全國(guó)第八屆青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計(jì)任意角的三角函數(shù)4

1、121任意角的三角函數(shù)【教學(xué)內(nèi)容解析】三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是對(duì)函數(shù)模型的豐富，是對(duì)函數(shù)概念，性質(zhì)，圖像變換及函數(shù)應(yīng)用的進(jìn)一步深化，是函數(shù)概念的下位知識(shí)。三角函數(shù)在物理學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的基礎(chǔ)，因此，通過(guò)本章的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。余本節(jié)之前學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和任意角弧度制，本節(jié)之后還要接著研究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的具有周期現(xiàn)象的實(shí)際問(wèn)題。而本節(jié)內(nèi)容是研究三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用。任意角三角函數(shù)

2、概念的重點(diǎn)是借助單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)理解任意角的正弦、弦的定義，它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵是在直角坐標(biāo)系中，借助單位圓、象限角等知識(shí)，抽象概括出三角函數(shù)，在這一過(guò)程中，學(xué)生可以感受到數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法【教學(xué)目標(biāo)設(shè)置】21、通過(guò)大量實(shí)例，認(rèn)識(shí)到定義任意角三角函數(shù)的必要性；、借助單位圓上的圓周運(yùn)動(dòng)，抽象概括出任意角正弦、余弦定義，并體會(huì)命名的合理性；能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值。3、在抽象概括三角函模型的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想?！緦W(xué)生學(xué)情分析】進(jìn)初中學(xué)習(xí)了函數(shù)的初步概念，研究了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，入高中后從集合與對(duì)應(yīng)的觀

3、點(diǎn)重新刻畫(huà)了函數(shù)的概念，研究了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。學(xué)生已具備了學(xué)習(xí)和研究一個(gè)新函數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ)和初步能力。本節(jié)課之前的任意角和弧度制，學(xué)生已經(jīng)知道了角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，這為學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。三角函數(shù)是“從角的集合到坐標(biāo)分量的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解要比從前學(xué)過(guò)的特殊函數(shù)困難些，這是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，所以需要借助單位圓上的圓周運(yùn)動(dòng)以直觀的幾何方式給出定義，通過(guò)合理的設(shè)計(jì)問(wèn)題串突破該難點(diǎn)。教學(xué)的另一個(gè)難點(diǎn)是，任意角三角函數(shù)的定義域是角的集合（或它的子集），需要“把角的集合轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)集”回顧前一節(jié)的弧度制學(xué)生可以自行解決該

4、難點(diǎn)，并也體現(xiàn)了引入弧度制的必要性。【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：借助單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)生成理解任意角的正弦、余弦的定義；能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值。難點(diǎn)：從單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)這一模型中尋找變量并抽象概括出函數(shù)。【教學(xué)策略分析】“任意角三角函數(shù)的概念”是“函數(shù)概念”的下位概念，學(xué)生的學(xué)習(xí)是下位學(xué)習(xí)（一般函數(shù)概念下的具體函數(shù)），為了更好地突出“任意角三角函數(shù)的函數(shù)性”和“三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)”，并能根據(jù)定義進(jìn)行簡(jiǎn)單求值，所以在教學(xué)策略上，我以“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”為指導(dǎo)思想，以圓周運(yùn)動(dòng)這一數(shù)學(xué)模型為教學(xué)起點(diǎn)，調(diào)動(dòng)象限角、弧度制、單位圓、銳角三角函數(shù)等相關(guān)

5、知識(shí)，從該模型中尋找變量抽象概括出任意角三角函數(shù)的概念。故在本課時(shí)中我對(duì)人教A版的教材及相關(guān)材料做如下處理。內(nèi)容上：第一課時(shí)只講解正弦、余弦函數(shù)的定義。（因?yàn)檎?、余弦函?shù)是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng)，密切配合的周期函數(shù)，）結(jié)構(gòu)上：通過(guò)實(shí)例體現(xiàn)“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”并發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型不夠用了，進(jìn)而利用單位圓上的圓周運(yùn)動(dòng)，由老師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生尋找變量并抽象概括出任意角正弦、余弦的定義，而不是利用以直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)定義來(lái)引課。理由如下：（1）銳角三角函數(shù)以比值為函數(shù)值，是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系而發(fā)展起來(lái)“的；任意角三角函數(shù)以坐標(biāo)分量為函數(shù)值，是研究現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象而

6、發(fā)展起來(lái)的，他們研究的對(duì)象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同。所以我們不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化）又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的限定”。（2）在任意角三角函數(shù)的概念形成之前，如果通過(guò)回顧初中的三角形中的銳角三角函數(shù)定義，之后坐標(biāo)化、長(zhǎng)度單位化、角的任意化，最后給出定義，這樣處理容易給學(xué)生造成定義任意角三角函數(shù)離不開(kāi)銳角三角函數(shù)的錯(cuò)覺(jué)，沖淡任意角正弦、余弦的函數(shù)性，可能導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法把任意角的三角函數(shù)納入到函數(shù)的概念中。這樣處理可以讓學(xué)生直觀地理解三角函的概念，體會(huì)把三角函數(shù)稱作“圓函數(shù)”的原因，并為后續(xù)的性質(zhì)、圖像的學(xué)習(xí)帶來(lái)方便，也可以讓學(xué)生更好地體會(huì)

