自動(dòng)控制原理講義-a1根軌跡概念與繪制上

1、根軌跡概念與根軌跡繪制（上）自動(dòng)控制原理第9講鄒斌上海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院地址：上海市延長路149號(hào)電子郵件: 電話： 問題的提出閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）決定了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性；閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）決定了控制系統(tǒng)的模態(tài)；確定了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能閉環(huán)極點(diǎn)決定了控制系統(tǒng)的基本特性！控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)不任意求得！根軌跡定義根軌跡：當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)變化時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根在s平面上的位置也隨之變化移動(dòng)，一個(gè)根形成一條軌跡。狹義根軌跡（通常情況）：變化參數(shù)為開環(huán)增益K，且其變化取值范圍為0到。廣義根軌跡:系統(tǒng)的任意一變化參數(shù)形成根軌跡。根軌跡的根是閉環(huán)特征根軌跡是閉環(huán)特征根隨著參數(shù)變化而變化的軌跡！根

2、軌跡的例子K0時(shí)兩個(gè)負(fù)實(shí)根K值增加相對(duì)靠近移動(dòng)離開負(fù)實(shí)軸，分別s=-1/2 直線向上和向下移動(dòng)。一對(duì)共軛復(fù)根根軌跡與系統(tǒng)性能從根軌跡看系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是否有虛根考察系統(tǒng)是否振蕩主導(dǎo)極點(diǎn)的b角觀察超調(diào)量，主導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸距離考察調(diào)節(jié)時(shí)間從根軌跡看系統(tǒng)的穩(wěn)定性根軌跡是否進(jìn)入s平面的右半平面？從根軌跡看系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)的型號(hào)？根軌跡方程根軌跡方程m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件1）幅值條件不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；2）必要條件幅角條件（k=0,1,2, ） 1）幅角條件只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)2）充要條件根軌跡方程就是閉環(huán)特征方程！凡是滿足幅角條件的點(diǎn)一定是根軌跡上的點(diǎn)！幅角條件（k

3、=0,1,2, ） p1p2S1S2幅值條件K2幅值條件成立！不是根軌跡上的一點(diǎn)根軌跡上的一點(diǎn) 必要條件： S平面上的某一點(diǎn)s是根軌跡上的點(diǎn)，則幅值條 件成立； S平面上的任一點(diǎn)s滿足幅值條件，該點(diǎn)卻不一 定是根軌跡上的點(diǎn)。幅值條件是必要條件開環(huán)極點(diǎn)（“”）p1=0開環(huán)零點(diǎn)（“”）!幅角均以反時(shí)針方向進(jìn)行。如果幅角條件成立，則s1即根軌跡上的一個(gè)點(diǎn)。 1開環(huán)零點(diǎn)至s1的幅角1、2、3、4：開環(huán)極點(diǎn)至s1的幅角。由幅值條件幅角條件繪制根軌跡，幅值條件定K值開環(huán)零極點(diǎn)與閉環(huán)零極點(diǎn)前向通道根軌跡增益反饋通道根軌跡增益前向通道增益開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益前向通道零點(diǎn)反饋通道零點(diǎn)前向通道極點(diǎn)反饋通道極點(diǎn)m個(gè)零

4、點(diǎn)(m=f + l )n個(gè)極點(diǎn)(n= q + h) m個(gè)零點(diǎn)(m=f + l )n個(gè)極點(diǎn)(n= q + h)開環(huán)零極點(diǎn)與閉環(huán)零極點(diǎn)3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益=開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)=前向通道的零點(diǎn)+反饋通道的極點(diǎn)；2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及根軌跡 增益均有關(guān)； ！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，不通過解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點(diǎn)。單位反饋系統(tǒng)（1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；（2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)就是開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。二、繪制根軌跡的基本規(guī)則一、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)二、根軌跡分支數(shù)三、根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性四、實(shí)軸上的根軌跡五、根軌跡的漸近

