論文泰勒級數(shù)的收斂域及分析性質(zhì)

1、本科畢業(yè)論文題目：函數(shù)f Q)=( + xj 的泰勒級數(shù)的收斂域及分析性質(zhì)學(xué)院：數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院班級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2007級6班姓名：張彩霞指導(dǎo)教師： 何美 職稱： 副教授完成日期：2011年 5月18函數(shù)/ Q）=（十?dāng)啵┑奶├占墧?shù)的收斂域及分析性質(zhì)摘要：本文主要討論了二項式級數(shù)/Q）=G +Jx （a W 0,1,2，）的收斂區(qū)間端點的 斂散性，和它推廣后所得的形如/Q）=（十型J （用為正有理數(shù)且aw 0,1,2，）的泰 勒級數(shù)的收斂域及其函數(shù)/Q）=（十型J （用為正有理數(shù)且aw 0,1,2，）的泰勒級數(shù) 逐項微分、逐項積分后所得級數(shù)的收斂域.由于推廣后的函數(shù)/Q）=（十型J Q

2、m為正有理數(shù)且aw 0,1,2，）的泰勒級數(shù)的收斂半徑相同，所以本文重點旨在對收斂區(qū)間 端點的討論，進(jìn)而得到有規(guī)律的收斂域.這樣我們在以后遇到此類形式的函數(shù)的泰勒 級數(shù)時，便能根據(jù)具體的a,加，很快寫出其收斂域，而不需要再對其收斂區(qū)間端點的 斂散性進(jìn)行分析.關(guān)鍵詞：泰勒級數(shù)；逐項微分；逐項積分；收斂區(qū)間；收斂域.目錄 TOC o 1-5 h z 預(yù)備理論 1冪級數(shù)理論 1函數(shù)的冪級數(shù)展開理論 2超越幾何級數(shù)的收斂域 32函數(shù)f （x ）=（十x隙I （ m為正有理數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)收斂域.3函數(shù)f Q）=G + x1的泰勒級數(shù)及其收斂域3函數(shù)f （x ）=（十xm ） （ m為

3、正整數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)及其收斂域5函數(shù)f （x ）=（+xm （ m為正有理數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)及其收斂域63函數(shù)f （x ）=（十xm ） （m為正有理數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)的分析性質(zhì).8函數(shù)f （x ）=（十xm ） （ m為正有理數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)的可微性質(zhì)8 TOC o 1-5 h z 函數(shù)f （x ）=1 + x的泰勒級數(shù)的可微性質(zhì)8函數(shù)f （x ）=（+xm （ m為正整數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)的可微性質(zhì) 8函數(shù)f （x ）=（十xm ） （ m為正有理數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)的可微性質(zhì) 9函數(shù)f （x

4、）=（十xm） （ m為正有理數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)的可積性質(zhì)9函數(shù)f （x ）=G + x%的泰勒級數(shù)的可積性質(zhì)9函數(shù)f （x ）=（+xm） （ m為正整數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)的可積性質(zhì) 10函數(shù)f （x ）=（十xm ） （ m為正有理數(shù)且aw 0,1,2,）的泰勒級數(shù)的可積性質(zhì) 11參考文獻(xiàn) 13謝 辭 151 預(yù)備理論幕級數(shù)理論定義 1 口 形如 a （x - x ）n = a + a （x - x ） + a （x - x ）2 hb a （x 一 x ）n h的函數(shù)級數(shù)稱為冪級數(shù)：其中ao,aa2，,an,為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù).這是一類 最簡單的函數(shù)項

