運(yùn)用幾何畫板輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐及案例

1、-. z.運(yùn)用幾何畫板輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐及案例摘要：當(dāng)我們從數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用幾何畫板這種工具，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這種教與學(xué)的方式，去影響學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知構(gòu)造的意義建構(gòu)，幫助學(xué)生本質(zhì)地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新能力時(shí)，我們就把握住了數(shù)學(xué)教育的時(shí)代性和科學(xué)性。關(guān)鍵詞：素質(zhì)教育 新課程改革 信息技術(shù)與課程的整合 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室一、運(yùn)用幾何畫板輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐及案例1有效創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣 幾何畫板能簡單、準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)地表達(dá)幾何圖形和現(xiàn)象，這就為學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、觀察思維提供了一個(gè)良好的場所和環(huán)境。在課堂中數(shù)學(xué)教師可以展示一些與學(xué)習(xí)容關(guān)系非常密切的實(shí)例，使學(xué)生觀

2、其形，聞其音，豐富學(xué)生的感觀，使學(xué)生自然地深入教師精心設(shè)計(jì)的情景中，不知不覺地思索著，學(xué)習(xí)著。如用幾何畫板制作一輛公路上運(yùn)動(dòng)的自行車，并請學(xué)生思考圖中包含了哪些圖形，在學(xué)生思考的過程中，雙擊動(dòng)畫按鈕，使屏幕上的自行車往返運(yùn)動(dòng)。還可利用軌跡跟蹤點(diǎn)的功能演示出自行車行進(jìn)時(shí)車輪上一點(diǎn)、腳蹬上一點(diǎn)或車把上一點(diǎn)形成的軌跡，來說明點(diǎn)動(dòng)成線的事實(shí)。這輛平常的自行車在數(shù)學(xué)課上出現(xiàn)，給剛步入幾何大門的孩子們帶來了歡笑和幾分神奇。就在這愉悅的氣氛中，他們邁進(jìn)了平面幾何的門檻，點(diǎn)、直線、線段、圓等幾何圖形已從他們最熟悉的現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來了。而這種抽象是他們用眼觀察，同時(shí)是自己親身感受到的，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)幾何的動(dòng)機(jī)

3、，點(diǎn)燃了他們學(xué)習(xí)的熱情。 2利用幾何畫板輔助教師講授根底知識(shí)，幫助學(xué)生理解根本概念，幫助概念解析 概念是一事物區(qū)別于它事物的本質(zhì)屬性，概念來源于生活。在教學(xué)中講授或?qū)W習(xí)概念常常需要借助圖形進(jìn)展直觀性表述。幾何中的概念，如中點(diǎn)，如果離開了具體的圖形的幫助，則其本質(zhì)含義就無法提醒和表現(xiàn)出來，因而，圖形成為說明概念的形態(tài)式語言。平面幾何教學(xué)難，難在于學(xué)生不能把概念轉(zhuǎn)換為圖形語言，從圖形中理解抽象的概念，學(xué)習(xí)也就望而卻步。為此，在幾何教學(xué)中，要善于利用幾何畫板強(qiáng)大的圖形功能，使概念有具體直接的形象。例如用幾何畫板教學(xué)三線八角時(shí)，可以先讓學(xué)生觀察課件中八個(gè)角之間的位置關(guān)系，在學(xué)生觀察思考的過程中，雙擊同

