第3章誤差的合成與分配(白背景)

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理第第3 3章章 誤差的合成與分配誤差的合成與分配誤差理論與數(shù)據(jù)處理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分配的基本方法，并討論了配的基本方法，并討論了微小誤差的取微小誤差的取舍、最佳測(cè)量方案的確定等問(wèn)題舍、最佳測(cè)量方案的確定等問(wèn)題 。通過(guò)。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算以及誤差的合成和函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算以及誤差的合成和分配。和分配。誤差理論與數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn) 函數(shù)系統(tǒng)誤差函數(shù)系統(tǒng)誤差 函數(shù)隨機(jī)誤差函數(shù)隨機(jī)誤差 函數(shù)誤差分布的模擬計(jì)算函數(shù)誤差分布的模擬計(jì)算 隨機(jī)誤差

2、的合成隨機(jī)誤差的合成 未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成成 誤差分配誤差分配 微小誤差取舍準(zhǔn)則微小誤差取舍準(zhǔn)則 最佳測(cè)量方案的確定最佳測(cè)量方案的確定 誤差理論與數(shù)據(jù)處理間接測(cè)量間接測(cè)量 函數(shù)誤差函數(shù)誤差 間接測(cè)得的被測(cè)量誤差也應(yīng)是直接測(cè)得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測(cè)量的誤差為函數(shù)誤差函數(shù)誤差 通過(guò)直接測(cè)得的量與被測(cè)量之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)量 第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差間接測(cè)量的數(shù)學(xué)模型間接測(cè)量的數(shù)學(xué)模型 12( ,.,)nyf x xx 與被測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測(cè)量值與被測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)

3、直接測(cè)量值 y y 間接測(cè)量值間接測(cè)量值12,nx xx求上述函數(shù)求上述函數(shù) y y 的全微分，其表達(dá)式為的全微分，其表達(dá)式為：nndxxfdxxfdxxfdy2211誤差理論與數(shù)據(jù)處理 和和 的量綱或單位不相同，則的量綱或單位不相同，則 起到起到誤差單位換算的作用誤差單位換算的作用 和和 的量綱或單位相同，則的量綱或單位相同，則 起到誤起到誤差放大或縮小的作用差放大或縮小的作用由由 y 的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差 的計(jì)算公式的計(jì)算公式y(tǒng)1212.nnfffyxxxxxx 為各個(gè)輸入量在該測(cè)量點(diǎn)為各個(gè)輸入量在該測(cè)量點(diǎn) 處的誤差傳播系數(shù)處的誤差傳播系數(shù) (1,2, )ifx i

4、n12( ,)nx xxixyifxixyifx第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理幾種簡(jiǎn)單函數(shù)的系統(tǒng)誤差幾種簡(jiǎn)單函數(shù)的系統(tǒng)誤差 1 1、線性函數(shù)、線性函數(shù)1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 2 2、三角函數(shù)形式、三角函數(shù)形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系統(tǒng)誤差公式系統(tǒng)誤差公式當(dāng)當(dāng) 當(dāng)函數(shù)為各測(cè)量值之和時(shí)，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個(gè)當(dāng)函數(shù)為各測(cè)量值之和時(shí)，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個(gè)測(cè)量值系統(tǒng)誤差之和測(cè)量值系統(tǒng)誤差之和 第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與

5、數(shù)據(jù)處理【例】【例】 用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車(chē)間工人用工件直徑。如圖所示，車(chē)間工人用一把卡尺量得弓高一把卡尺量得弓高 h = 50 = 50mmmm ，弦弦長(zhǎng)長(zhǎng)l = 500mm = 500mm。已知，弓高的系統(tǒng)已知，弓高的系統(tǒng)誤差誤差 h = -0.1= -0.1mm mm , ,弦弦長(zhǎng)的系統(tǒng)誤長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差差 l = 1mm = 1mm 。試問(wèn)車(chē)間工人測(cè)量試問(wèn)車(chē)間工人測(cè)量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測(cè)量結(jié)果。后的測(cè)量結(jié)果。 【解】【解】建立間接測(cè)量大工件直徑的函數(shù)模型建立間接測(cè)量大工件直徑的函數(shù)模型 24lDhhD

6、2lh 不考慮測(cè)量值的系統(tǒng)誤差，可求出在不考慮測(cè)量值的系統(tǒng)誤差，可求出在 處的直徑測(cè)量值處的直徑測(cè)量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理車(chē)間工人測(cè)量弓高車(chē)間工人測(cè)量弓高 h h 、弦長(zhǎng)弦長(zhǎng) l l 的系統(tǒng)誤差的系統(tǒng)誤差 5050.10.1mmh 5004991mml 直徑的系統(tǒng)誤差直徑的系統(tǒng)誤差: : 7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的測(cè)量結(jié)果故修正后的測(cè)量結(jié)果: : 013007.41292.6mmDDD計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：誤差傳遞系數(shù)為誤差傳遞系數(shù)為: :

