高中物理選擇性必修36.3.1精讀二項(xiàng)式定理

1、6.3.1二項(xiàng)式定理激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(a+b)2=a2+2ab+b2,試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)(a+b)3,(a+b)4的展開(kāi)式.上述兩個(gè)等式的右側(cè)有何特點(diǎn)?你能用組合的觀點(diǎn)說(shuō)明(a+b)4是如何展開(kāi)的嗎?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、二項(xiàng)式定理 1.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.2.二項(xiàng)展開(kāi)式:等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式,二項(xiàng)展開(kāi)式共有n+1項(xiàng).3.二項(xiàng)式系數(shù):各項(xiàng)的系數(shù) (k=0,1,2,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析理解二項(xiàng)式定理的注意事項(xiàng)(1)二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn):二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng).二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù) (k=0,1,2,n),它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的

2、系數(shù)不一定相等.(2)二項(xiàng)式定理中的字母a,b是不能交換的,即(a+b)n與(b+a)n的展開(kāi)式是有區(qū)別的,二者的展開(kāi)式中的項(xiàng)的排列順序是不同的,不能混淆.(3)二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式,對(duì)于任意的a,b,該等式都成立.(4)二項(xiàng)式定理中a和b中間用加號(hào)連接,若出現(xiàn)減號(hào),“-”歸屬后邊的字母或數(shù),仍可用二項(xiàng)式定理展開(kāi).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考二項(xiàng)式定理中,項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別?提示:二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念.二項(xiàng)式系數(shù)是指 ,它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與a,b的值無(wú)關(guān),而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥

3、微練習(xí)化簡(jiǎn)(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得()A.x4B.(x-1)4C.(x+1)4D.x5解析:原式=(x-1+1)4=x4.答案:A激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng) 名師點(diǎn)析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)形式上的特點(diǎn) (2)字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同.(3)a與b的次數(shù)之和為n.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考二項(xiàng)式(a+b)n與(b+a)n的展開(kāi)式的第 k+1項(xiàng)相同嗎?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)(x+2)8的展開(kāi)式中的第6項(xiàng)為.A.8B.9C.10D.11 答案:(1)1 792x3(2)B 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)二項(xiàng)式定理的正用、逆用 探究一探究二探究三

4、素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:44 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 1.(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1化簡(jiǎn):(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)

5、利用二項(xiàng)式定理求待定項(xiàng)及系數(shù) (1)求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).思路分析:先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),求出當(dāng)x的次數(shù)為0時(shí)n的值,再求解第(2)問(wèn)、第(3)問(wèn).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)的常見(jiàn)題型及解法(1)求含xk的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng)),在通項(xiàng)中令字母的指數(shù)為給定的值;(2)求常數(shù)項(xiàng),在通項(xiàng)中令字母的指數(shù)為0;(3)求有理項(xiàng),在通項(xiàng)中令字母的指數(shù)為整數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用二項(xiàng)式定理解決整除和余數(shù)問(wèn)題例3

6、試判斷7777-1能否被19整除.思路分析:由于76是19的倍數(shù),因此可將7777轉(zhuǎn)化為(76+1)77,并用二項(xiàng)式定理展開(kāi).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 用二項(xiàng)式定理解決an+b整除(或余數(shù))問(wèn)題時(shí),一般需要將底數(shù)a寫(xiě)成除數(shù)m的整數(shù)倍加上或減去r(1rm)的形式,利用二項(xiàng)展開(kāi)式求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3(1)設(shè)aZ,且0a13,若512 015+a能被13整除,則a等于()A.0B.1C.11D.12(2)230-3除以7所得的余數(shù)為.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:(1)B(2)5 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)轉(zhuǎn)化思想在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用

7、典例求(1+2x-3x2)5展開(kāi)式中x5的系數(shù).審題視點(diǎn) 由于三項(xiàng)式的展開(kāi)式無(wú)現(xiàn)成公式,因此應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開(kāi)式,然后再求x5的系數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(方法一)(1+2x-3x2)5=1+(2x-3x2)5=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5=1+5x(2-3x)+10 x2(2-3x)2+10 x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,x5的系數(shù)為上式各項(xiàng)中含x5的項(xiàng)的系數(shù)和,即(方法二)(1+2x-3x2)5=(1-x)5(1+3x)5=(1-5x+10 x2-10

8、 x3+5x4-x5)(1+15x+90 x2+270 x3+405x4+243x5),展開(kāi)式中x5的系數(shù)為243-5405+27010-1090+515-1=92.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛 轉(zhuǎn)化思想在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.在與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問(wèn)題中,主要表現(xiàn)為將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)求解;若干個(gè)二項(xiàng)式積的某項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法分配律問(wèn)題.在高考題中,常出現(xiàn)三項(xiàng)式展開(kāi)或兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)問(wèn)題,所用方法一般是根據(jù)式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)來(lái)解決問(wèn)題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(1)第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及第5項(xiàng)的系數(shù);(2)倒數(shù)第3項(xiàng).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.(a+b)2n的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是()A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)解析:易知二項(xiàng)式(a+b)2n的展開(kāi)式中有2n+1項(xiàng),故展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為2n+1.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