7、數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想?；谝陨霞敖Y(jié)合學(xué)生知識(shí)水平,年齡特點(diǎn)，教師首先展示大量實(shí)例，體會(huì)引入新函數(shù)模型的必要性；通過(guò)幾何畫(huà)板演示圓周運(yùn)動(dòng)，教師問(wèn)題串引導(dǎo)，以學(xué)生活動(dòng)為主線,給學(xué)生留下思考的空間，自主發(fā)現(xiàn)，抽象概括出任意角的正弦、余弦的定義，并讓學(xué)生探究該命名的合理性（數(shù)學(xué)中新的概念或法則的引進(jìn)，我們總是希望其與原有的概念或法則是相容的），使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師的指導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。【教學(xué)流程】一、情境引入、提出問(wèn)題1、師：必修一我們學(xué)習(xí)了函數(shù)，通過(guò)學(xué)習(xí)我們知道函數(shù)是刻畫(huà)客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。（列舉大量實(shí)例，利用ppt師生互動(dòng)）如：（1）鉛球如何

8、能擲的更遠(yuǎn)、投籃如何更準(zhǔn)，那我們就要研究拋物運(yùn)動(dòng)，拋物運(yùn)動(dòng)用什么函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)？（2）必修一學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，他們分別是刻畫(huà)那些具有“指數(shù)爆炸”對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。2、（師：在現(xiàn)實(shí)世界中還有這樣一類現(xiàn)象，同學(xué)們請(qǐng)看。ppt展示圖片）師生總結(jié)出晝夜更替，四季變化，潮汐變化，月相變化等。師：這類現(xiàn)象有什么樣的共同特點(diǎn)？生：都具有周而復(fù)始的特點(diǎn)。師：很好，這種現(xiàn)象我們叫做周期現(xiàn)象。周期現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，時(shí)刻影響著我們的生活，為了使我們的生活更加美好、看清現(xiàn)象的本質(zhì)。我們很有必要研究周期現(xiàn)象，同學(xué)們思考，已有的這些函數(shù)模型能否刻畫(huà)這種周期性現(xiàn)象呢？師：函數(shù)模型不夠用了，這節(jié)課我們

9、就尋找新的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象?！驹O(shè)計(jì)意圖】用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，函數(shù)的視角看待自然現(xiàn)象和客觀世界運(yùn)行規(guī)律，體現(xiàn)函數(shù)的重要性，定義新函數(shù)的必要性。二、構(gòu)建模型、尋找函數(shù)（一）準(zhǔn)備工作（引進(jìn)圓周運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)系，圓的單位化）師：剛才我們所舉的周期現(xiàn)象的例子，是如何引起的？生A：（可能略作思考）由旋轉(zhuǎn)引起的。師：是一種什么運(yùn)動(dòng)？生A：圓周運(yùn)動(dòng)老師表述：在“周而復(fù)始”現(xiàn)象中，最典型的是圓周運(yùn)動(dòng)【圓上的點(diǎn)P的每轉(zhuǎn)一周（2弧度）就回到原來(lái)的位置】。數(shù)學(xué)中，研究一類現(xiàn)象，我們往往從簡(jiǎn)單而本質(zhì)的情形入手。因此，本節(jié)課我們就從圓周運(yùn)動(dòng)中抽象概括出刻畫(huà)周期現(xiàn)象的函數(shù)模型。師：要從圓周運(yùn)動(dòng)中抽象概括出函數(shù)代數(shù)表

10、達(dá)式，我們還缺什么工具？【幾何畫(huà)板展示、引出坐標(biāo)系，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想】師：平面直角坐標(biāo)系是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵。坐標(biāo)系放在什么位置合適？【建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系】師：在研究點(diǎn)P的周期特性時(shí)，了研究方便，我們不妨取圓的半徑op=1，我們把以原點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑的圓叫單位圓【將圓單位化】(板書(shū)單位圓）（二）尋找變量，構(gòu)建函數(shù)師：要用函數(shù)刻畫(huà)周期現(xiàn)象，就離不開(kāi)變量。在坐標(biāo)系中，哪些變量能刻畫(huà)單位圓上點(diǎn)P的變化規(guī)律呢？（學(xué)生可能回答坐標(biāo)，弧長(zhǎng)，時(shí)間等，根據(jù)情況具體討論）生:P點(diǎn)的坐標(biāo)師：坐標(biāo)可以很好的刻畫(huà)點(diǎn)p的位置，請(qǐng)同學(xué)們思考，能否用變量x和y建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式刻畫(huà)點(diǎn)P在單

