第五章40數(shù)值積分

1、第第五五章章 數(shù)值積分數(shù)值積分1、積分的概念設(shè)任取bxxxan 10,)(baCxf .,12101 nixxiii 做如果max,)(limiiinixxf 100存在，,)(iniixf 10 則稱 可積，極限值稱為函數(shù) 在區(qū)間a,b上的定積分，記為:)(xf)(xfdxxfba )(Riemann積分5.1 引言黎曼是世界數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一,著作不多，卻異常深刻，富于對概念的創(chuàng)造與想象，思想極其深邃難以理解。許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，直接影響了19世紀以后的數(shù)學發(fā)展，在黎曼思想的影響下數(shù)學許多分支取得了輝煌成就。 黎曼幾何、流形、微分流形、橢圓幾何的創(chuàng)始人 愛因斯坦用黎曼幾

2、何將廣義相對論幾何化；黎曼幾何是現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學基礎(chǔ)。 完善微積分理論的出杰人物之一 微積分理論嚴謹性論證的杰出貢獻者有：黎曼、波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊、維爾斯特拉斯等等?？挛髯C明連續(xù)函數(shù)必定可積，黎曼指出可積函數(shù)不一定連續(xù)。黎曼推廣了博里葉展開式成立的狄利克萊條件，即三角級數(shù)收斂的黎曼條件等等。 解析數(shù)論、與復變函數(shù)的里程碑 組合拓撲的開拓者 代數(shù)幾何的奠基人 在數(shù)學物理、微分方程等領(lǐng)域貢獻卓著 2、積分的計算Riemann積分從定義上基本不可算max,)(lim)(iiinibaxxfdxxf 100求解 的方法： dxxf)( dxxfCxF)()(Newton-Leibn

3、iz公式)()()(aFbFdxxfba 其中第一類換元（湊微分）、第二類換元、分部積分有理函數(shù)。 dxxfCxF)()(如果 為初等函數(shù)，能得到 的 )(xF)(xF)(xf遠遠少于得不到 的 )(xF)(xf理論求解定積分基本看運氣求定積分的值 , Newton-Leibnitz公式 無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計算問題，因為積分學涉及的實際問題極為廣泛，而且極其復雜，在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況：(1) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的并不一定能夠找到用初等函數(shù)的 有限形式表示的原函數(shù)有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如

4、：，例如： Newton-Leibnitz公式就無能為力了公式就無能為力了dxedxxxx10102sin和(2) 還有被積函數(shù)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，被的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，被積函數(shù)表達式不太復雜，積函數(shù)表達式不太復雜， 但積分后其表達式卻很復雜。但積分后其表達式卻很復雜。) 322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF積分后其原函數(shù)積分后其原函數(shù)F(x)為：為：32)(22xxxf例如函數(shù)例如函數(shù)(3) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式?jīng)]有具體的解析表達式, 其函數(shù)其函數(shù) 關(guān)系由表格或圖形表示。關(guān)系由表格或圖形表示。對于這些情

5、況對于這些情況, 要計算積分的準確值都是要計算積分的準確值都是十分困難十分困難的的。由此可見。由此可見, 通過原函數(shù)來計算定積分有它的通過原函數(shù)來計算定積分有它的局局限性限性, 因而研究因而研究一種新的積分方法一種新的積分方法來解決來解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題公式所不能或很難解決的積分問題, , 這時需這時需要用要用數(shù)值解法數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。來建立積分的近似計算方法。 將積分區(qū)間細分將積分區(qū)間細分, ,在每在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復雜函數(shù)進行積分數(shù)代替復雜函數(shù)進行積分，這就是，這就是數(shù)值積分的思想數(shù)值積分的思想，用用

6、代數(shù)插值多項式代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù)發(fā)去代替被積函數(shù)發(fā)f(x)f(x)進行積分進行積分是本章討論數(shù)值積分的是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容主要內(nèi)容。 一、數(shù)值積分的基本思想一、數(shù)值積分的基本思想 積分值積分值 在幾何上可以解釋為由在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如下圖所示，而這個面積之所以難于計算形面積。如下圖所示，而這個面積之所以難于計算是因為它有一條曲邊是因為它有一條曲邊y=f(x) y=f(x) badxxfI)( y= f(x) a b 左矩形公式左矩形公式右矩形公式