5、級數(shù)。”本文將著重討論= 0,即冪級數(shù) a xn = a + a x + a x2 hh a xn +（1）的情形.n=0以及冪級數(shù)G ）在收斂域內(nèi)逐項求導(dǎo)后得到的冪級數(shù) TOC o 1-5 h z na xn-1 = a + 2a x + 3a x2 hh na xn-1 h（2）n=1與冪級數(shù)G）在收斂域內(nèi)逐項積分后得到的冪級數(shù)寸 a.a 一,aa乙 n xn+1 = a x + 1 x2 + 2 x3 HH n xn+1 H(3)n +1 o 23n +1n=0定理11（阿貝爾定理）1）若冪級數(shù)G）在x = xo w 0收斂，則冪級數(shù)G）在V x: |x| |xj都發(fā)散.由此定理知道：冪

6、級數(shù)G）的收斂域時以原點為中心的區(qū)間.若以2R表示區(qū)間的長 度，則稱R為冪級數(shù)的收斂半徑，其實它就是使得冪級數(shù)G）收斂的那些收斂點的絕 對值的上確界.注：當(dāng)x = R時，幕級數(shù)G）可能收斂也可能發(fā)散.我們稱（-R,+R）為冪級數(shù)G）的收斂區(qū)間.定理2 1lim an+1 = lnf8 a n對于冪級數(shù)G），即 a x n(Llim an nn-8)n=0,nn則冪級數(shù)G）的收斂半徑-,0 l +8,j7八R = + 8, l = 0,0,l = +8.定理3口冪級數(shù)G）與冪級數(shù)（2）,（3）具有相同的收斂區(qū)間.注：雖然幕級數(shù)。、（2）、G）的收斂半徑相等，但是它的收斂域不一定相同.定理4M設(shè)冪

7、級數(shù)G）在收斂區(qū)間（-R,+R）上的和函數(shù)為f Q）,若x為（-R,+R）內(nèi) 任意一點，則（i）fQ）在x可導(dǎo)，且f,（x）=na xn-i ；nn=1（ii）f （x）在0與x這個區(qū)間上可積，且Jxf （tt = .an Xn+1 .0n=0 n + 1此定理說明冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積.1.2函數(shù)的幕級數(shù)展開理論若函數(shù)f （x ）在x = x 0處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時稱形式為(4)于(x0)+ 于(x 0)x - x0)+(x - x 0，+fn(x-x 0，+的級數(shù)為函數(shù)f Q）在x0的泰勒級數(shù).對于級數(shù)（4）能否在x0附近確切地表達(dá)f Q），或說f Q）在x0的泰勒級數(shù)

8、在x0附 近的和函數(shù)是否就是f Q），有如下定理5定理51設(shè)f Q）在點x0具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么f Q）在區(qū)間（x0 - r,x0 + r）內(nèi)等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充要條件是：對一切滿足不等式|x-x0| r的x，有l(wèi)im R （x）= 0nf8 n這里Rn Q）是f Q）在x 0的泰勒公式余項.如果f Q）能在x0的某領(lǐng)域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)f Q）在x0的這 一領(lǐng)域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù)，并稱等式于(x )=f (x0)+ f,(x 0)x - x0)+ f-(x-x 0、+f(x-x 0)+的右邊為f Q）在x = x 0處得泰勒展開式，或稱塞級數(shù)展開式.定理6 W (冪

9、級數(shù)展開式的惟一性)若函數(shù)f Q)在X0的某鄰域內(nèi)可展為冪級數(shù)f Q)=立an Q - x J ()n=0則其系數(shù)a =p0-(n = 0,1,2，)這里規(guī)定 0!= 1,f(。) = f (x 0)在實際應(yīng)用在中，主要討論函數(shù)在x 0 = 0處的展開式，這時(4 )式可寫成f(0)+ f G)x + 9 X2 + 逆 xn + 2!n!稱之為麥克勞林級數(shù).1.3超越幾何級數(shù)的收斂域?qū)τ诔綆缀渭墧?shù)回F Q P, Y, x )= 1 T a Cx +1)Cx + n 1) P , C|3 +1) 。+ n 1)n!y (y +1)一% + n1)n=1的斂散性情況如下表1：JI 1發(fā)散x =