4、位角按鈕，幾何畫板能把圖中的四組同位角從圖中自動(dòng)地拉出，單擊鼠標(biāo)，顯示在屏幕上的四組同位角又分別返回原圖中去；錯(cuò)角、同旁角類似，起到了快速、直觀的效果。更重要的是還可以拖動(dòng)其中任何一條直線使圖形發(fā)生變化，來說明這些角的位置關(guān)系并未發(fā)生變化，從而使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)其質(zhì)的規(guī)定性，深化了對(duì)概念的理解，提高了課堂教學(xué)的效率。 例如反比例函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，學(xué)生不好把握，什么叫與坐標(biāo)軸無限接近，但永不相交？為了幫助學(xué)生理解雙曲線的特點(diǎn)，可以利用幾何畫板來形象地展示這一特點(diǎn)。如要作y= 圖像，需要首先建立坐標(biāo)系，在*軸上取點(diǎn)a，度量該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用度量菜單中的計(jì)算功能計(jì)算出 ，度量菜單下的繪制點(diǎn)繪出點(diǎn)b

5、*, y，最后依次選中點(diǎn)a、b，選擇構(gòu)造菜單中的軌跡，完成雙曲線的繪制。然后演示拖動(dòng)圖中的點(diǎn)a向右運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和數(shù)據(jù)的變化，問：當(dāng)*值越來越大，y是如何變化的？學(xué)生會(huì)看到隨著點(diǎn)a向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)a與*軸的距離越來越小。教師趁機(jī)再問：圖像上的點(diǎn)會(huì)與兩軸相交嗎？再仔細(xì)觀察雙曲線與坐標(biāo)軸的關(guān)系，猜測的結(jié)果是不會(huì)相交，教師再引導(dǎo)分析，找出真正的原因在于*和y不能為0。通過這樣的演示，學(xué)生對(duì)雙曲線的特點(diǎn)有了更加直觀的感受和深刻的印象，同時(shí)更進(jìn)一步幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)了函數(shù)和圖像的關(guān)系。最后師生共同總結(jié)雙曲線特點(diǎn)：無限接近坐標(biāo)軸，但永不相 交。 通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生在變化的點(diǎn)、變化的橫縱坐標(biāo)中去尋

6、找規(guī)律，去理解自變量和函數(shù)值這兩個(gè)變量之間的關(guān)系，突破了傳統(tǒng)教學(xué)無法展示點(diǎn)的變化，從而一切只能靠想象，而初一的學(xué)生抽象思維能力又比擬弱的現(xiàn)實(shí)。通過幾何畫板的演示，將抽象的思維過程形象地展示出來，學(xué)生很容易承受。 3演示過程，化抽象為形象 教師要在教學(xué)過程中結(jié)合課件的使用，將有潛在意義的學(xué)習(xí)容同學(xué)生已有認(rèn)知構(gòu)造聯(lián)系起來，融會(huì)貫穿，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中，積極主動(dòng)地從原有的知識(shí)構(gòu)造中提取出最易于與新知識(shí)聯(lián)系的舊知識(shí)，這樣，新舊知識(shí)在學(xué)生的頭腦中會(huì)發(fā)生積極的相互聯(lián)系和作用，即同化，導(dǎo)致原有認(rèn)知構(gòu)造的不斷分化和重新組織，使學(xué)生獲得新知識(shí)。 例如在講解圓柱的側(cè)面展開圖這局部容時(shí)，在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，比

7、擬典型的處理教材方法是：教師直接講解圓柱是怎樣形成的，再在黑板上用粉筆畫出根本的演示圖形，這種教學(xué)無視了數(shù)學(xué)圖形概念的形成過程，淡化了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)圖形概念的理解。因此，在這學(xué)期學(xué)習(xí)這局部知識(shí)時(shí)，我特地應(yīng)用下面的課件： 雙擊動(dòng)畫按鈕就可以清楚、簡捷地將圓柱的形成和側(cè)面展開圖的軌跡動(dòng)態(tài)展示出來，并用色彩進(jìn)展軌跡和圖形優(yōu)化，通過演示讓學(xué)生清楚地看見圓柱的形成和側(cè)面展開過程，對(duì)學(xué)生理解圓柱的形成和側(cè)面展開圖的特征帶來了極幫助，學(xué)生不僅結(jié)實(shí)掌握了書本上本節(jié)的容，而且在問題的解決過程中涉及了多個(gè)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)：矩形的面積、圓的面積、圓的周長等，這些容也得到了復(fù)習(xí)、應(yīng)用和穩(wěn)固，起到了以點(diǎn)帶面

