復(fù)變函數(shù)與積分變換-05

1、第二節(jié) 留 數(shù)一、留數(shù)的引入二、利用留數(shù)求積分三、在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)四、典型例題五、小結(jié)與思考2一、留數(shù)的引入設(shè)為的一個孤立奇點(diǎn);內(nèi)的洛朗級數(shù):在.的某去心鄰域鄰域內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線30(高階導(dǎo)數(shù)公式)0 (柯西-古薩基本定理)4定義 記作的一個孤立奇點(diǎn), 則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線 C 的積分的值除后所得的數(shù)稱為以如果5二、利用留數(shù)求積分說明:2. 留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).1.留數(shù)定理在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤外處處解析, C 是 D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線, 那末立奇點(diǎn)函數(shù)6證證畢兩邊同時除以 且.如圖72.留數(shù)的計算方法(1)

2、如果為的可去奇點(diǎn), 如果 為 的一級極點(diǎn), 那末規(guī)則1成洛朗級數(shù)求(2) 如果為的本性奇點(diǎn), (3) 如果為的極點(diǎn), 則有如下計算規(guī)則展開則需將8如果 為 的 級極點(diǎn), 規(guī)則2證那末9+(含有 正冪的項)兩邊求階導(dǎo)數(shù), 證畢得10規(guī)則3 如果設(shè)及在都解析，證的一級零點(diǎn),為的一級極點(diǎn).為那末為的一級極點(diǎn), 且有11解析且在因此其中 在 解析且為 的一級極點(diǎn),12三、在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)注意積分路線取順時針方向說明記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線，13.證由留數(shù)定義有:(繞原點(diǎn)的并將內(nèi)部的正向簡單閉曲線)包含在 2.定理二如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立

3、奇點(diǎn), 那末在所有各奇點(diǎn) (包括 點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.證畢14說明: 由定理得(留數(shù)定理)計算積分計算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).優(yōu)點(diǎn): 使計算積分進(jìn)一步得到簡化. (避免了計算諸有限點(diǎn)處的留數(shù))153.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計算規(guī)則4說明: 定理二和規(guī)則4提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法: 此法在很多情況下此法更為簡單.16現(xiàn)取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的正向圓周 :于是有證17內(nèi)除在外無其他奇點(diǎn) .證畢18四、典型例題例1 求在的留數(shù).解19例2 求在的留數(shù).分析是的三級零點(diǎn)由規(guī)則3得計算較麻煩.20如果利用洛朗展開式求較方便:解21說明: 如 為 m 級極點(diǎn)，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時

4、, 可直接展開洛朗級數(shù)求來計算留數(shù) .2. 在應(yīng)用規(guī)則2時, 取得比實(shí)際的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便. 1. 在實(shí)際計算中應(yīng)靈活運(yùn)用計算規(guī)則. 為了計算方便一般不要將m但有時把m取得比實(shí)際的如上例取22例3 求在的留數(shù).解 是的四級極點(diǎn).在內(nèi)將展成洛朗級數(shù):23例4 計算積分C為正向圓周:解為一級極點(diǎn),為二級極點(diǎn),2425例5 計算積分C為正向圓周:函數(shù)在的外部, 除點(diǎn)外沒有其他奇點(diǎn). 解 根據(jù)定理 2與規(guī)則4: 26與以下解法作比較 :被積函數(shù)有四個一級極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部 , 所以由規(guī)則3 27可見, 利用無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡單.例6 計算積分C為正向圓周 :解 除被積函數(shù)點(diǎn)外, 其他奇點(diǎn)為28由于與1在C的內(nèi)部, 則所以29五、小結(jié)與思考 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計算以及留數(shù)定理. 應(yīng)重點(diǎn)