7、 第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算第一節(jié)函數(shù)誤差數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 12( ,.,)nyf x xx變量中只有隨機(jī)誤差應(yīng)用全微分公式函數(shù)的一般形式 1122(,)nnyyf xx xxxx1212nnfffyxxxxxx即：可得：誤差理論與數(shù)據(jù)處理2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算 或或 第第i i個(gè)直接測(cè)得量個(gè)直接測(cè)得量 的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差 xiix 第第i i個(gè)測(cè)量值和第個(gè)測(cè)量值和第j j個(gè)

8、測(cè)量值之間的相關(guān)系數(shù)個(gè)測(cè)量值之間的相關(guān)系數(shù) ij 第第i i個(gè)測(cè)量值和第個(gè)測(cè)量值和第j j個(gè)測(cè)量值之間的協(xié)方差個(gè)測(cè)量值之間的協(xié)方差 ijijxixjD 第第i i個(gè)直接測(cè)得量個(gè)直接測(cè)得量 對(duì)間接量對(duì)間接量 在該測(cè)量點(diǎn)在該測(cè)量點(diǎn) 處的誤差傳播系數(shù)處的誤差傳播系數(shù) ifxixy12( ,)nx xx第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或或0ijijD相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算 若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，相關(guān)項(xiàng)若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，相關(guān)項(xiàng) iifax令令222

9、2221122yxxnxnaaa第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差則則 當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差都為正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差用當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差都為正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式 2222221122yxxnxnaaa 第第i i個(gè)直接測(cè)得量個(gè)直接測(cè)得量 的極限誤差的極限誤差 xiix誤差理論與數(shù)據(jù)處理2222222121cos1xnnxxxfxfxf1 1） 正弦函數(shù)形式為正弦函數(shù)形式為: : 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： 第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差nxxxf,sin212 2） 余弦函數(shù)形式為余弦函數(shù)形式為: : 函數(shù)隨機(jī)誤

10、差公式為：函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,cos21三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算 3 3） 正切函數(shù)形式為正切函數(shù)形式為: : 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4 4） 余弦函數(shù)形式為余弦函數(shù)形式為: : 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf誤差理論與數(shù)據(jù)處理【解】【解】【例】【例】 用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車(chē)間工用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車(chē)間

11、工人用一把卡尺量得弓高人用一把卡尺量得弓高 h h = 50 = 50mmmm ，弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)s = 500mms = 500mm。已知，已知，弓高的系統(tǒng)誤差弓高的系統(tǒng)誤差 h h = -0.1= -0.1mm mm , , 玄長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差玄長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差 l l = 1mm = 1mm 。試求測(cè)量該工件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差，并求修正后的測(cè)量結(jié)果。試求測(cè)量該工件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差，并求修正后的測(cè)量結(jié)果。已知：已知： ，0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13mmD有有修正后的測(cè)量結(jié)果修正后的測(cè)量結(jié)果 01292.6mmDDD0.13

12、mmD第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理相關(guān)系數(shù)對(duì)函數(shù)誤差的影響相關(guān)系數(shù)對(duì)函數(shù)誤差的影響 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各隨機(jī)誤差分量相互間的線性關(guān)聯(lián)對(duì)函數(shù)總誤反映了各隨機(jī)誤差分量相互間的線性關(guān)聯(lián)對(duì)函數(shù)總誤差的影響差的影響 2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與各隨機(jī)誤差分量標(biāo)準(zhǔn)差之間具有線性的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與各隨機(jī)誤差分量標(biāo)準(zhǔn)差之間具有線性的傳播關(guān)系傳播關(guān)系 函數(shù)隨機(jī)誤差公式函數(shù)隨機(jī)誤差公式ij當(dāng)相關(guān)系數(shù)當(dāng)相關(guān)系數(shù) 時(shí)時(shí)當(dāng)相關(guān)系數(shù)當(dāng)相關(guān)系數(shù) 時(shí)時(shí)2 2、 相關(guān)系數(shù)估計(jì)相關(guān)系數(shù)

13、估計(jì)第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理相關(guān)系數(shù)的確定相關(guān)系數(shù)的確定可判斷可判斷 的情形的情形 0ij 斷定斷定 與與 兩分量之間沒(méi)有相互依賴關(guān)系的影響兩分量之間沒(méi)有相互依賴關(guān)系的影響 ixjx 當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，反之亦然反之亦然 與與 屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量 ixjx 與與 雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計(jì)的弱相關(guān)計(jì)的弱相關(guān)