8、的作用，對(duì)知識(shí)體系的脈絡(luò)把握更加準(zhǔn)確，既學(xué)習(xí)并掌握了新知識(shí)，又復(fù)習(xí)、應(yīng)用、穩(wěn)固了與之相關(guān)的舊知識(shí)，同時(shí)還活潑、拓展了學(xué)生的思維，在教學(xué)過程中表達(dá)了學(xué)生的主體作用，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)真正交給了學(xué)生。4利用幾何畫板給學(xué)生提供猜測和探索的技術(shù)環(huán)境 猜測是在沒有現(xiàn)存結(jié)論情況下根據(jù)問題的條件推斷可能存在的結(jié)果的一種直覺思維形式。利用幾何畫板可以為學(xué)生探究性地建構(gòu)知識(shí)體系提供環(huán)境，為學(xué)生進(jìn)展猜測提供技術(shù)平臺(tái)，從而讓學(xué)生在探索中學(xué)習(xí)，在探究中自主地建構(gòu)知識(shí)，提出猜測的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新。如要解決線段垂直平分線上的點(diǎn)有些什么特性？這個(gè)問題。教師可以讓學(xué)生根據(jù)問題作出圖形來進(jìn)展探索，提出猜測。如：先作一條線段ab，再作

9、ab的中點(diǎn)c，過中點(diǎn)c作ab的垂直平分線de。假設(shè)學(xué)生在de上取一點(diǎn)p，測量pa、pb的值，拖動(dòng)點(diǎn)p，觀察線段pa、pb測量值的變化，那學(xué)生肯定會(huì)猜測出papb這樣的結(jié)論。在此根底上，教師再強(qiáng)調(diào)任何結(jié)論都必須經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證方可確信其正確性，自然地把教學(xué)引導(dǎo)向使用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述結(jié)論，并對(duì)結(jié)論加以證明的方向上。 5利用幾何畫板的繪圖功能解決一些教學(xué)棘手問題 解決立體圖形的展開圖問題 初中涉及的初步的立體幾何知識(shí)，教學(xué)時(shí)令我們教師頭疼，巧妙利用幾何畫板可以形象的展現(xiàn)幾何體的構(gòu)成，也能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)展示從立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化，還可以讓學(xué)生從不同角度觀察幾何體的形狀

10、，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)到利用平面幾何知識(shí)可以解決立體圖形的計(jì)算，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，開展了學(xué)生的空間觀念，能夠有趣味性技巧性和知識(shí)性與一體，更能激發(fā)學(xué)生的求知欲和興趣。如下列圖，利用幾何畫板的3d功能完美展現(xiàn)正方體的展開。 當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)d時(shí)就可以展現(xiàn)正方體展開的動(dòng)畫在講到圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)我設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)圖形的動(dòng)畫，點(diǎn)擊旋轉(zhuǎn)按鈕在幾何畫板里整個(gè)圖案都會(huì)隨之旋轉(zhuǎn)。幾何畫板可以有效地幫助我們解決折疊問題。 當(dāng)點(diǎn)擊演示折疊按鈕時(shí)，會(huì)顯示折疊的動(dòng)畫，學(xué)生在觀察動(dòng)畫的過程中和容易找到相等的線段、相等的角從而找到解題的思路和方法，這樣會(huì)大大降低這樣的題的難度。 用幾何畫板的繪圖功能畫圖找規(guī)律 由于幾何畫板具有極高的自