7、右矩形公式中矩形公式中矩形公式梯形公式梯形公式Simpson公式公式)()(afabI)()(bfabI)2()(bafabI)()(2)(bfafabI)()2(4)(6)(bfbafafabI:問題的提出和解決辦法 =( )d( )().baIf xxfba00( )d()nnbkkkkakkf xxf xxw f回顧我們高等數(shù)學所學定積分的求取回顧我們高等數(shù)學所學定積分的求取 ()kkkkxwf xf求積公式求積公式求積系數(shù)求積系數(shù)求積節(jié)點值求積節(jié)點值0( )()nbnkkakRf x dxw f x為為截斷誤差截斷誤差,又稱又稱求積余項求積余項.二、代數(shù)精度的概念二、代數(shù)精度的概念.

8、,1,m次代數(shù)精度m次代數(shù)精度定義1定義1則稱該求積公式具有立成次的多項式等式不準確而對于某一個都準確成立的多項式對于所有次數(shù)不超過若一個求積公式mm 依次取(x)=1,x,x2驗證求積公式是否成立, 若第一個不成立的等式是(x)=xm+1,則其代數(shù)精度是m.即滿足badx1bax dx如梯形公式如梯形公式)()()(bfafabdxxfba 2abdxba 1)(2221abdxxba )(33231abdxxba abbfafab )()(2)()()(baabbfafab 22)()()(2222baabbfafab 所以梯形公式具有所以梯形公式具有1 1次代數(shù)精度次代數(shù)精度201202

9、02( )1, ,202 3f xx xwwwwwww將分別代入求積公式 得012141,333www解得10121012( )d( 1)(0)(1),.f xxw fw fw fw w w例如：設(shè)有求積公式試確定系數(shù)使上述求積公式的代數(shù)精度盡量高構(gòu)造數(shù)值求積公式實際上是求與的代數(shù)問題。iwix1444111( 1)(1)33x dx 1333111=( 1)(1)033x dx 3( )f xx將 代入公式mkabkxAkknikii, 2 , 1 , 0),(11110iw具有三階的代數(shù)精度代數(shù)精度定義三、插值型求積公式三、插值型求積公式)()(,101010knkknnnfxlxLfff

10、bxxxan項式，就有拉格朗日插值多上已知函數(shù)值個互異節(jié)點在,d)(d)(d)(0 nkkbakbanbafxxlxxLxxf得到0( )d,( )d .nbbkkkkaakf xxw fwlxx即得求積公式其中.稱為插值型求積公式(1)0( ) ( )( ) d()d(1)!nnbbnjaajfR ff xL xxxxxn它的余項為.d)(0它是插值型求積公式次代數(shù)精度至少具有求積公式nfwxxfnkkkba定理1定理1四、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性四、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性,定義2 在求積公式中 若有00lim()( )d ,nbkkankhw f xf xx11max(),.iii nh

11、xx 其中則稱求積公式是收斂的0( )nnkkkIxw f令令030,0,()(0, ),|( )( )| ()(),.kknnnkkkkf xfknIfIfw f xf x 定義 若只要就有則稱求積公式是穩(wěn)定的0(),()(0,1, ), |( )( )| ().kkkkknnnkkkkf xf xfknIfIfwf xf設(shè)有誤差即則有00,1, ),.kwkn若求積公式中系數(shù)（ =則求積公式是穩(wěn)定的定定理理2 2一、一、CotesCotes系數(shù)系數(shù)dxxLdxxfbanba )()( nkkbakbankkkfdxxldxfxl00)()( nkkbankjjjkjfdxxxxx00將區(qū)間

12、將區(qū)間a,b n a,b n 等分等分nkkhaxnabhk,10 thax 記記5.2 牛頓牛頓柯特斯公式柯特斯公式應(yīng)用應(yīng)用插值型求積公式插值型求積公式有有 nkkbankjjjkjfdxxxxx00 nkknnkjjfthadjhakhajhatha000)( nkknnkjjfdtjkjth000 nkknnkjjfdtjkjth000 nkknnkjjfdtjtnkkkh0001111)()()()( nkknnkjjknfdtjtknknab0001)()!( !)( nkknnkjjknfdtjtknknab0001)()!( !)( nkknnkjjknfdtjtknnkab00