14、 ixjx1、直接判斷法、直接判斷法第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理可判斷可判斷 或或 的情形的情形 斷定斷定 與與 兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負(fù)兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負(fù)的線性關(guān)系的線性關(guān)系 ixjx當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或減小，反之亦然減小，反之亦然 與與 屬于同一體系的分量，如用屬于同一體系的分量，如用1 1m m基準(zhǔn)尺測(cè)基準(zhǔn)尺測(cè)2 2m m尺，尺，則各米分量間完全正相關(guān)則各米分量間完全正相關(guān) ixjx1ij 1ij 第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差nnn

15、31cos其中，其中，4321nnnnnn2n3n4n10 22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx 根據(jù)根據(jù) 的多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值的多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值 ，按如下，按如下統(tǒng)計(jì)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù) ( ,)ijx x,ikjkxx 、 分別為分別為 、 的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值 ixjxikxjkx誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成 任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過(guò)程中各個(gè)環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成過(guò)程中各個(gè)環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成就

16、是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎(chǔ)上，正確就是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎(chǔ)上，正確地表述這些誤差的綜合影響。地表述這些誤差的綜合影響。 標(biāo)準(zhǔn)差合成標(biāo)準(zhǔn)差合成 極限誤差合成極限誤差合成解決隨機(jī)誤差的合成問(wèn)題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成解決隨機(jī)誤差的合成問(wèn)題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個(gè)誤差的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個(gè)誤差之間的相關(guān)性影響之間的相關(guān)性影響 隨機(jī)誤差的合成形式包括：隨機(jī)誤差的合成形式包括：誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、標(biāo)準(zhǔn)差合成一、標(biāo)準(zhǔn)差合成合成標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式合成標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式: : 211()2qqiiijijijiijaa a q個(gè)單

17、項(xiàng)隨機(jī)誤差，標(biāo)準(zhǔn)差 12,q 誤差傳播系數(shù) 12,qa aav 由間接測(cè)量的顯函數(shù)模型求得 v 根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給出 v 知道影響測(cè)量結(jié)果的誤差因素 而不知道每個(gè) 和 iiiyaiaiiiafx 第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成誤差理論與數(shù)據(jù)處理當(dāng)誤差傳播系數(shù)當(dāng)誤差傳播系數(shù) 、且各相關(guān)系數(shù)均可視為、且各相關(guān)系數(shù)均可視為0 0的情形的情形 第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成若各個(gè)誤差互不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)若各個(gè)誤差互不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù) 21()qiiia21qii0ij1ia 則合成標(biāo)準(zhǔn)差則合成標(biāo)準(zhǔn)差 用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點(diǎn)，不僅簡(jiǎn)單方便，而且無(wú)用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點(diǎn)，不僅簡(jiǎn)單方便，而且無(wú)論各單項(xiàng)隨機(jī)誤

18、差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)論各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差 視各個(gè)誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或視各個(gè)誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說(shuō)各個(gè)誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱者說(shuō)各個(gè)誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量的分量 誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、極限誤差合成二、極限誤差合成 單項(xiàng)極限誤差單項(xiàng)極限誤差: : 1,2,.,iiikiq 單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù) 合成極限誤差合成極限誤差: : kiik 合成標(biāo)準(zhǔn)差 合成極限誤差的置信系數(shù) k第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成合成極限誤差計(jì)

19、算公式合成極限誤差計(jì)算公式211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 誤差理論與數(shù)據(jù)處理 根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成即可進(jìn)行極限誤差的合成 各個(gè)置信系數(shù)各個(gè)置信系數(shù) 、 不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)機(jī)誤差的分布有關(guān) ikk 對(duì)于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)對(duì)于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同的各個(gè)置信系數(shù)相同 對(duì)于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)對(duì)于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相

20、應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同的各個(gè)置信系數(shù)也不相同 第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成 ijij 為第為第i i個(gè)和第個(gè)和第j j個(gè)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)個(gè)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。前一節(jié)的方法確定。應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：誤差理論與數(shù)據(jù)處理211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目的數(shù)目q q較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總較多、各項(xiàng)誤差大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布誤

21、差接近于正態(tài)分布12qkkkk合成極限誤差：合成極限誤差： 若若和和各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無(wú)關(guān)或近似線性無(wú)關(guān)，是較為而且他們之間常是線性無(wú)關(guān)或近似線性無(wú)關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式廣泛使用的極限誤差合成公式 第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成時(shí)：時(shí)：此時(shí)此時(shí)誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的分類：系統(tǒng)誤差的分類： 1 1） 已定系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差2 2） 未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差定義：定義：誤差大小和方向均已確切掌握