11、由度和易操作性，便于學(xué)生在直觀、動(dòng)態(tài)的情景中快速觀察、了解圖形的聯(lián)系和變化，這樣勢必大大節(jié)約了傳統(tǒng)教學(xué)方式的煩瑣與笨拙所消耗的時(shí)間，真正實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的減負(fù)訴求。 實(shí)驗(yàn)1：讓學(xué)生用幾何畫板軟件畫一個(gè)任意三角形，再畫出它的三條中線，問：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？然后隨意改變所畫三角形的形狀，看看這個(gè)規(guī)律是否改變，三角形的三條高有這個(gè)規(guī)律嗎？三條角平分線呢？ 實(shí)驗(yàn)2： 用幾何畫板軟件畫任意一個(gè)三角形，量出它的各角并計(jì)算它們的和。然后隨意改變所畫三角形的形狀，再量出變化后的各角，計(jì)算角和。由此，你能得出什么結(jié)論？ 對(duì)于四邊形的角和定理、鄰補(bǔ)角的關(guān)系、對(duì)頂角的關(guān)系、垂線段的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，可類比以上方法進(jìn)

12、展驗(yàn)證。 利用幾何畫板有效探索幾何圖形三種變換的性質(zhì) 初中階段主要學(xué)習(xí)三種全等變換：平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，一種相似變換：位似。這是新課改加強(qiáng)的局部，幫助學(xué)生從動(dòng)態(tài)變換的角度去理解平面幾何。而幾何圖形的變換教學(xué)是利用傳統(tǒng)教學(xué)方式比擬薄弱的地方。好多學(xué)生由于在實(shí)際生活中對(duì)空間與圖形的動(dòng)手操作的時(shí)機(jī)比擬少，因此在學(xué)習(xí)這一階段的容缺少感性的認(rèn)識(shí)，所以學(xué)起來很吃力。我們可以充分地利用幾何畫板為學(xué)生大量地展示幾何圖形的三種變換、空間圖形的觀察與抽象的例子，不斷地提升學(xué)生空間與圖形的能力，從而真正地實(shí)現(xiàn)能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)展思考。 如圖，利用但用幾何畫板就輕易實(shí)現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱。又

13、如，在講解三角形全等的條件時(shí)，設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題去理解全等變換： 如圖，ab=de，請畫出與abc全等的def。 同學(xué)通過反復(fù)嘗試、互相補(bǔ)充畫出了四個(gè)三角形與abc全等，如圖。 師：大家通過嘗試得到了這四個(gè)三角形，則現(xiàn)在我們來考慮一下它們是不是有章可循的呢？圖中的綠色三角形是如何得到的？ 1連接ad，在線段ad上取點(diǎn)m，依次選中點(diǎn)a、m，選擇變換菜單下的標(biāo)記向量，然后選中abc，選擇變換下的平移，按標(biāo)記的向量平移。師拖動(dòng)點(diǎn)m，三角形開場平移，引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形動(dòng)態(tài)的平移過程。生：圖中的綠色三角形是通過平移得到的。師：圖中的紅色三角形是如何得到的呢？生：將圖中的綠色三角形翻折得到的。2雙擊de，選

14、中圖中的綠色三角形，選變換下的反射，作出紅色三角形。 師：圖中的粉紅色三角形是如何得到的呢？3選中de的中點(diǎn)，雙擊它，選擇紅色三角形，按標(biāo)記的角度旋轉(zhuǎn)180。 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形旋轉(zhuǎn)的過程， 生：粉紅色三角形是由紅色三角形繞de中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180得到的。 師：黑色三角形是如何得到的呢？ 生：由粉色三角形翻折得到的。 通過幾何畫板動(dòng)態(tài)的演示平移、旋轉(zhuǎn)的過程，形象生動(dòng)的反映了各種變換，加深了學(xué)生對(duì)全等變換的理解，同時(shí)也提示學(xué)生學(xué)會(huì)用全等變換的眼光去認(rèn)識(shí)和對(duì)待圖形。8利用幾何畫板繪制函數(shù)圖像并動(dòng)態(tài)演示函數(shù)的性質(zhì)幾何畫板為實(shí)現(xiàn)函數(shù)圖像、圖形的動(dòng)態(tài)變化的信息化、全方位提醒問題的實(shí)質(zhì)提供了可能。在初中數(shù)學(xué)