10、1y -a P 0 y a P 00 y a P 1y a P a ( m為正有理數(shù)且a中0,1,2,)的泰勒級數(shù)收斂域函數(shù)f Q)= G+xh的泰勒級數(shù)及其收斂域當(dāng)a為正整數(shù)時，由二項式定理直接展開，就得到f Q)的展開式.(所以在下面的探討中都是假定a豐0,1,2,)因為 f (n)Q)= a (a 1)(a - n +1)( + xb-n, n = 1,2，從而有 f Q)(0)=a(a 1)Q n +1)n = 1,2, 于是，fQ)的麥克勞林級數(shù)是-a (a -1)a1 + ax +x 2 + + 2!a Q -1) Q - n +1)(a -1)Q - n +1)xn + 一,.n

11、!（5）n!Xn則運(yùn)用比式判別法，lim 憂 n+1 = lim可得級數(shù)（5）的收斂半徑R = 1.現(xiàn)在（-1,1）內(nèi)考察它的柯西余項G+ox K,0 o i.()a(a - 1)-.(a -n)n!運(yùn)用比式判別法級數(shù)次n=0a (a -1) Ca - n)xn+1n!當(dāng)|x| -1有1 + 0 x 1 -0，且0 1，從而有1 + 0 x再當(dāng)卜| 1 時，有 0 G + 0 x-1 G + |x I） 無關(guān)的有界量；當(dāng)a 1時，也有同樣結(jié)論.綜上所述，當(dāng)x 1時，lim R （x）= 0n8 n-1 1時，所以，在Q 1,1)上(1 + x 卜=1 + ax + a(a -1) x 2 +

12、a(a -1)Q-n +1) x +2!n! 00 a 1a 0a 0絕對收斂 發(fā)散二項式級數(shù)在X = 1處斂散性的證明見文獻(xiàn).所以，二項式級數(shù)(6)(1 + )a _ 1 + a a(a -1)2 + + a(a -1)(a - n +1) +2!n!的收斂域為:當(dāng)a -1時，收斂域為Q 1,1);當(dāng)-1 a 0時，收斂域為I-1,1.函數(shù)f Q)=l + xma ( m為正整數(shù)且a中0,1,2,)的泰勒級數(shù)及其收斂域由上面對f (x )=G + xb的泰勒級數(shù)討論，我們?nèi)菀椎玫? Xm )_ 1 + axm +應(yīng)且X2m + + 應(yīng)Xnm + .2!a Q -1) Q - n +1)Xmn

13、n!n!(7 )由比式判別法，ulim n+1 _ lima nXmn +1Xm可得(7)的收斂半徑R _ 1，此處我們重點放在對收斂區(qū)間端點的討論上.1 當(dāng)a-1 時，當(dāng) X _ 1 時，Xm _ 1當(dāng) X _ -1 時，Xm _ 1 或 Xm _ -1 .把Xm看做一個整體作為因變量，由表2知道，Xm _1在當(dāng)a-1時都發(fā)散， 所以，這時級數(shù)(7 )的收斂域為Q1,1).2當(dāng)-1 a0時，當(dāng)X = 1時，xm = 1.級數(shù)（7）收斂;當(dāng)X = -1時，Xm = 1或Xm =一1.級數(shù)（7）收斂;所以，這時級數(shù)（7）的收斂域為：L 1,11綜上所述，級數(shù)aQ -1) X 2 m + .+2!

14、a(a -1)Q - n +1)Xnm t .n!(7 )的收斂域為：當(dāng)a-1時，收斂域為（一 1,1）；廣（-1,1m為奇數(shù)當(dāng)-1 a 0時，收斂域為L 1,1.2.3函數(shù)f Q）= + Xmh （ m為正有理數(shù)且a手0,1,2,）的泰勒級數(shù)及其收斂域設(shè)m = , (p,q)= 1且q p. , p,q勻為正整數(shù). P由上面對f （x ）=G + x,的泰勒級數(shù)討論，我們?nèi)菀椎玫?a (a -1) 2.aQ-1)Q- n +1) n .=1 + Ox p +x p +x p + .2!n!(8)1。當(dāng)p為偶數(shù)時 由比式判別法，q只能為奇數(shù).（此時收斂域只能是由非負(fù)數(shù)組成的）.=lim得到，級