22、了的系統(tǒng)誤差誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號(hào)：表示符號(hào)： 合成方法：按照代數(shù)和法進(jìn)行合成合成方法：按照代數(shù)和法進(jìn)行合成riiia i i 為第為第i i個(gè)系統(tǒng)誤差，個(gè)系統(tǒng)誤差，a ai i為其傳遞系數(shù)為其傳遞系數(shù) 系統(tǒng)誤差可以在測(cè)量過(guò)程中消除，也可在合成后在測(cè)系統(tǒng)誤差可以在測(cè)量過(guò)程中消除，也可在合成后在測(cè)量結(jié)果中消除量結(jié)果中消除誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、未定系統(tǒng)誤差的合成二、未定系統(tǒng)誤差的合成 第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成（一）（一） 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定定義：定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費(fèi)過(guò)多精誤差大小和方向未能確切掌握，或者

23、不須花費(fèi)過(guò)多精力去掌握，而只能或者只需估計(jì)出其不致超過(guò)某一范圍力去掌握，而只能或者只需估計(jì)出其不致超過(guò)某一范圍 e 的系統(tǒng)誤差的系統(tǒng)誤差特征：特征：1 1） 在測(cè)量條件不變時(shí)為一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固在測(cè)量條件不變時(shí)為一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固定不變，因而單項(xiàng)系統(tǒng)誤差在重復(fù)測(cè)量中不具有低償性定不變，因而單項(xiàng)系統(tǒng)誤差在重復(fù)測(cè)量中不具有低償性2 2） 隨機(jī)性。當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，未定系統(tǒng)誤差的取值在某隨機(jī)性。當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，且服從一定的概論分布，具有極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，且服從一定的概論分布，具有隨機(jī)誤差的特性。隨機(jī)誤差的特性。表示符號(hào)：表示符

24、號(hào)： 極限誤差：極限誤差：e e 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：u u誤差理論與數(shù)據(jù)處理1、標(biāo)準(zhǔn)差合成、標(biāo)準(zhǔn)差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成（二）（二） 未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差的合成 未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機(jī)性，服從一定的概未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機(jī)性，服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，他們之間就率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的合成

25、公式，這就給測(cè)量結(jié)果的處理帶來(lái)很大方便。合成公式，這就給測(cè)量結(jié)果的處理帶來(lái)很大方便。 同隨機(jī)誤差的合成相同，未定系統(tǒng)誤差合成時(shí)即可以按同隨機(jī)誤差的合成相同，未定系統(tǒng)誤差合成時(shí)即可以按照標(biāo)準(zhǔn)差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。照標(biāo)準(zhǔn)差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。 若測(cè)量過(guò)程中有若測(cè)量過(guò)程中有 s s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為差分別為 u u1 1，u u2 2，u us s，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a a1 1，a a2 2，a as s ，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差 u u 為為:

26、:誤差理論與數(shù)據(jù)處理則由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極則由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：限誤差為：式中，式中， ijij 為第為第 i i 個(gè)和第個(gè)和第 j j 個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成sjijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12iiiute當(dāng)當(dāng) ijij=0 =0 時(shí)時(shí)2、極限誤差的合成、極限誤差的合成 若各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為若各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為: :si,2, 1sjijijiijsiiiuuaauate1122則有：則有：誤差理論與數(shù)據(jù)處理sjij

27、jiijiijsiiiiteteaateate1122siiieae12第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成或者，由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)或者，由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差誤差極限誤差極限誤差為：為： 當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨(dú)當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨(dú)立無(wú)關(guān)，即立無(wú)關(guān)，即 ，則上式可，則上式可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為：0ij誤差理論與數(shù)據(jù)處理第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成一、按極限誤差合成一、按極限誤差合成 誤差的合成可按照兩種形式合成：按極限誤差形式合成誤差的合成可按照兩種形式合成：按

28、極限誤差形式合成、按標(biāo)準(zhǔn)差形式合成。、按標(biāo)準(zhǔn)差形式合成。 測(cè)量過(guò)程中，假定有測(cè)量過(guò)程中，假定有 r r 個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，s s 個(gè)單項(xiàng)未定個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)誤差，q q 個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：qsreee,2121211、單次測(cè)量情況、單次測(cè)量情況 若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取 1(1(不取不取1 1呢呢?)?)，則測(cè)量結(jié)果總的極，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：限誤差為：Rttetqiiisiiirii12121總式中，式中，R R 為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之

