概率論自測題七八

1、自測題 七-八時間：90 分鐘一、單項選擇題 (每題 3 分，共 12 分)1設(shè)總體 XN ( 1, 2)，總體 YN ( 2, 2)，X1, X2, , Xm 和 Y1, Y2, , Yn 分別是來自總體 X 和總體 Y 的樣本，樣本方差分別為 S 2 和 S 2 ，則 2 的無偏估計量是()XY(A) S 2 ；S 2(B) (m 1)S 2 (n 1)S 2 ；XYXYS 2(m 1)S 2 (n 1)S 2S 2 XY ；XY 。(C)(D)m n 2m n 232設(shè)總體 X 的概率分布為X012 22 (1 ) 21 2P其中 (0 64，顯著性水平 =0.05，利用統(tǒng)計量求 H0為

2、。域6設(shè)總體 XN ( , 2)，原假設(shè) H0： = 0，若域為(t(n-1),+)，則備擇假設(shè) H1：；若域為（，t/2(n-1)）(t/2(n-1),+)，則備擇假設(shè) H1：。三、基本計算題 (共 60 分)1(10分) 設(shè)總體X 的概率密度為2e2( x )x x f (x; ) 0其中0為未知參數(shù)，從總體中抽取樣本X1, X2, , Xn，其觀察值為 x1, x2, , xn，(1) 求參數(shù) 的最大似然估計量 ； 是否具有無偏性；(2)(3) 若 不是 的一個無偏量估計 。的無偏估計量，修正它，并由此2(10 分) 一個人重復(fù)的向同一目標射擊，設(shè)他每次目標的概率為p，射擊直至命中目標為

3、止。此人進行了n(n1)輪這樣的射擊，各輪射擊的次數(shù)分別為 x1, x2, xn，試求的矩估計值和最大似然估計值。p 6x f (x, ) ，其中 為未知參數(shù),3(10 分)設(shè)總體 X 的概率密度函數(shù)為0, 其它 0, 設(shè) X1, X2, , Xn 是來自總體 X 的樣本。求 的矩估計量 ，計算 的方差 D() ，并 的無偏性。4(10 分) 設(shè)總體 X 在區(qū)間（0，）服從均勻分布(未知參數(shù) 0), X1, X2, Xn 是來自總體 X的簡單隨機樣本。記 X(n)max(X1, X2, Xn) .(1) 求 X(n)的分布函數(shù) F(n) (x)與密度函數(shù) f(n) (x)；(2) 若對檢驗問題

4、 H0： 2，H1： 0， 0。三1解 (1) 似然函數(shù)為n 2e2( x ), xn 其他niL( ) f (xi ;i1 ) i10當(dāng)x1, x2, , xn 時，L()0，取對數(shù)，得nln L( ) n ln 2 2 xi 2ni1L() 單調(diào)增加，因此 越大，L()越大。d ln L( ) 2n 0 ，所以因為d但 x1, x2, , xn，故取 的最大似然估計值為 min(于是 的最大似然估計量為 min(X1, X2 , ,Xn )(2) 設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，xn )1 e2( x )x x xF(x) f (t)dt 02n( z )z z z z 1 eFmin (z

5、) 1 (1 FX (z) n02ne2n( z )fmin (z) 01 ) zf (z)dz 2nze2n( z )dx 2n因為E(0所以 不是的無偏估計量。12n11(3) 取 ，則 E( ) E( ) E() ，于是即 是的無偏估計量。2n2n2.解：設(shè) X 為直到命中目標為止所進行的射擊次數(shù)，則 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布，即PX k (1 p)k1 p ， k 1, 2, 。11nni1X 為總體，p 未知，x1, x2, , xn 是來自總體的一組樣本值。由 E( X ) ， x x ，ip由矩估計法有 p 1 xn為 p 的矩估計值。n xii15/7nxi nnn似然函

6、數(shù) L( p) (1 p)xi 1 p (1 p) i1pn ，ln L( p) ( x n) ln(1 p) n ln pii1i1n xi nd ln L( p)dp nn i1 0 ，解得 p 令。p1 pni1xi 6x2 ( x)3解：因為 E( X ) 0dx , 所以 X ，矩估計量為 2 X 。22 3 6x3 ( x)3 2 24D( X ) 0D( ) 4D( X ) dx , 所以 D( X ) 。10202，因為 E( X 3n 2D( ) 。又 E( ) 2E( X ) ，所以是無偏的。5n0, x 0,1, x.nx i1x ,4解：（1） F(n) (x) Pma

7、xn nxn1,0 x ,密度函數(shù) f(x) n(n) 0, 其它. 1.5 n1 5 nxn10 n（2）若 H0： 2 成立，則 Pdx .H0| H0 為真P X(n) 1.5= 1.5 n所以 最大 0.75n.25解：在 0.05 下檢驗假設(shè) H0： =8，H1： 8，(n 1)S 2當(dāng) 未知時，用 檢驗法。當(dāng)=8 時, 統(tǒng)計量 (n 1) 。則域為22220 2 2 (n 1) 2 (9) 19.023 或 2 2 (n 1) 2 (9) 2.7./ 20 0251 / 20 975算得統(tǒng)計量 2 的值為 10.65 未落入差為 8N。6此題是對 2 的左邊檢驗問題。域，故接受 H

8、0 認為該日生產(chǎn)的鋼絲的的標準假 設(shè) H : 2 102， H : 2 102 。當(dāng) 10 , 檢 驗 統(tǒng)222計 量 為0106/7概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七、八章自測題及參考 2 (n 1)S 2(n 1) ，接受域為 2(n 1) 。由 n 10 ， 10 ，s8，22 22221020計算得 2 (10 1)82 5.76 3.325 0 95 (9) ，故接受 H0。2102X 四（1）在方差未知的條件下求的置信區(qū)間。因為 t(15) ， t0 025 2.132, 所以S /nP 4( X ) 2.132 0.95, 故的置信度為 0.95 的置信區(qū)間為( X 2.132 S ), 代入樣本S4觀察值與樣本標準差計算得（9.7868，10.2132）。（2）假設(shè) H0：=9.7，H1： 9.7。 當(dāng)原假設(shè) H0：=9.7 成立時， X N(9.7， 2)，選取檢