13、01)()!( !)()( nkknkfCab0)()(CotesCotes系數(shù)系數(shù) nkknknfCabI0)()(Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 nnkjjknnkdtjtknnkC001)()!( !)()(當當 時時1 n 1010011011dtjtCjj)()()(2121110102 ttdtt)( 10101101121tdtdtjtCjj)()(由由 nkknknfCabI0)()(得求積公式得求積公式1 n就是將區(qū)間就是將區(qū)間a,ba,b一等分一等分)()()(bfafabffabI 22101梯形公式梯形公式通常記為通常記為)()(bfafabT

14、 2 nnkjjknnkdtjtknnkC001)()!( !)()(當當 時時2 n2023202022331412141 tttdtttC)()(6124243616 64312122120232021 ttdtttC)()( nnkjjknnkdtjtknnkC001)()!( !)()(6121314114120232022 ttdtttC)()(此時，求積公式為此時，求積公式為 )()(bfbafafabSI2462SimpsonSimpson求積公式求積公式當當 時可得時可得4 n9079032901290329074443424140 )()()()()(,CCCCC同理同理,

15、, 4321047321232770fffffabCI 此時，求積公式為此時，求積公式為CotesCotes求積公式求積公式CotesCotes系數(shù)表系數(shù)表系數(shù)特點和穩(wěn)定性q 科特斯系數(shù)具有以下特點：科特斯系數(shù)具有以下特點：(1) 10)(niniC(2) )()(ninniCC(3) 當當 n 8 時，出現(xiàn)負數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證。而且時，出現(xiàn)負數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證。而且當當 n 較大時，由于較大時，由于Runge現(xiàn)象，收斂性也無法保證?，F(xiàn)象，收斂性也無法保證。故一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式。q 當當 n 7 時，牛頓時，牛頓- -科特斯公式是穩(wěn)定的?？铺厮构绞欠€(wěn)定的。 )()(bf

16、bafafabS2461 1、考慮、考慮SimpsonSimpson公式公式 baabdx ababS 1416 baabxdx222 222622abbbaaabS baabdxx3332 326332222abbbabaaabS 二、 Newton-Cotes公式的代數(shù)精度及誤差 baabdxx4443 333216bbaaabS)(SimpsonSimpson公式具有三次代數(shù)精度公式具有三次代數(shù)精度4232323236443223abbabbaaab babbaaabdxx4444416)(而而定理定理 n n為偶數(shù)時求積公式為偶數(shù)時求積公式 nkknknfCabI0)()(至少具有至少

17、具有n+1n+1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。2 2、誤差分析、誤差分析以梯形公式誤差為例以梯形公式誤差為例 baTdxxLxfTIR)()(1,)()( badxbxaxfba 21)()(,)()( bxaxxgdxxgfba 21ab)(xg積分中值定理積分中值定理如果如果 在在 保號且可積，保號且可積， )(,)(xgbaCxf ,ba,ba 使使 babadxxgfdxxgxf)()()()( 則存在則存在 特別地，如果特別地，如果 則有則有 1 )(xg)()(abfdxxfba )()(bxaxxg 因為因為保號且可積，由積分中值定理得保號且可積，由積分中值定理得 baTdxxgfR)

18、()( 21,)()( badxbxaxfba 21baabxxbaxf 2323121)( )()()( abababbaabf22332321 )( )()( fabbaabfab12622322 所以所以 baTdxbxaxfR)()( 21同理同理45(4)(4)() ( )( ), , 18022880SbababaRffa b 6(6)7(6)2() ( )9454()( ), , 230999580CbabaRfbafa b 誤差取決于區(qū)間誤差取決于區(qū)間a,ba,b的長度。的長度。q 例：例：分別用梯形公式和分別用梯形公式和simpson公式計算積分公式計算積分 10dxe-x解

19、：解：a0, b1, f (x) = e -x ，由由 simpson 公式可公式可得得 6323. 0461)()(4)(615 . 002 eeebffafabSba 6839. 021)()(210 eebfafabT由由梯形公式可梯形公式可得得 與精確值與精確值 0.6321 相比相比得誤差分別為得誤差分別為 0.0518 和和 0.0002。 由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項可知，隨著由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項可知，隨著求積求積節(jié)點數(shù)的增多，對應(yīng)公式的精度也會相應(yīng)提高。但由于節(jié)點數(shù)的增多，對應(yīng)公式的精度也會相應(yīng)提高。但由于n8n8時的牛頓時的牛頓柯特斯求積公式柯特斯求積公式