15、數(shù)（8）的收斂區(qū)間為bD下面將重點探討X = 1時的斂散性.當(dāng)X = 1時，xp = 1.由表2得當(dāng)a-1時，級數(shù)（8）收斂;所以，這時級數(shù)（8）的收斂域為：當(dāng)a-1時，收斂域為b,1.2。當(dāng)p為奇數(shù)時， 由比式判別法，ulim n+1 = lim得到，級數(shù)（8）的收斂區(qū)間為（-1,1）.下面將重點探討x = 1處的斂散性.當(dāng)q為奇數(shù)時，q當(dāng) x = 1 時，Xp = 1q當(dāng) x = -1 時，xp = -1.結(jié)合表2,易得到表3：x 1qx p = 1a 0-1 a 0a 0a 0絕對收斂 發(fā)散所以，級數(shù)（8）的收斂域為：當(dāng)a-1時，收斂域為（-1,1）；當(dāng)-1 a 0時，收斂域為L 1,1

16、1當(dāng)q為偶數(shù)時， q當(dāng) x 1 時，x p = 1結(jié)合表2,易得到表4：x = 1qx p = 1a 01 a 0a -1絕對收斂 條件收斂 發(fā)散x = -1所以，級數(shù)（8）的收斂域為：當(dāng)a-1時，收斂域為L 1,11；綜上所述級數(shù),qa（a -1）1 + ax p +2!2.qa Cx 1）Ca n + 1）xn-: + .（8）n!的收斂域為:當(dāng)p為偶數(shù)時，當(dāng)a-1時，收斂域為b,1l當(dāng)p為奇數(shù)時，當(dāng)q為奇數(shù)時，當(dāng)a -1時，收斂域為(-1,1)；當(dāng)-1 a 0時，收斂域為L 1,11當(dāng)q為偶數(shù)時，當(dāng)a -1時，收斂域為L 1,1；3函數(shù)f Q)=l + xm ) ( m為正有理數(shù)且a豐0

17、,1,2,)的泰勒級數(shù)的分析性質(zhì)函數(shù)f Q)=l + xm ) ( m為正有理數(shù)且a手0,1,2,)的泰勒級數(shù)的可微性質(zhì)函數(shù)f (x )=(1 + x，的泰勒級數(shù)的可微性質(zhì)由級數(shù)(6 )知)(a - 1)a -2)(a - 1)G -2). Q-n)f f(x )=a1 + va - 1)x +x2 + +xn + 2!n!G)=a G + x K1利用級數(shù)(6 )的收斂域的結(jié)論得到級數(shù)6)的收斂域為：當(dāng)a -1 -1即a 0時，收斂域為(-1,1);當(dāng)-1 a-1 0即0 a 0即a 1時，收斂域為L 1,1.函數(shù)f Q)=l + xm ) ( m為正整數(shù)且a手0,1,2,)的泰勒級數(shù)的可微

18、性質(zhì)由級數(shù)(7 )知f，Q)=a mxm-11 ( A(a-1)Q- 2)(a-1)Q- 2)(a - n)1 + a - 1 )x m +x2 m + +xnm + 2!n!=a mxm-1 1 + xm(10)又由級數(shù)(7 )的收斂域的結(jié)論得到級數(shù)(10)的收斂域為:當(dāng)a1 -1即a 0時，收斂域為(-1,1)；r (-1,1m為奇數(shù)當(dāng)1 a1 0即0 a 0即a 1時，收斂域為L 1,11L1,1m為偶數(shù)3.1.3函數(shù)f Q)=l + xm ) ( m為正有理數(shù)且a手0,1,2,)的泰勒級數(shù)的可微性質(zhì)設(shè)m = , (p,q)= 1且q p. , p,q勻為正整數(shù) Pf f(x)=a .