29、和。誤差理論與數(shù)據(jù)處理 當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差可簡(jiǎn)化為：量結(jié)果總的極限誤差可簡(jiǎn)化為：qiisiiriie12121總第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測(cè)量結(jié)果總的極限誤一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根值，即：差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根值，即：qiisiie1212總2、n 次重復(fù)測(cè)量情況次重復(fù)測(cè)量情況 當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行 n n 次重復(fù)測(cè)量

30、時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù)成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù) n n 。qiisiine12121總總極限誤差變?yōu)椋嚎倶O限誤差變?yōu)椋赫`差理論與數(shù)據(jù)處理第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成二、按標(biāo)準(zhǔn)差合成二、按標(biāo)準(zhǔn)差合成 測(cè)量過(guò)程中，假定有測(cè)量過(guò)程中，假定有 s s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q q 個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：qs

31、uuu,21211、單次測(cè)量情況、單次測(cè)量情況 若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取 1 1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：式中，式中，R R 為各個(gè)誤差之間的為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差協(xié)方差之和。之和。 若用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成公式，則只考若用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成公式，則只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成。慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成。Ruqiisii1212誤差理論與數(shù)據(jù)處理 當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差為：量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差為：qiisiiu

32、12122、n 次重復(fù)測(cè)量情況次重復(fù)測(cè)量情況 當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行 n n 次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù)成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù) n n 。qiisiinu12121第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成總極限誤差變?yōu)椋嚎倶O限誤差變?yōu)椋赫`差理論與數(shù)據(jù)處理【例】【例】 在萬(wàn)能工具顯微鏡上用影像法測(cè)量某一平面工件的長(zhǎng)在萬(wàn)能工具顯微鏡上用影像法測(cè)量某一平面工件的長(zhǎng)度

33、共兩次，測(cè)得結(jié)果分別為度共兩次，測(cè)得結(jié)果分別為 ， ，已，已知工件的知工件的高度高度為為 ，求測(cè)量結(jié)果及其極限誤差。，求測(cè)量結(jié)果及其極限誤差。150.026mml 250.025mml 80mmH 第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成序號(hào)序號(hào)123456誤差因素誤差因素極限誤差極限誤差/m隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差備注備注阿貝誤差阿貝誤差光學(xué)刻尺刻度誤差光學(xué)刻尺刻度誤差溫度誤差溫度誤差讀數(shù)誤差讀數(shù)誤差瞄準(zhǔn)誤差瞄準(zhǔn)誤差光學(xué)刻尺檢定誤差光學(xué)刻尺檢定誤差0.810.50.351.251未修正時(shí)計(jì)入未修正時(shí)計(jì)入總誤差總誤差修正時(shí)計(jì)入總修正時(shí)計(jì)入總誤差誤差根據(jù)工具

34、顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測(cè)量過(guò)程中主要的誤差根據(jù)工具顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測(cè)量過(guò)程中主要的誤差見(jiàn)表。見(jiàn)表。誤差理論與數(shù)據(jù)處理【解】【解】?jī)纱螠y(cè)量結(jié)果的平均值為兩次測(cè)量結(jié)果的平均值為: :01211()(50.02650.025)mm50.0255mm22Lll 根據(jù)萬(wàn)能工具顯光學(xué)刻線尺的刻度誤差表，查得在根據(jù)萬(wàn)能工具顯光學(xué)刻線尺的刻度誤差表，查得在 50mm 50mm 范圍內(nèi)的誤差范圍內(nèi)的誤差 =0.0008mm=0.0008mm ，此項(xiàng)誤差為已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)，此項(xiàng)誤差為已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)予修正。則測(cè)量結(jié)果為：予修正。則測(cè)量結(jié)果為：050.0255mm0.0008mm50.0247mm

35、LL第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 在萬(wàn)工顯上用影像法測(cè)量平面工件尺寸時(shí)，其主要誤差在萬(wàn)工顯上用影像法測(cè)量平面工件尺寸時(shí)，其主要誤差分析如下：分析如下：1 1、隨機(jī)誤差、隨機(jī)誤差 由讀數(shù)誤差和工件瞄準(zhǔn)引起，其極限誤差分別為由讀數(shù)誤差和工件瞄準(zhǔn)引起，其極限誤差分別為誤差理論與數(shù)據(jù)處理 1 1）讀數(shù)誤差：）讀數(shù)誤差： 2 2）瞄準(zhǔn)誤差：）瞄準(zhǔn)誤差：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成m8 . 01m0 . 122 2、未定系統(tǒng)誤差、未定系統(tǒng)誤差 由阿貝誤差等引起，其極限誤差分別為由阿貝誤差等引起，其極限誤差分別為 1 1）阿貝誤差：）阿貝誤差：