20、開始出現(xiàn)負值的柯特斯系數(shù)開始出現(xiàn)負值的柯特斯系數(shù)。根。根據(jù)誤差理論的分析研究，當積分公式出現(xiàn)負系數(shù)時，可能導據(jù)誤差理論的分析研究，當積分公式出現(xiàn)負系數(shù)時，可能導致舍入誤差增大，并且往往難以估計。因此不能用增加求積致舍入誤差增大，并且往往難以估計。因此不能用增加求積節(jié)點數(shù)的方法來提高計算精度。在節(jié)點數(shù)的方法來提高計算精度。在實際應(yīng)用中，通常將積分實際應(yīng)用中，通常將積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間每個小區(qū)間上采用上采用低階求積公式低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的然后把所有小區(qū)間上的計算結(jié)果加起來計算結(jié)果加起來得到整個區(qū)間上的求得到整個區(qū)間上的求積公式，這就是積公式，

21、這就是復化求積公式的基本思想復化求積公式的基本思想。常用的復化求積常用的復化求積公式有復化梯形公式和復化辛卜生公式。公式有復化梯形公式和復化辛卜生公式。 5.3 5.3 復化求積公式復化求積公式.問題的提出和解決辦法 復化求積公式可以克服高次復化求積公式可以克服高次Newton-Cotes公式計算不穩(wěn)定的公式計算不穩(wěn)定的問題問題, 運算簡單且易于在計算機上實現(xiàn)。運算簡單且易于在計算機上實現(xiàn)。把積分區(qū)間把積分區(qū)間a, b平均分成若干小區(qū)間平均分成若干小區(qū)間xk , xk+1復化求積法的基本思想復化求積法的基本思想 第一步，在每個小區(qū)間上采用次數(shù)不高的第一步，在每個小區(qū)間上采用次數(shù)不高的Newto

22、n-Cotes求求積公式，如梯形公式或積公式，如梯形公式或Simpson公式；公式； 第二步，對每個區(qū)間的近似積分值求和，用所得的值近似第二步，對每個區(qū)間的近似積分值求和，用所得的值近似代替原積分值。代替原積分值。如此得到的求積公式稱為如此得到的求積公式稱為復化求積公式。復化求積公式。則得復化梯形公式梯形公式并在每個小區(qū)間上應(yīng)用其中個小區(qū)間等分為把區(qū)間 , ),1, 1 , 0,( ,1ninabhihaxxxnnbaiii一、復化梯形公式一、復化梯形公式.)()(2)(2)()(2d )(d )(I11101101niiniiinixxbabfxfafhxfxfhxxfxxfii11101

23、( )() ( )2( )( ).22nnniiiiihhTf xf xf af xf b記為, ,)(1211103 iiiniinnxxfhTIRT的余項復化梯形公式32( ) , ( )( ), , .1212fxa bnbaRh fh fa b 若在上連續(xù)，則.)(2階，是收斂的此時復化梯形公式為hO. ,)()(21,110nIxfnabxfnabTbaCfniiniin其實.正，它又是穩(wěn)定的復化梯形公式的系數(shù)為辛普森公式則得復化公式，在每個小區(qū)間上應(yīng)用的中點為記 ,辛普森,211iiixxx二、復化辛普森公式二、復化辛普森公式).()(2)(4)(6101121bfxfxfafhS

24、niniiin即),( , )(2180110)4(4iiiniinxxfhhSIR余項,4時當baCf ,)()(4)(6d )(10121niiiibaxfxfxfhxxfI).,( ),(8802)(2801)4(4)4(4bafhabfhabSIRn.定性具有相應(yīng)的收斂性和穩(wěn)114234110011017 ( )32() 12()9032() 14( )7 ( ).nnniiiinniiiihCf af xf xf xf xf b復合柯特斯求積公式 余項：余項：6(6)2()( )9454nb ahI Cf ， (a, b).dsin10的值積公式求根據(jù)數(shù)據(jù)表利用復合求xxxI例1例1

25、.)()()()()()()()()(94569090218743852183418120818fffffffffT946083201432141287858381406414.)()()()()()()()()(fffffffffS9460829017211443411287858381320790212.)()()()()()()()()(fffffffffCxi01/82/83/84/85/86/87/81.0f (xi )10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.84110,)dcos(sin)(txtxxxf1010)(,)d2cos()d(cosd