19、xP-1 P (.) (a 1)G, 2) 2.(a 1)G, 2)Q-n) n.1 + a - 1 )x p +x p + +x p + 2!n!.xqp-1pf、a-1. q1 + XpI J(11)由級數(shù)(8)的收斂域的結(jié)論得到級數(shù)G1)的收斂域為：當(dāng)p為偶數(shù)時，當(dāng)a 0時，收斂域為h1.當(dāng)p為奇數(shù)時，當(dāng)q為奇數(shù)時，當(dāng)a 0時，收斂域為Q 1,1)；當(dāng)0 a 1時，收斂域為L 1,1.當(dāng)q為偶數(shù)時，當(dāng)a 0時，收斂域為L 1,1；函數(shù)f Q)= + xm (m為正有理數(shù)且a手0,1,2,)的泰勒級數(shù)的可積性質(zhì)函數(shù)f (x )=(1 + x的泰勒級數(shù)的可積性質(zhì)由級數(shù)(6 )知當(dāng)a W 1時

20、，(a +1%Q +1% (a n + 2)1 + (a + 1)x +x2 + +xn + 2!n!(12 )（13）當(dāng)a = -1時，JX G +1 dt =x - - + + （-1）-1 2 + = lnG + x ）023n易知，級數(shù)。3）的收斂域為（-1,1血.利用級數(shù)（6 ）的收斂域的結(jié)論得到級數(shù)62）的收斂域為：當(dāng)a +1 -1即a -2時，收斂域為（-1,1）；當(dāng)-1 a +1 0 即-2 a 0即a-1時，收斂域為L 1,1.所以，函數(shù)卜G +1卜dt的泰勒級數(shù)的收斂域為： 0當(dāng)a -2時，收斂域為（-1,1）；當(dāng)-2 a-1時，收斂域為L 1,1.函數(shù)f Q）=l + x

21、m） （ m為正整數(shù)且a中0,1,2,）的泰勒級數(shù)的可積性質(zhì)n=1Xma(a -1) x2maQ-1)(a-n +1)+.+ . +m +12!2 m +1:a (a - 1)(a - n +1) Xnmn!n=1a Q -1)Q - n +1)mn +1n!n!Xnmmn +1Xnm*Hmn +1(14)5）容易知道，級數(shù)。4）與級數(shù)。5）有相同的收斂域.所以，下面討論級數(shù)。5）的收斂域.對于級數(shù)。5），令va Q -1), Q - n +1) nrn)Xnm，則由比式判別法，Vlim n+1 = limQ - n). (mn +1)(n +1)- (mn + m +1)Xm = Xm可得6

22、5）的收斂半徑R = 1，下面關(guān)鍵探討收斂區(qū)間端點的斂散性.容易知道，級數(shù)（15）是超越幾何級數(shù)的特殊情形，并且可從后者當(dāng)a=-a, P=y-1 = 1時，以-x代替x而 m得出，所以這時超越幾何級數(shù)中的y-a-P=a+1，再結(jié)合表1，級數(shù)5）在它的收斂區(qū)間的端點X = 1上的斂散性情況如表5：x = 1xm = 1a -12 a 1a -12 a 1a -1a -1絕對收斂 發(fā)散所以，級數(shù)Jxf（t%=x1 +0:a (x 1)(x + n -1)n=1n!Xnmmn +1(14)的收斂域為:當(dāng)a-2時，收斂域為（-1,1）；（-1,11m為奇數(shù)當(dāng)2 a -1時，收斂域為L 1,11m為偶數(shù)