36、 2 2）瞄準(zhǔn)誤差：）瞄準(zhǔn)誤差：mmHLe0 . 14000508040001mmmLe25. 1)200501 ()2001 (2 3 3）溫度誤差：）溫度誤差：mmmLe35. 070050770073 4 4）光學(xué)刻度尺的檢定誤差：）光學(xué)刻度尺的檢定誤差：me5 . 04誤差理論與數(shù)據(jù)處理第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成3 3、計(jì)算測(cè)量值及其誤差（獨(dú)立同分布）、計(jì)算測(cè)量值及其誤差（獨(dú)立同分布） 計(jì)算測(cè)量值的誤差時(shí)有兩種方法：計(jì)算測(cè)量值的誤差時(shí)有兩種方法：方法方法1 1當(dāng)未修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)當(dāng)未修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)23221122222121(10.8 )

37、(11.250.35 )21.870.0019mmijije m測(cè)量結(jié)果可表示為：測(cè)量結(jié)果可表示為： 050.0255mm0.0019mmL 方法方法2 2當(dāng)已修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)當(dāng)已修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí) 23221122222121(10.8 )(10.50.35 )21.480.0015mmijije m50.0247mm0.0015mmL 誤差理論與數(shù)據(jù)處理【例例】 用用TC328BTC328B型天平，配用三等標(biāo)準(zhǔn)砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)型天平，配用三等標(biāo)準(zhǔn)砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量量，一次稱量得鋼球質(zhì)量 ，求測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)，求測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。差。14.004gM 第四節(jié)系

38、統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成(1)(1)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差: : 天平示值變動(dòng)性所引起的誤差為隨機(jī)誤差。多次重復(fù)稱天平示值變動(dòng)性所引起的誤差為隨機(jī)誤差。多次重復(fù)稱量同一球的質(zhì)量的天平標(biāo)準(zhǔn)差為量同一球的質(zhì)量的天平標(biāo)準(zhǔn)差為 10.05mg(2)(2)未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差: : 標(biāo)準(zhǔn)砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，標(biāo)準(zhǔn)砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標(biāo)準(zhǔn)差），但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標(biāo)準(zhǔn)差），故這兩項(xiàng)誤差均屬未定系統(tǒng)誤差故這兩項(xiàng)誤差均屬未定系統(tǒng)誤差。 砝碼誤差砝碼誤差: : 天平稱量

39、時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)砝碼有三個(gè)，天平稱量時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)砝碼有三個(gè)，即即的一個(gè)，的一個(gè)， 的兩個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差分別為的兩個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差分別為: :10g20g故三個(gè)砝碼組合使用時(shí)，質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差故三個(gè)砝碼組合使用時(shí)，質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為為 根據(jù)根據(jù)TC328BTC328B型天平的稱重方法，其測(cè)量結(jié)果的主要誤差如下：型天平的稱重方法，其測(cè)量結(jié)果的主要誤差如下：mgumgu2 . 0,4 . 01211mgmguuu5 . 02 . 024 . 02222122111誤差理論與數(shù)據(jù)處理 天平示值誤差天平示值誤差 該項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差為該項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差為: :第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成mgu03. 02 三項(xiàng)誤

40、差互不相關(guān)，且各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為三項(xiàng)誤差互不相關(guān)，且各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為1 1，因此誤，因此誤差合成后可得到測(cè)量結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差為差合成后可得到測(cè)量結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差為 最后測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為（倍標(biāo)準(zhǔn)差）：最后測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為（倍標(biāo)準(zhǔn)差）： 14.004g0.0005gM 222121uu 22203. 05 . 005. 0)(5 . 0mg誤差理論與數(shù)據(jù)處理第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配誤差分配誤差分配 給定測(cè)量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。給定測(cè)量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。 在誤差分配時(shí)，在誤差分配時(shí)，隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。同等看待。 假設(shè)

41、各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，有：假設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，有：y22212yyyny 若已經(jīng)給定若已經(jīng)給定 ，如何確定，如何確定 D Di i 或相應(yīng)的或相應(yīng)的 i i , ,使其滿足使其滿足22221nyDDD式中，式中， 稱為部分誤差，或局部誤差稱為部分誤差，或局部誤差iiiiiaxfD誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、按等影響原則分配誤差一、按等影響原則分配誤差 等影響原則：等影響原則： 各分項(xiàng)誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等，即各分項(xiàng)誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等，即 12yyyynn由此可得：由此可得： 11/yyiiifxann或用極限誤差表示：或用極限誤差表示： 11/iiifxan