26、d)(tkxtttxtxxfkkkk10)(10.11d)2cos()(maxktkxttxfkkx.0.0004343181121)(max12121028 fhTIRxT.100.2715141288016-44SIRS誤差分析誤差分析例：例：計算計算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502運算量基本相同運算量基本相同!一、梯形法的遞推化一、梯形法的遞推化逐次分半法逐次分半法 上一節(jié)介紹的復化求積方法對提

27、高精度是行之有效的，但上一節(jié)介紹的復化求積方法對提高精度是行之有效的，但在使用求積公式之前必須給出合適的步長，在使用求積公式之前必須給出合適的步長，步長步長取得取得太大精度太大精度難以保證難以保證，步長太小步長太小則會導致則會導致計算量計算量的的增加增加，而事先給出一個，而事先給出一個恰當?shù)牟介L又往往是困難的恰當?shù)牟介L又往往是困難的 實際計算中常常實際計算中常常采用變步長的計算方案采用變步長的計算方案，即在步長，即在步長逐次分逐次分半（即步長二分）半（即步長二分）的過程中，反復利用復化求積公式進行計算的過程中，反復利用復化求積公式進行計算，直至所求得的積分值滿足精度要求為止，直至所求得的積分值

28、滿足精度要求為止 設(shè)將求積區(qū)間設(shè)將求積區(qū)間a，b分成分成n等分，則一共有等分，則一共有n+1個分點，按個分點，按梯形公式計算積分值梯形公式計算積分值Tn，需要提供，需要提供n+1個函數(shù)值如果將求積個函數(shù)值如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至區(qū)間再二分一次，則分點增至2n+1個，我們來個，我們來考察考察二分二分前后兩前后兩個積分值個積分值之間的之間的聯(lián)系聯(lián)系5.4 5.4 龍貝格求積公式龍貝格求積公式逐次分半逐次分半計算計算方案方案的實現(xiàn)的實現(xiàn): 注意到每個子區(qū)間注意到每個子區(qū)間xk，xk+1經(jīng)過二分只增加了一個分經(jīng)過二分只增加了一個分點點 xk+1/2( xk+xk+1)/2，用復化梯形公式求

29、得該子區(qū)間上的，用復化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為積分值為 101021102110122)12(221)(221)(2)()(4nknnkknnkknkkknhkafhTxfhTxfhxfxfhT)()(2)(4121 kkkxfxfxfh這里這里 代表二分前的步長代表二分前的步長. .將每個子區(qū)間上的積分值將每個子區(qū)間上的積分值相加得相加得nabh 當把積分區(qū)間分成當把積分區(qū)間分成n等份，用復化梯形等份，用復化梯形公式計算積分公式計算積分I的近似值的近似值 時，截斷誤差為時，截斷誤差為nT)(122nnnfnababTIR 若把區(qū)間再分半為若把區(qū)間再分半為2n2n等份，計算出定積分等份

30、，計算出定積分的近似值的近似值 ，則截斷誤差為，則截斷誤差為nT2)(2122222nnnfnababTIR 當當 在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上變化不大時上變化不大時, ,有有 )(xf )()(2nnff 412nnTITI所以所以 可見可見, ,當步長二分后誤差將減至當步長二分后誤差將減至 , ,將將上式移項整理，可得驗后誤差估計式上式移項整理，可得驗后誤差估計式41221()3nnnITTT上式說明，只要二等份前后兩個積分值上式說明，只要二等份前后兩個積分值和和 相當接近，就可以保證計算結(jié)果相當接近，就可以保證計算結(jié)果的誤差很小，使的誤差很小，使 接近于積分值接近于積分值I I。 nTnT

31、2nT2nT210sind .xIxx利用變步長的梯形法求的近似值例例1 1.9207355. 0)1 ()0(211ffT.9397933. 0)21(212112fTT.9445135. 0)43()41(412124ffTT.956909. 0)87()85()83()81(812148ffffTT這樣不斷二分下去，計算結(jié)果如下表所示。積分的準確值這樣不斷二分下去，計算結(jié)果如下表所示。積分的準確值為為0.94608310.9460831，從表中可看出用變步長二分，從表中可看出用變步長二分1010次可得此結(jié)果。次可得此結(jié)果。 1201-(21) =222nnnkhhb aTTfakhn0.

