兩個(gè)計(jì)數(shù)原理公開課解讀

1、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理公開課解讀兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 莆田第二中學(xué)高二1班甲思考1:從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？乙火 車 2火 車 1火 車 3汽 車 1汽 車 23+2=5種分類加法計(jì)數(shù)原理.在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況如下:A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?練習(xí) ：在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,A,B,C三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),具體情況

2、如下:A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?C大學(xué)機(jī)械制造建筑學(xué)廣告學(xué)漢語言文學(xué)韓語N=5+4+5=14(種)推廣：思考2：從甲地到丙地，有3條道路，從丙地到乙地有2條道路，那么從甲地經(jīng)丙地到乙地共有多少種不同的走法 ？甲地丙地乙地思考3：你能類比分類加法計(jì)數(shù)原理，概括出第二種計(jì)數(shù)原理嗎？分步乘法計(jì)數(shù)原理思考4：類比分類加法原理的推廣，分步乘法原理能推廣嗎？ 分步加法計(jì)數(shù)原理和分類乘法計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)： 計(jì)算做一件事情完成它的所有不同方法種數(shù)的問題。思考5:你能說說分類加法原理與分步乘法原理兩個(gè)原理的異同點(diǎn)？完成一件事

3、，共有n類方案，關(guān)鍵詞“分類區(qū)別1完成一件事，共分n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞 “分步區(qū)別2區(qū)別3每類方案的任何一個(gè)方法都能獨(dú)立地完成這件事情任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事相加相乘例1：書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，1從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？解：（1）從書架上任取一本書，有三類方法：第1類辦法是：從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類辦法是：從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法是：從第3層取1本體育書，有2種方法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：答：從書架上任取1本書，有9

4、種不同的取法.例1 書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，2從書架的第1，2，3層各取1本書，有多少種不同的取法？解：（2）從書架的1、2、3層各取1本書，可以分3步來完成：第1步：從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步：從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步：從第3層取1本體育書，有2種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從書架的1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是：答：從書架的1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法。例1 書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，3從書架上任取兩本

5、不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？解：從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有三類方法：第一類方法：取計(jì)算機(jī)書和文藝書 該方法分兩步完成，共4*3=12種方法第二類方法：取計(jì)算機(jī)書和體育書 該方法分兩步完成，共4*2=8種方法第三類方法：取文藝書和體育書 該方法分兩步完成，共3*2=6種方法所以共有12+8+6=26種方法。例2 ：甲、乙、丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3，5，2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選兩名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì)，共有多少種不同的推選方法？ 例3：如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用屢次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多

6、少種？ 解: 按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 種, 第二步, m2 = 2 種, 第三步, m3 = 1 種, 第四步, m4 = 1 種,所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 2 11 = 6 種。 例3：如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用屢次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 假設(shè)用4色，結(jié)果又怎樣呢？ 答:涂色方案種數(shù)是 4322 = 48思考：變式1:用5種不同的顏色給圖中的4個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，假設(shè)要求相鄰有公共邊的區(qū)域不同色，那么共有多少種

7、不同的涂色方法？解析： 第一類：1號區(qū)域與3號區(qū)域同色時(shí)，有541480(種)涂法；第二類：1號區(qū)域與3號區(qū)域異色時(shí)，有5433180(種)涂法.依據(jù)分 類計(jì)數(shù)原理知不同的涂色方法有80180260(種)不同的涂色方法.變式2（2008重慶）某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、 、 、 上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有種.（用數(shù)字作答）解析： 處4種， 處3種， 處2種，則底面共432=24（種）.根據(jù)A點(diǎn)和 點(diǎn)兩處燈泡的顏色相同或不相同分為兩類:(1)A, 顏色相同，則B處有3種，C處有1種，

8、則共有31=3種;(2)A, 顏色不同，則A處有2種,B處和C處共有3種，則共有32=6（種）.由分類計(jì)數(shù)原理得上底面共9種，再由分步計(jì)數(shù)原理得共有249=216（種）.例4：小明寫了三封不同的信，到郵局去寄時(shí)，發(fā)現(xiàn)有并排四只不同的郵筒，那么他不同的投信方法有多少種？課堂小結(jié)兩大原理：1、分類加法計(jì)數(shù)原理： 針對的是“分類問題.各類方法相互獨(dú)立。2、分步乘法計(jì)數(shù)原理： 針對的是“分步問題。每步相互依存。兩種思想：1、類比思想：由加法原理類比得到乘法原理2、從特殊到一般思想：原理的推廣錯(cuò)解 2錯(cuò)解分析 由于每個(gè)人都是不同的個(gè)體，所以該題中不同的選法中實(shí)際是選人，而不是選方法來完成這項(xiàng)工作.正解

9、9【1】一件工作可以用2種方法完成，有5人會(huì)用第1種方法完成，另有4人會(huì)用第2種方法完成.從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是易錯(cuò)警示作業(yè)正解 4項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3333= =81（種）.說明： 本題還有這樣的錯(cuò)解，甲、乙、丙奪冠均有4種情況，由乘法原理得 .這是由于沒有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.【2】在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有4項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有種.錯(cuò)解分析 錯(cuò)解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 錯(cuò)解 把4個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，故有 =

10、24(種).3. 一個(gè)袋子里裝有10張不同的中國移動(dòng)手機(jī)卡，另一個(gè)袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通手機(jī)卡.1某人要從兩個(gè)袋子中任取一張自己用的手機(jī)卡，共有多少種不同的取法？2某人想得到一張中國移動(dòng)卡和一張中國聯(lián)通卡，供自己今后選擇使用，共有多少種不同的取法？解析： 1任取一張手機(jī)卡，可以從10張不同的中國移動(dòng)卡中任取一張，或從12張不同的中國聯(lián)通卡中任取一張，每一類方法都能完成這件事,故應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理，有10+12=22種取法.2從移動(dòng)、聯(lián)通卡中各取一張，那么要分兩步完成：從移動(dòng)卡中任取一張，再從聯(lián)通卡中任取一張，故應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理,有1012=120(種)取法.4. (2021遼寧模擬)給一個(gè)各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有一樣的顏色，那么不同的染色方法共有多少種？解析： 如圖，染五條邊總體分五步，染每一邊為一步