15、教學(xué)容里，函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。這局部容理論性強(qiáng)，比擬抽象，難度較大。但是利用幾何畫板，一切都變得簡單容易。 如探索二次函數(shù)的性質(zhì)一課，在以前的教學(xué)中，對(duì)于二次函數(shù)這局部知識(shí)的講解，我通常是這樣處理：要求學(xué)生先取5個(gè)以上的點(diǎn)在練習(xí)本上畫出圖象，一個(gè)同學(xué)在黑板上進(jìn)展同樣操作，然后再研究二次函數(shù)的性質(zhì)。由于畫好一個(gè)圖象所需時(shí)間較長，先完成的學(xué)生往往無所事事，并且這種方法只是研究了*幾個(gè)特殊函數(shù)的性質(zhì)，缺乏普遍性，由于缺少圖形產(chǎn)生的過程，對(duì)學(xué)生理解圖形、分析圖形和解決問題都會(huì)帶來理解障礙，既浪費(fèi)時(shí)間，效果也不太理想，還無法吸引學(xué)生的注意力。 在新教材教學(xué)中，我對(duì)于此處的知識(shí)作了局部調(diào)整，把信息技

16、術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)有效整合，將信息技術(shù)融入教學(xué)中，在課堂中作了如下的課件： 通過改變a、b、c的值就可以得到相應(yīng)二次函數(shù)的圖象，在課堂上可以生動(dòng)地演示拋物線的形成過程，把二次函數(shù)的一般規(guī)律形象地展現(xiàn)出來，并且通過幾何畫板的度量功能在畫面上顯示a、b、c、*、y的度量結(jié)果，不難得出a、b、c值的改變與拋物線的變化關(guān)系。學(xué)生既可以看到平滑優(yōu)美的圖象產(chǎn)生過程，也可以利用幾何畫板的度量功能和計(jì)算功能在畫面上進(jìn)展猜測、歸納，這種具有建構(gòu)意義的動(dòng)態(tài)生成過程，極提高了學(xué)習(xí)效率。 所以，利用幾何畫板在剖析問題的實(shí)質(zhì)時(shí)，可以使學(xué)生清楚了解要解決問題的關(guān)鍵所在，與傳統(tǒng)教學(xué)相比擬，它能形象直觀的反映問題，更進(jìn)一步地引導(dǎo)學(xué)

17、生進(jìn)展數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)和探究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜測、小心求證的開拓精神和科學(xué)態(tài)度，在教學(xué)過程中表達(dá)了學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的思想，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)真正交給了學(xué)生，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生真正意義的建構(gòu)。 9利用幾何畫板的度量和計(jì)算功能驗(yàn)證定理及重要結(jié)論 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們會(huì)遇到一些結(jié)論性的問題，我們往往要通過作出很多的圖形進(jìn)展繁雜的度量和運(yùn)算，但是幾何畫板要實(shí)現(xiàn)這個(gè)效果就很簡單。 數(shù)形結(jié)合，驗(yàn)證勾股定理 1任意作rtabc，分別從三條邊出發(fā)向外作正方形。 2通過度量得出每個(gè)正方形的面積，計(jì)算正方形acfg與正方形bchi的面積之和，并與正