5、線六、根軌跡的分離點(diǎn) 七、根軌跡的起始角和終止角八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)幅值條件s值必須趨近于某個(gè)開環(huán)極點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)s值必須趨近于某個(gè)開環(huán)零點(diǎn)根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)n階系統(tǒng)，根軌跡有n個(gè)起始點(diǎn)，系統(tǒng)根軌跡有n個(gè)分支2）實(shí)際物理系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)一般多于開環(huán)零點(diǎn)， 即 n m。 m條終止于開環(huán)零點(diǎn)（有限值零點(diǎn))；（nm）條根軌跡分支終止于（nm）個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。1）系統(tǒng)特征方程的階次為n次特征方程有n個(gè)根 K變化(0到 ),n個(gè)根隨著變化n條根軌跡。幾階系統(tǒng)？幾條根軌跡？從哪里出發(fā)？終止于何處？根軌跡是連續(xù)曲線，且對(duì)稱于實(shí)軸。閉環(huán)

6、特征方程的根在開環(huán)零極點(diǎn)已定的情況下：各根分別是K的連續(xù)函數(shù)；特征方程的根為實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)根。僅需先畫出S平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡，下半部由鏡象求得。如果實(shí)軸上某一區(qū)段的右邊的實(shí)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實(shí)軸必是根軌跡。開環(huán)零點(diǎn)：z1開環(huán)極點(diǎn)：p1、p2、p3、p4、p5每對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)所提供的幅角之和為360；s1左邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為0。s1右邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為180； ？已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根軌跡。-1，-2 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=3。-4，-6 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=7。五、根軌跡的漸近線沿著漸近線趨于

7、無限遠(yuǎn)處，漸近線也對(duì)稱于實(shí)軸（包括與實(shí)軸重合）。漸近線與實(shí)軸的傾角（k=0，1，2，） ：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值：證明長除法K時(shí)，s，取前兩項(xiàng)改寫為模和相角的形式兩邊開（nm）次方牛頓二項(xiàng)式定理展開，由于s，忽略分母為s的二次冪和二次冪以上各項(xiàng)1）當(dāng)k值取不同值時(shí)，a 有（nm）個(gè)值，而a不變；2）根軌跡在s時(shí)的漸近線為（nm）條與實(shí)軸交點(diǎn)為a 、傾角a為的一組射線。說明已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0、-1、-5一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-4n-m=3-1=2漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：根軌跡的漸近線例一已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。四個(gè)開

8、環(huán)極點(diǎn)：0、-1+j、-1-j、-4一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-1n-m=4-1=3漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：根軌跡的漸近線例二六、根軌跡的分離點(diǎn) 分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：根軌跡在S平面某一點(diǎn)相遇后又立即分開。分離點(diǎn)必然是為D(s)某一數(shù)值時(shí)的重根點(diǎn)。1、b坐標(biāo)值由分式方程解出2、由 極值點(diǎn)求解b 坐標(biāo)值由 解出b 必要條件：當(dāng)解得多個(gè)s值時(shí)，其中k值為正實(shí)數(shù)時(shí)才有效。3、重根法求解b由 解出b b坐標(biāo)值由分式方程解出根軌跡在S平面上相遇并有重根，設(shè)重根為s1，根據(jù)代數(shù)中的重根條件，有 或兩式相除或即得解出s1，即為分離點(diǎn)b已知某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布，試概略畫出其根軌跡。規(guī)則1、2、3根軌

9、跡有三條分支，分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、2、3，終止于一個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)1和二個(gè)無限零點(diǎn)。根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則4實(shí)軸上0到1和2到3兩個(gè)區(qū)域段為根軌跡規(guī)則5根軌跡有兩條漸近線（nm2), 令k=0 規(guī)則6在實(shí)軸上有根軌跡分離點(diǎn)，且在區(qū)段2到3之間 由 極值點(diǎn)求解b 假定s點(diǎn)沿實(shí)軸自p2點(diǎn)移向p1點(diǎn),k增益：從零開始逐漸增大， 到達(dá)b點(diǎn)時(shí)為最大， 逐漸減小， 到p1點(diǎn)時(shí)k為零。根軌跡分離點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的k增益具有極值 ？！取在根軌跡上的解。-1，-2區(qū)間無根軌跡舍去由 極值點(diǎn)求解r重根 r1含兩邊求導(dǎo)b必要條件：!當(dāng)解得多個(gè)s值時(shí)，其中k值為正實(shí)數(shù)時(shí)才有效。分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）處的根軌跡的會(huì)合角（或分離角）會(huì)合（或分離）的根軌跡的條數(shù)分離點(diǎn)