32、93979330.93979330.94608310.94608310.0062898 0.0062898 0.94451350.94451350.94608310.94608310.0015696 0.0015696 0.94569090.94569090.94608310.94608310.0003922 0.0003922 0.94598500.94598500.94608310.94608310.0000981 0.0000981 0.94605960.94605960.94608310.94608310.0000235 0.0000235 0.94607690.94607690.94

33、608310.94608310.0000062 0.0000062 0.94608150.94608150.94608310.94608310.0000016 0.0000016 0.94608270.94608270.94608310.94608310.0000004 0.0000004 0.94608300.94608300.94608310.94608310.0000001 0.0000001 0.94608310.94608310.94608310.94608310.0000000 0.0000000 1T2T4T8T16T32T64T128T256T512T, 21 k二分次數(shù)二分次

34、數(shù)區(qū)間個數(shù)數(shù)區(qū)間個數(shù)數(shù)12 k二、龍貝格算法二、龍貝格算法 變步長梯形求積法算法簡單，但精度較差，收斂變步長梯形求積法算法簡單，但精度較差，收斂速度較慢，但可以利用梯形法算法簡單的優(yōu)點，形速度較慢，但可以利用梯形法算法簡單的優(yōu)點，形成一個新算法，這就是龍貝格求積公式。龍貝格公成一個新算法，這就是龍貝格求積公式。龍貝格公式又稱逐次分半加速法。式又稱逐次分半加速法。 根據(jù)積分區(qū)間分成根據(jù)積分區(qū)間分成n等份和等份和2n等份時的誤差估計等份時的誤差估計式可得式可得 222211()()33nnnnnnITTTITTT所以積分值所以積分值 的誤差大致等于的誤差大致等于 , ,如果用如果用 對對 進行修正

35、時，進行修正時， 與與 之和比之和比 更接近積分真值更接近積分真值, ,所以可以將所以可以將 看成是對看成是對 誤差的一種補償誤差的一種補償, ,因此可得到具有更好效果的式子因此可得到具有更好效果的式子. . nT2)(312nnTT)(312nnTTnT2)(312nnTTnT2nT2)(312nnTTnT2nnnnnTTTTTT3134)(31222 (6.9) TnS考察考察 與與n等份辛卜生公式等份辛卜生公式 之間的關(guān)系。將之間的關(guān)系。將復化梯形公式復化梯形公式 )()(2)(211bfxfafhTnkkn梯形變步長公式梯形變步長公式 102)(2221nkknnxfhTTnnknkk

36、kSbfxfxfafhT1010)()(2)(4)(62124133nnnSTT故故 這就是說，用梯形法二分前后兩個積分值這就是說，用梯形法二分前后兩個積分值 和和 作線性組合，結(jié)果卻得到復化辛卜生公式計算得到作線性組合，結(jié)果卻得到復化辛卜生公式計算得到的積分值的積分值 。nTnT2nS代入代入 表達式得表達式得 T221()3nnnTTTT再考察辛卜生法。其截斷誤差與再考察辛卜生法。其截斷誤差與 成正比，因此，成正比，因此，如果將步長折半，則誤差減至如果將步長折半，則誤差減至 ，即有，即有4h1611612nnSISI由此可得由此可得nnSSI15115162可以驗證可以驗證, ,上式右端的

37、值其實等于上式右端的值其實等于Cn，就是說，用，就是說，用辛卜生公式二等份前后的兩個積分值辛卜生公式二等份前后的兩個積分值Sn和和S2n 作線作線性組合后，可得到柯特斯公式求得的積分值性組合后，可得到柯特斯公式求得的積分值Cn，即，即有有 nnnSSC15115162用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進一步導出龍貝格公式可進一步導出龍貝格公式 nnnCCR63163642 在變步長的過程中運用上述誤差公式，就在變步長的過程中運用上述誤差公式，就能將粗糙的梯形值能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛逐步加工成精度較高的辛卜生值卜生值Sn、柯特斯值、柯特斯值Cn和龍貝格值和龍貝格值Rn ，或者說，或者說將收斂緩慢的梯形值序列將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅速的加工成收斂迅速的龍貝格值序列龍貝格值序列Rn，這種加速方法稱為龍貝格算，這種加速方法稱為龍貝格算法（龍貝格公式）。法（龍貝格公式）。 三、龍貝格求積法算法實現(xiàn)三、龍貝格求積法算法實現(xiàn)（1 1） 龍貝格求積法計算步驟龍貝格求積法計算步驟 用梯形公式計算積分近似值用梯形公式計算積分近似值 按變步長梯形公式計算積分近似值按變步長梯形公式計算積