42、n 函數(shù)的總極限誤差函數(shù)的總極限誤差 各單項(xiàng)誤差的極限誤差各單項(xiàng)誤差的極限誤差 i第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配 進(jìn)行誤差分配時(shí)，一般應(yīng)按照下述步驟：進(jìn)行誤差分配時(shí)，一般應(yīng)按照下述步驟：誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、按可能性調(diào)整誤差二、按可能性調(diào)整誤差 (1) (1) 對(duì)各分項(xiàng)誤差平均分配的結(jié)果，會(huì)造成對(duì)部分測(cè)量誤差對(duì)各分項(xiàng)誤差平均分配的結(jié)果，會(huì)造成對(duì)部分測(cè)量誤差的需求實(shí)現(xiàn)頗感容易，而對(duì)令一些測(cè)量誤差的要求難以的需求實(shí)現(xiàn)頗感容易，而對(duì)令一些測(cè)量誤差的要求難以達(dá)到。這樣，勢(shì)必需要用昂貴的高準(zhǔn)確度等級(jí)的儀器，達(dá)到。這樣，勢(shì)必需要用昂貴的高準(zhǔn)確度等級(jí)的儀器，或者以增加測(cè)量次數(shù)及測(cè)量成本為代價(jià)?；蛘咭栽黾訙y(cè)量次

43、數(shù)及測(cè)量成本為代價(jià)。按等影響原則分配誤差的不合理性按等影響原則分配誤差的不合理性 (2) (2) 當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳播當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，相應(yīng)測(cè)量值的誤系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，相應(yīng)測(cè)量值的誤差并不相等，有時(shí)可能相差較大。差并不相等，有時(shí)可能相差較大。 在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。項(xiàng)盡可

44、能縮小，其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。 第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配誤差理論與數(shù)據(jù)處理 測(cè)量一圓柱體的體積時(shí)，可間接測(cè)量圓柱直徑測(cè)量一圓柱體的體積時(shí)，可間接測(cè)量圓柱直徑 D D 及高及高度度 h h，根據(jù)函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)式 三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差 誤差按等影響原理確定后，應(yīng)按照誤差合成公式計(jì)算實(shí)際誤差按等影響原理確定后，應(yīng)按照誤差合成公式計(jì)算實(shí)際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)的誤差，合成后與要求

45、的總誤差進(jìn)行比較，直到滿足要求差項(xiàng)的誤差，合成后與要求的總誤差進(jìn)行比較，直到滿足要求為止。為止。 第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配【例】【例】24DVh求得體積求得體積 V V ，若要求測(cè)量體積的相對(duì)誤差為，若要求測(cè)量體積的相對(duì)誤差為1 1，已知直徑，已知直徑和高度的公稱值分別為和高度的公稱值分別為 ， 試確定直徑試確定直徑 D D 及高度及高度 h h 的準(zhǔn)確度。的準(zhǔn)確度。 020mmD 050mmh 誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、按等影響分配原則分配誤差一、按等影響分配原則分配誤差得到測(cè)量直徑得到測(cè)量直徑 D D 與高度與高度 h h 的極限誤差的極限誤差: : 120.071mmVVDVDhnnD2

46、140.351mmVVhVDnnh第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配【解】【解】 計(jì)算體積計(jì)算體積 0V2230003.1416 205015708mm44DVh體積的絕對(duì)誤差體積的絕對(duì)誤差: : 3301%15708mm1%157.08mmVV誤差理論與數(shù)據(jù)處理 用這兩種量具測(cè)量的體積極限誤差為用這兩種量具測(cè)量的體積極限誤差為 222278.54VDhVVmmDh因?yàn)橐驗(yàn)?3378.54157.08Vmmmm 查資料，可用分度值為查資料，可用分度值為0.10.1mmmm的游標(biāo)卡尺測(cè)高的游標(biāo)卡尺測(cè)高 ，在在5050mmmm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為，用測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.020.02mmmm的

47、游標(biāo)的游標(biāo)卡尺測(cè)直徑，在卡尺測(cè)直徑，在2020mmmm范圍內(nèi)的極限誤差為范圍內(nèi)的極限誤差為 。 20mmD 50mmh 0.150mm0.04mm第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配二、調(diào)整后的測(cè)量極限誤差二、調(diào)整后的測(cè)量極限誤差顯然顯然D D采用的量具準(zhǔn)確度偏高，選得不合理，應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整。采用的量具準(zhǔn)確度偏高，選得不合理，應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整。若改用分度值為若改用分度值為0.050.05mmmm的游標(biāo)卡尺來(lái)測(cè)量直徑和高度，在的游標(biāo)卡尺來(lái)測(cè)量直徑和高度，在5050mmmm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為 。此時(shí)測(cè)量直徑的極限誤差雖。此時(shí)測(cè)量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從