11、位圓上的變化規(guī)律？（學(xué)生可能說(shuō)用x2y21刻畫(huà)，可問(wèn)學(xué)生其是函數(shù)么？能體P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)周期特性么？）師：x，y之間不能構(gòu)成函數(shù)，所以要構(gòu)造函數(shù)我們還缺少變量。請(qǐng)同學(xué)們思考，還有什么變量能刻畫(huà)p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期特性呢？各小組討論，并說(shuō)說(shuō)合理性。生：可以用角來(lái)描述p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期特性。師：什么樣的角？生：射線OP旋轉(zhuǎn)所成的角，就是上一節(jié)課的任意角。師：這時(shí)點(diǎn)P可以看成角終邊與單位圓的交點(diǎn)，這個(gè)角是如何體現(xiàn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期特性呢？生：終邊旋轉(zhuǎn)2弧度又回到原來(lái)位置，可以周而復(fù)始的旋轉(zhuǎn)下去。師：給予表?yè)P(yáng)，請(qǐng)坐（結(jié)合幾何畫(huà)板總結(jié)）終邊每旋轉(zhuǎn)2弧度，P點(diǎn)就回到原來(lái)位置體現(xiàn)了周期性。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以用正角刻畫(huà)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

12、可以用負(fù)角刻畫(huà)，不旋轉(zhuǎn)用零角刻畫(huà)，并且P點(diǎn)可以無(wú)限地旋轉(zhuǎn)下去，所以我們可以用任意角去刻畫(huà)P點(diǎn)的周期變化規(guī)律。（三）聯(lián)系變量，構(gòu)造函數(shù)師：接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們思考，角與坐標(biāo)分量x，y分別有什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？能否構(gòu)造出函數(shù)？請(qǐng)各小組討論，最后給出成果。生：角和變量x，y有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于任意一個(gè)角都有唯一確定的橫坐標(biāo)x與之對(duì)應(yīng)；對(duì)于任意一個(gè)角都有唯一確定的縱坐標(biāo)y與之對(duì)應(yīng).師：（板書(shū)并問(wèn)）任一唯一x,任一唯一y以誰(shuí)為自變量，以誰(shuí)為函數(shù)值的函數(shù)？生：角是自變量，坐標(biāo)分量為函數(shù)值的兩個(gè)函數(shù)！師：（不妨記為xf()；yg()）老師有個(gè)疑問(wèn)？角是實(shí)數(shù)么？生：是，他的弧度數(shù)是個(gè)實(shí)數(shù)。師：很好，請(qǐng)坐?；《戎葡?，任

13、意角的集合就是實(shí)數(shù)集R,看來(lái)引入弧度制是很有必要的。單位圓上的坐標(biāo)分量x，y取值集合是什么？答-1,1,師：哪位同學(xué)從集合與對(duì)應(yīng)的角度來(lái)描述一下這兩個(gè)函數(shù)？生：對(duì)于R中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)，都有-1,1中唯一確定的數(shù)x與之對(duì)應(yīng)；同理師：（表?yè)P(yáng)）上述對(duì)應(yīng)滿足函數(shù)的定義，即是以角的弧度數(shù)為自變量，以角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)分量為函數(shù)值的函數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】1、這部分是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)概念、象限角、弧度制等知識(shí)，通過(guò)幾何畫(huà)板的直觀演示，達(dá)到突出重點(diǎn)突破難點(diǎn)的目的。2、利用單位圓上的圓周運(yùn)動(dòng)尋找任意角三角函數(shù)概念，在概念的形成過(guò)程中，體會(huì)函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想。三、生成概念、恰當(dāng)命名師：上述

14、兩個(gè)函數(shù)密切配，很好地刻畫(huà)了做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P的周期特性，這么重要的函【數(shù)同學(xué)們考慮給他們起個(gè)具體的名字吧，并給一個(gè)記號(hào)。小組討論。】生：x叫做的余弦，記作xcos；y叫做的正弦，記作ysin.合理性：（學(xué)生闡述）老師說(shuō)明：這樣命名前后一致，具有合理性。一般地，在數(shù)學(xué)中，當(dāng)我們引進(jìn)一個(gè)新的概念或法則時(shí)，我們總是希望它與已有的概念或法則相容。因?yàn)榻鞘侨我饨?，所以這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是（板書(shū)標(biāo)題）我們給出任意角的三角函數(shù)的完整定義。（板書(shū)）老師總結(jié)：至此，利用圓周運(yùn)動(dòng)同學(xué)們構(gòu)建了任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，每隔2弧度，P點(diǎn)坐重復(fù)出現(xiàn)，所以這兩個(gè)函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象最有表現(xiàn)力的函數(shù)，因?yàn)槠鹪从趫A周運(yùn)動(dòng)，我們也稱他倆也被稱為圓函數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】1、定義的合理性。2、通過(guò)積極參與知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過(guò)程，體會(huì)合情猜測(cè)的重要性，并從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性；四、例題分析，鞏固提高練習(xí)1：完成下列表格:20sin32cos求5例1.3的正弦、余弦值.總結(jié)：求任意角的正余弦值關(guān)鍵是要求其終邊與單圓的交點(diǎn)坐標(biāo)?！驹O(shè)計(jì)意圖】能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值。已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)，求角的正弦、余弦值.例