第二節(jié)直線的交點(diǎn)與距離公式課件

1、第二節(jié) 直線的交點(diǎn)與距離公式課標(biāo)版 文數(shù)1.兩條直線的交點(diǎn)教材研讀ccc點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離|P1P2|=點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d=2.三種距離ccc1.兩條直線l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交點(diǎn)為()A.B.C.D.答案B解方程組得所以兩直線的交點(diǎn)為.2.原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離為()A.1B. C.2D.c答案D由相應(yīng)距離公式易得d=.3.已知直線l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,則l1,l2之間的距離為()A.1B.C.D.2

2、答案B由題意可知l1與l2平行,故l1與l2之間的距離d=,故選B.4.若三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一點(diǎn),則b=.答案-解析由解得將其代入x+by=0,得b=-.cc5.已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(x,-x)和B,那么這兩點(diǎn)之間距離的最小值是.答案解析由題意可得兩點(diǎn)間的距離d=,即最小值為.c 直線的交點(diǎn)典例1(1)經(jīng)過直線l1:x+y+1=0與直線l2:x-y+3=0的交點(diǎn)P,且與直線l3:2x-y+2=0垂直的直線l的方程是.(2)已知三條直線l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它們不能圍成三角形,則m的取值構(gòu)成的集合是.

3、答案(1)x+2y=0(2)解析(1)解法一:由方程組解得即點(diǎn)P(-2,1),由題意知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2),l3l,k=-,考點(diǎn)突破c直線l的方程為y-1=-(x+2),即x+2y=0.解法二:因?yàn)橹本€l過直線l1和l2的交點(diǎn),所以可設(shè)直線l的方程為x+y+1+(x-y+3)=0,即(1+)x+(1-)y+1+3=0.因?yàn)閘與l3垂直,所以2(1+)-(1-)=0,所以=-,所以直線l的方程為x+y=0,即x+2y=0.(2)由已知易知l2與l3相交,且交點(diǎn)為,若l1、l2、l3交于一點(diǎn),則易得m=-1或;若l1l2,則m=4;若l1l3,則m=-.綜上可得,

4、m=-1或或4或-.經(jīng)過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的設(shè)法經(jīng)過兩相交直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(這個(gè)直線系不包括直線A2x+B2y+C2=0).1-1若將本例(1)的“垂直”改為“平行”,試求l的方程.解析由方程組解得即點(diǎn)P(-2,1).設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2),因?yàn)閘l3,所以k=2,故直線l的方程為y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. 距離問題典例2正方形的中心為點(diǎn)C(-1,0),一條邊所在直線的方程為x+3y-5=0,求其他三邊所在直線的方程.解析點(diǎn)C到直線x+3y-5=0的距離

5、d1=.cc設(shè)與直線x+3y-5=0平行的邊所在直線的方程是x+3y+m=0(m-5),則點(diǎn)C到直線x+3y+m=0的距離d2=,解得m=-5(舍去)或m=7,所以與直線x+3y-5=0平行的邊所在直線的方程是x+3y+7=0.設(shè)與x+3y-5=0垂直的邊所在直線的方程是3x-y+n=0,則點(diǎn)C到直線3x-y+n=0的距離d3=,解得n=-3或n=9,所以與直線x+3y-5=0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x-y-3=0和3x-y+9=0.正方形的四條邊兩兩平行或垂直,設(shè)平行直線系和垂直直線系可以較方便地解題.運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),需把直線方程化為一般式;運(yùn)用兩平行線間的距離公式時(shí),需先

6、把兩平行線方程中x,y的系數(shù)化為相同的形式.2-1已知點(diǎn)P(2,-1).(1)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程;(2)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程,并求出最大距離;(3)是否存在過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線?若存在,求出方程;若不存在,請說明理由.解析(1)過P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2,又P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),可見,過P(2,-1)且垂直于x軸的直線滿足條件.此時(shí)l的斜率不存在,其方程為x=2.若斜率存在,則設(shè)l的方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.c則=2,解得k=.此時(shí)l的方程為3x-4y-10=0.綜上,直線l的方程為x=2或3x-4y-10=0.(2

7、)由題意可知過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l是過P點(diǎn)且與PO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))垂直的直線,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-=2.由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以2x-y-5=0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程,最大距離為=.(3)不存在.由(2)可知,過P點(diǎn)不存在與原點(diǎn)距離超過的直線,因此不存在過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線. 對稱問題命題角度一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱典例3過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分,求直線l的方程.解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8-2a),則由題意知,點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P

8、的對稱點(diǎn)B(-a,2a-6)在l2上,將其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,則A(4,0),又P(0,1),所以由兩點(diǎn)式可得直線l的方程為x+4y-4=0.c命題角度二點(diǎn)關(guān)于線的對稱典例4求點(diǎn)A(-1,-2)關(guān)于直線l:2x-3y+1=0的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo).解析設(shè)A(x,y),則由已知得解得A.命題角度三線關(guān)于點(diǎn)的對稱典例5求直線l:2x-3y+1=0關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)對稱的直線l的方程.解析設(shè)P(x,y)為l上任意一點(diǎn),則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對稱點(diǎn)為P(-2-x,-4-y),點(diǎn)P在直線l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,cc即2x-3y

9、-9=0.則直線l的方程為2x-3y-9=0.命題角度四線關(guān)于線的對稱典例6求直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l:2x-3y+1=0的對稱直線m的方程.解析在直線m上任取一點(diǎn),如點(diǎn)M(2,0),則點(diǎn)M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M必在直線m上.設(shè)點(diǎn)M的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,b),則解得故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.c設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N,由解得則N(4,3).由兩點(diǎn)式可得直線m的方程為9x-46y+102=0.命題角度五對稱問題的應(yīng)用典例7 (2013湖南,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn).光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖).若光線

10、QR經(jīng)過ABC的重心,則AP等于()A.2B.1C.D.答案D解析以AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,由題意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),則直線BC的方程為x+y-4=0.設(shè)P(t,0)(0t4),由對稱知識可得點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(4,4-t),點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-t,0),根據(jù)反射定理可知直線P1P2就是光線RQ所在直線.由P1、P2兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線P1P2的方程為y=(x+t),設(shè)ABC的重心為G,易知G.因?yàn)橹匦腉在光線RQ上,所以=,即3t2-4t=0,解得t=0或t=,因?yàn)?t4,所以t=,即AP=,故選D.常見對稱問題的求解方法:(1)中心對稱若點(diǎn)M(x1,y1)與N(x,y)關(guān)于P(a,b)對稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得若直線關(guān)于點(diǎn)對稱,則在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程,或者求出一個(gè)對稱點(diǎn),再利用原直線與其關(guān)于點(diǎn)對稱的直線平行,由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.(2)軸對稱點(diǎn)關(guān)于直線的對稱若兩點(diǎn)P1(