f（t）。圖示如下：）。圖示如下：四四.時(shí)域抽樣定理時(shí)域抽樣定理：，可唯一由其，可唯一由其號(hào)號(hào)以上頻譜為零的低通信以上頻譜為零的低通信內(nèi)容：在頻率內(nèi)容：在頻率)(tfHfzmnsmsnTtSanTftf)()()(nsTsnTtgtfPtftfs)()()()(特特速速率率。最最低低抽抽樣樣頻頻率率為為奈奈奎奎斯斯mmsff 2min奈奎斯特間隔。奈奎斯特間隔。確定，其恢復(fù)公式為確定，其恢復(fù)公式為上的樣點(diǎn)值上的樣點(diǎn)值在均勻間隔在均勻間隔)()(21sfssnTfTTm期（間隔）為期（間隔）為，這一最大允許抽樣周，這一最大允許抽樣周通常稱：通常

44、稱：mmsfT21max五五.周期脈沖抽樣周期脈沖抽樣： 理想抽樣在理論上是成立的，但實(shí)際上無法實(shí)現(xiàn)。因?yàn)闆_理想抽樣在理論上是成立的，但實(shí)際上無法實(shí)現(xiàn)。因?yàn)闆_激序列無法得到。實(shí)際工作中，抽樣器用電子開關(guān)實(shí)現(xiàn)，開激序列無法得到。實(shí)際工作中，抽樣器用電子開關(guān)實(shí)現(xiàn)，開關(guān)函數(shù)用周期矩形脈沖函數(shù)關(guān)函數(shù)用周期矩形脈沖函數(shù)。 對(duì)于周期脈沖抽樣：對(duì)于周期脈沖抽樣：1.1.樣值信號(hào)：樣值信號(hào)：器得器得通過一個(gè)理想低通濾波通過一個(gè)理想低通濾波而不會(huì)發(fā)生混疊，這樣而不會(huì)發(fā)生混疊，這樣中就包含有中就包含有。其。其，即，即結(jié)論：只要結(jié)論：只要)()(2221jFjFTffsfsmsmmnTnssnjFnSannSaTj

45、FtfF)()2()()2(2)()(21函函數(shù)數(shù)分分布布。整整體體幅幅度度按按譜譜函函數(shù)數(shù)，間間隔隔為為頻頻譜譜為為一一系系列列的的函函數(shù)數(shù)分分布布。抽抽樣樣信信號(hào)號(hào)頻頻大大小小按按，強(qiáng)強(qiáng)度度系系列列沖沖激激函函數(shù)數(shù)，間間隔隔為為矩矩形形脈脈沖沖序序列列頻頻譜譜為為一一率率為為為為低低通通信信號(hào)號(hào)，最最高高角角頻頻可可見見：SajFSatfm)()()(tfFs)()2(2)()(nnSaTnTtgtPnsnsTs2.2.脈沖抽樣過程及其波形，頻譜如下頁圖脈沖抽樣過程及其波形，頻譜如下頁圖. .ommF(j)(a)tototo(b)(c)Ts-Ts22-Ts-TsoTs2PT (t)soFs

46、(j)Tsmm PT (t)sFf (t)1圖圖 ：矩形脈沖抽樣：矩形脈沖抽樣(a) f(t)的波形及其頻譜；的波形及其頻譜； (b) PTs的波形及其頻譜；的波形及其頻譜； (c) fs(t)的波形及其頻譜的波形及其頻譜 gggg成成立立。抽抽樣樣，其其抽抽樣樣定定理理仍仍然然對(duì)對(duì)?？煽梢娨娪糜弥苤芷谄诰鼐匦涡蚊}脈沖沖號(hào)號(hào)。反反變變換換后后恢恢復(fù)復(fù)出出原原信信到到)()()(tftfjFg六六.頻域抽樣頻域抽樣：3.8 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 3.8.1 基本信號(hào)基本信號(hào)e jt激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，根據(jù)時(shí)域分析公式(3

47、.8-1)，系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)ejt的零狀態(tài)響應(yīng)為 tjtjeH)j (ede )j ()j (21d)j (21tjtjHFeF3.8.2一般信號(hào)一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)由于任意信號(hào)f(t)可以表示為無窮多個(gè)基本信號(hào)ejt的線性組合，因而應(yīng)用線性疊加性質(zhì)不難得到任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其推導(dǎo)過程如下：(式(3.86) (齊次性) dejHejdejtjtjtj)()(21)(21)()()()(1jHjFFtytff所以 (疊加性) 由此可得用頻域分析法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟為： 例例 3.8-1 已知激勵(lì)信號(hào)f(t)=(3e-2t-2)(t)，試求

48、圖 3.8-1 所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。 圖 3.8-1 例 3.8-1 的圖 注意到()的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(j)的逆變換，將UCf(j)按如下形式整理: 例 3.8-2 如圖 3.8-2(a)所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入 ,2000cos2sin)(ttttfs(t)的波形如圖 3.8-2(b)所示，系統(tǒng)函數(shù) 圖 3.8-2 例 3.8-2 圖(a) 系統(tǒng)組成； (b) s(t)的波形 先求f(t)的傅里葉變換F(j)，由于 再求s(t)的傅里葉變換S(j)。由于s(t)為周期信號(hào)，T=1ms，則 , 因而有 sradT/20002圖 3.8-3 y(t)的求解 由沖激函數(shù)的卷積特點(diǎn)及F(j)、S(j)的圖形可知，X(j)為無窮多個(gè)分別位于n2000處的矩形脈沖，每個(gè)脈沖的寬度為4但幅度不等?？紤]到隨后的系統(tǒng)函數(shù)H(j)，在|1時(shí)H(j)=0，因而我們僅關(guān)心