2019高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案

1、離散型隨機(jī)變量及其分布列【考點(diǎn)梳理】1離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.2離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，則表XPx1p1x2p2xipixnpn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：pi0(i1，2，n)；p1p2pn1.3常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為XP01p1pCkMCnNkM，其中pP(X1)稱為成功概率.(2

2、)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，稱隨機(jī)NCn變量X服從超幾何分布.XP00N0CMCnMNCn11N1CMCnMNCnmMNMCmCnmNCn【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例1】(1)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X101P1323qq2262626nn(n1，2，3，4)，其中a是15常數(shù)，則PX的值為()3456則q的值為()333333333A1BCDa(2)離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(Xn)222345ABCD答案(1)C(2)D(1

3、)由分布列的性質(zhì)知123qq21，解析23q0，q20，3q.(2)由1111a1，知a1.a.1515155故PXP(X1)P(X2).333264512233445542224646【類題通法】分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：XP11122163134165p則p為()2ABCD解析由分布列的性質(zhì)，p1，p1.111163412答案C111131126364412已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(Xk)

4、2k，k1，2，則P(2X4)_.答案3163.解析(1)設(shè)事件A：選派的三人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)，則P(A)532.P(X0)43，C24C1318P(X2)3，P(X3)33，111114解析P(Xk)2k，k1，2，P(2X4)P(X3)P(X4)23281616考點(diǎn)二、超幾何分布的應(yīng)用【例2】某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語(yǔ)，2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問(wèn).(1)在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；(2)在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)X的分布列.C2C14C77(2)依題意知X的取值為0，1，2，3，C34C735P(X1)，7C

5、33543C1C212C735C31C735X的分布列為XP043511835212353135【類題通法】1隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷3則P(M)5.P(X0)56，C46C145C36C2410C26C345C16C441若隨機(jī)變量X滿足如下條件，則X服從超幾何分布：第一，該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；第二，隨機(jī)變量X表示抽取到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)(如次品件數(shù)或類似事件)，反之亦然2超幾何分布的特征(1)考察對(duì)象分兩類；(2)已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布3超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】在心理學(xué)

6、研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)A對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.解析(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，8C45C1018(2)由題意知X可取的值為0，

7、1，2，3，4，則C51C1042P(X1)，5C1021P(X2)，5C1021P(X3)，5C1021P(X4).5C1042因此X的分布列為XP0142152121021352141424考點(diǎn)三、求離散型隨機(jī)變量的分布列【例3】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列.A12A13解析(1)記“第一次檢

8、測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，P(A)5A2310.P(X200)22，A33C12C13A223P(X400)1P(X200)P(X300)1.(2)X的可能取值為200，300，400.A21A510P(X300)，5A31013310105故X的分布列為XP20011030031040035【類題通法】離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義.(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率.(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列.(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則試驗(yàn)結(jié)束(1)求第一次試驗(yàn)恰好摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率；(2)記試驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列5解析(1)記“第一次試驗(yàn)恰好摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球”為事件A，則P(A)2.C8C28P(X2)62C2C14C12C229C8C2628