48、測(cè)量高度允許超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測(cè)量高度允許的多余部分得到補(bǔ)償。的多余部分得到補(bǔ)償。 0.08mm誤差理論與數(shù)據(jù)處理調(diào)整后的實(shí)際測(cè)量極限誤差為調(diào)整后的實(shí)際測(cè)量極限誤差為 22222128.1524VDhDhDmm因?yàn)橐驗(yàn)?33128.15157.08Vmmmm 因此調(diào)整后用一把因此調(diào)整后用一把0.05mm0.05mm游標(biāo)卡尺測(cè)量直徑和高度即能游標(biāo)卡尺測(cè)量直徑和高度即能保證測(cè)量準(zhǔn)確度。保證測(cè)量準(zhǔn)確度。 第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配誤差理論與數(shù)據(jù)處理微小誤差微小誤差 測(cè)量過(guò)程包含有多種誤差時(shí)，當(dāng)某個(gè)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤測(cè)量過(guò)程包含有多種誤差時(shí)，當(dāng)某個(gè)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤差的影響，

49、可以忽略不計(jì)的誤差。差的影響，可以忽略不計(jì)的誤差。已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差：已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差： 若將其中的部分誤差取出后，則得若將其中的部分誤差取出后，則得 如果如果 ，yy則稱為微小誤差則稱為微小誤差 第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則2212212221nkkkyDDDDDDkDkD222221211ykknDDDDD 誤差理論與數(shù)據(jù)處理測(cè)量誤差的有效數(shù)字取一位：測(cè)量誤差的有效數(shù)字取一位： 某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足：某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足： 或或則對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差計(jì)算影響比較小。則對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差計(jì)算影響比較小。 測(cè)量誤差的有效數(shù)字取二位：測(cè)量誤差的有效數(shù)字取二位： 或或 對(duì)于

50、隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍區(qū)準(zhǔn)則是被舍去對(duì)于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍區(qū)準(zhǔn)則是被舍去的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果的十分之一到三分之一。對(duì)于已的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果的十分之一到三分之一。對(duì)于已定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍。定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍。 第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則 某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足：某項(xiàng)部分誤差舍去后，滿足： 應(yīng)用：應(yīng)用： 計(jì)算總誤差或進(jìn)行誤差分配時(shí)，若發(fā)現(xiàn)有微小誤差，可不計(jì)算總誤差或進(jìn)行誤差分配時(shí)，若發(fā)現(xiàn)有微小誤差，可不考慮該項(xiàng)誤差對(duì)總誤差的影響?？紤]該項(xiàng)誤差對(duì)總誤差的影響。 選擇高一級(jí)精度的標(biāo)準(zhǔn)器具時(shí)，其

51、誤差一般應(yīng)為被檢器具選擇高一級(jí)精度的標(biāo)準(zhǔn)器具時(shí)，其誤差一般應(yīng)為被檢器具允許誤差的允許誤差的1/101/103/103/10。0.1 0.05yyy0.01 0.005yyy(0.4 0.3)ykyD13ykyD(0.14 0.1)ykyD110ykyD誤差理論與數(shù)據(jù)處理最佳測(cè)量方案的確定：最佳測(cè)量方案的確定： 當(dāng)測(cè)量結(jié)果與多個(gè)測(cè)量因素有關(guān)時(shí)，采用什么方法確定當(dāng)測(cè)量結(jié)果與多個(gè)測(cè)量因素有關(guān)時(shí)，采用什么方法確定各個(gè)因素，才能使測(cè)量結(jié)果的誤差最小。各個(gè)因素，才能使測(cè)量結(jié)果的誤差最小。 研究間接測(cè)量中使函數(shù)誤差為最小的最佳測(cè)量方案。函研究間接測(cè)量中使函數(shù)誤差為最小的最佳測(cè)量方案。函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為：數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為： 2222221212yxxxnnfffxxx欲使欲使 為最小，可從哪幾方面來(lái)考慮？為最小，可從哪幾方面來(lái)考慮？ y第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定第七節(jié)最佳測(cè)量方案的確定考慮因素：考慮因素： 因?yàn)橐讯ㄏ到y(tǒng)誤差可以通過(guò)誤差修正的方法來(lái)消除，所因?yàn)橐讯ㄏ到y(tǒng)誤差可以通過(guò)誤差修正的方法來(lái)消除，所以設(shè)計(jì)最佳測(cè)量方案時(shí)，只需考慮隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差以設(shè)計(jì)最佳測(cè)量方案時(shí)，只需考慮隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差的影響。的影響。 研究對(duì)象和目標(biāo)：研究對(duì)象和目標(biāo)： 誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、選擇最佳函數(shù)誤差公式一、選擇最佳函數(shù)誤差公式 間接測(cè)量中如果可由不同的函數(shù)公式來(lái)表示