23、3.2.3函數(shù)f Q）=l + xma （ m為正有理數(shù)且a中0,1,2,）的泰勒級數(shù)的可積性質(zhì)設(shè) m = ，(P, q)= 1 且q P. P，P，勻為正整數(shù)1,：a (a 1)Q+ n -1)x pn=1n!(16)在上面的討論中，我們知道當(dāng)m=q為有理數(shù)時，對應(yīng)于超越幾何級數(shù)中的Py-a-0=a+1與 m 無關(guān)，故10當(dāng)P為偶數(shù)時，q只能為奇數(shù). 由比式判別法，（此時收斂域只能是由非負(fù)數(shù)組成的）.(x- n )-vlim n+1 = lim(n +1)-得到，級數(shù)（16）的收斂區(qū)間為hi）.下面將重點探討X = 1時的斂散性.q當(dāng)X = 1時，XP = 1.由表5得當(dāng)a-2時，級數(shù)（16

24、）收斂;所以，這時級數(shù)（16）的收斂域為：當(dāng)a-2時，收斂域為b,112。當(dāng)p為奇數(shù)時，由比式判別法，vlim -1-n. -12 a 1a -1絕對收斂X - -1Xp - 1a -1發(fā)散所以，級數(shù)66）的收斂域為：當(dāng)a-2時，收斂域為（-1,1）；當(dāng)-2 a-1時，收斂域為L 1,11當(dāng)q為偶數(shù)時，4當(dāng) x = 1 時，x p = 1結(jié)合表5,易得到表7：x = 1qxp 一 1a -12 a 一1a -2絕對收斂 條件收斂 發(fā)散x = -1所以，級數(shù)（16 ）的收斂域為：當(dāng)a -2時，收斂域為L 1,1；綜上所述，級數(shù)JxfGM = x1+aQ-1）Q+n-：.上L（16）0n=1n!

25、n q +1Lp的收斂域為：當(dāng)p為偶數(shù)時， 當(dāng)a-2時，收斂域為b,1.當(dāng)p為奇數(shù)時，當(dāng)q為奇數(shù)時，當(dāng)a-2時，收斂域為（-1,1）；當(dāng)-2 a-1時，收斂域為L 1,1.當(dāng)q為偶數(shù)時，當(dāng)a-2時，收斂域為L 1,1；參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001： 4456.r-M-菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程（第二版第二卷）M.北京:高等教育出版社，2006：209300.3胡克.Adjacent coefficient of mean Vnivalent functionsJ.of Math, 1993, 13 （4）： 413418.4裘敬華.二項式級

26、數(shù)在土 1處的斂散性的又一種證法J.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報， 1999,11(1).5張鳴.超越幾何級數(shù)的斂散性再討論J.武當(dāng)學(xué)刊(自然科學(xué)版)，1995, 12(5).6劉俊先.級數(shù)(4-1)-Gi + 1)xn在x = 1斂散性的討論J.成都教育學(xué)院學(xué)報，2002,16 n!.n=17楊靜.二項式級數(shù)在收斂區(qū)間端點處的斂散性J.高等數(shù)學(xué)研究，2004,7:21228張迎秋.冪級數(shù)逐項求導(dǎo)、逐項積分后收斂域的討論J.安徽農(nóng)業(yè)技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2000,14 (2) :6667A. Yu. Semusheva. On the convergence domains of hypergeome

27、tric series in several variablesJ.Siberian Mathematical Journal.2005,10(4): 732739Subrata Chakraborty.On Some New a-Modified Binomial and Poisson Distributions and Their ApplicationsJ. Communications in Statistics - Theory and Methods2008,37(11):17551769Function of The Taylor Series Convergence And

28、AnalysisPropertiesAbstract: this paper mainly discusses the binomial series f (x)=G + x ( a 豐 0,1,2,)convergence interval endpoint convergence, and it after the promotion from shaped like f(x)=(1+xm)a (m for the rational number and a 牛 0,1,2,)is the convergence Taylor is its function f (x )= I + xm ) (m for the rational number and a 中 0,1,2，)differential, item by item, Taylor series of the series after item by item, integral income convergence. Because the function f(x)= (1 + xm)a (m for promoting the rational number and a 豐 0,1,2，)is the convergent ra