18、方形abde的面積進(jìn)展比擬。 3得出結(jié)論ac2+bc2=ab2。 4拖動(dòng)任意一點(diǎn)，改變圖形大小，觀察能否得出上述結(jié)論。驗(yàn)證圓周角定理 在圓當(dāng)中，很多定理都可以用幾何畫板的數(shù)形結(jié)合能力去驗(yàn)證，以驗(yàn)證圓周角定理為例： 如上圖，弧ac的大小不變時(shí)，讓一個(gè)學(xué)生拖動(dòng)b點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)觀察利用度量功能所測得的數(shù)字，學(xué)生們自然會(huì)得出同弧所對(duì)的圓周角相等的結(jié)論。 幾何畫板在反比例函數(shù)中的應(yīng)用與以上兩個(gè)類似，這里只介紹一個(gè)k的幾何意義的問題：在反比例函數(shù)圖像上任取一點(diǎn)p，分別向*、y軸作垂線，圍成四邊形的面積是|k|。 當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)p時(shí)四邊形的面積始終保持不變，當(dāng)改變k的值時(shí)四邊形的面積也在發(fā)生變化，但始終等于

19、|k|。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如果我們教師只是一味的去講，非常枯燥乏味學(xué)生不愿意聽，效果不會(huì)很理想，用這個(gè)軟件形象生動(dòng)，學(xué)生興致很高，學(xué)得當(dāng)然很好。另外在講反比例函數(shù)的對(duì)稱性時(shí)，我設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫，學(xué)生看了之后很容易就理解了反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱性。還有如與的對(duì)稱性也可以通過動(dòng)畫演示，學(xué)生很容易理解。 10利用幾何畫板解決動(dòng)點(diǎn)問題 在中考當(dāng)中我們經(jīng)常會(huì)遇到一些動(dòng)點(diǎn)問題，這些題是學(xué)生感覺是非常難的。如果我們用幾何畫板去模擬演示這些題目學(xué)生就會(huì)明白題意從而解題思路會(huì)豁然開朗。因?yàn)閹缀萎嫲逯械膭?dòng)畫功能可以生動(dòng)、連續(xù)地表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)效果，形象地描畫出運(yùn)動(dòng)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)軌跡，而且軌跡的生成是動(dòng)態(tài)的、逐步的，充分表現(xiàn)出軌

20、跡產(chǎn)生的全過程，學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，這就為學(xué)生積極主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系提供了學(xué)習(xí)的平臺(tái)。 問題：直線ab經(jīng)過o的圓心，且與o相交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)c在o上，且aoc=300，點(diǎn)p是直線ab上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)o不重合，直線pc與o相交于點(diǎn)q，是否存在點(diǎn)p，使得qp=qo，如果存在，則這樣的點(diǎn)p共有幾個(gè)？并相應(yīng)求出ocp的大小；如果不存在，說明理由。 問題中的點(diǎn)p是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，在解題過程中學(xué)生對(duì)這類點(diǎn)的處理往往束手無策，利用幾何畫板讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，移動(dòng)p點(diǎn)，觀察圖形的變化，問題便迎刃而解。11為學(xué)生驗(yàn)證問題搭建技術(shù)平臺(tái)，使幾何畫板成為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，讓學(xué)生自主開展研究數(shù)學(xué)的活動(dòng) 如概率中的拋硬幣實(shí)驗(yàn)，也可以用幾何畫板的迭代功能和符號(hào)函數(shù)sgn進(jìn)展模擬實(shí)驗(yàn)。如下圖，是一個(gè)5角的硬幣，為了讓學(xué)生看得清數(shù)字與圖案這兩面，在硬幣荷花圖案這一面的右邊加上了一條黑線，規(guī)定數(shù)字這一面為正面，圖案這一面為反面，單擊投擲按鈕進(jìn)展實(shí)驗(yàn)，單擊歸零按鈕則去除實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。開場幾次可以速度慢些，然后可以右鍵單擊圖片或投擲按鈕加快速度。通過本虛擬實(shí)驗(yàn)，可以進(jìn)一步加深對(duì)概率這一概念的理解。 在初三總復(fù)習(xí)階段有這樣一道題：如圖，abc 和a1b1c1均為等邊三角形，點(diǎn)o即是ac的中點(diǎn)，又是a1c1的中點(diǎn)，求bb1：aa1的值。 在教師的引