排列組合問題的求解策略

1、排列組合合問題的的求解策策略 長陽職職業(yè)教育育中心 張張庭松 楊子子敬 主題詞詞 排排列 組合 求解 摘 要 計(jì)數(shù)問問題是現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活活中最普普遍排列列與組合合問題與與現(xiàn)實(shí)生生活密切切相關(guān)，有關(guān)這這類問題題的解答答的基礎(chǔ)礎(chǔ)是兩個個計(jì)數(shù)原原理，但但是在實(shí)實(shí)際求解解過程中中必須講講究解題題策略和和方法技技巧。解答排列列組合問問題，首首先必須須認(rèn)真審審題，明明確是屬屬于排列列問題還還是組合合問題，或者屬屬于排列列與組合合的混合合問題，其次要要抓住問問題的本本質(zhì)特征征，靈活活運(yùn)用基基本原理理和公式式進(jìn)行分分析解答答。同時時還要注注意講究究一些策策略和方方法技巧巧，使一一些看似似復(fù)雜的的問題迎迎刃而解解。

2、下面面介紹幾幾種常用用的解題題方法和和策略。一、合理理分類與與準(zhǔn)確分分步法 解解含有約約束條件件的排列列組合問問題，應(yīng)應(yīng)按元素素性質(zhì)進(jìn)進(jìn)行分類類，按事事情發(fā)生生的連續(xù)續(xù)過程分分步，保保證每步步獨(dú)立，達(dá)到分分類標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)明確，分步層層次清楚楚，不重重不漏。例1 、五個人人排成一一排，其其中甲不不在排頭頭，乙不不在排尾尾，不同同的排法法有 （ ）A1220種 BB966種 CC788種 DD722種 分析：由由題意可可先安排排甲，并并按其分分類討論論：1）若甲在在末尾，剩下四四人可自自由排，有種排排法；22）若甲甲在第二二，三，四位上上，則有有種排法法，由分分類計(jì)數(shù)數(shù)原理，排法共共有種，選C。解排列與

3、與組合并并存的問問題時，一般采采用先選選（組合合）后排排（排列列）的方方法解答答。例 2、 4個個不同小小球放入入編號為為1，22，3，4的四四個盒中中，恰有有一空盒盒的方法法有多少少種？分析： 因恰恰有一空空盒，故故必有一一盒子放放兩球。1）選選：從四四個球中中選2個個有種，從4個個盒中選選3個盒盒有種；2）排排：把選選出的22個球看看作一個個元素與與其余22球共33個元素素，對選選出的33盒作全全排列有有種，故故所求放放法有種種。二、元素素分析與與位置分分析法對于有附附加條件件的排列列組合問問題，一一般采用用：先考考慮滿足足特殊的的元素和和位置，再考慮慮其它元元素和位位置。例3、 用0，2

4、，33，4，5，五五個數(shù)字字，組成成沒有重重復(fù)數(shù)字字的三位位數(shù)，其其中偶數(shù)數(shù)共有（ ）。24個 B。30個個 CC。400個 D。660個分析由于該該三位數(shù)數(shù)為偶數(shù)數(shù)，故末末尾數(shù)字字必為偶偶數(shù)，又又因?yàn)?0不能排排首位，故0就就是其中中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)優(yōu)先安排排，按00排在末末尾和00不排在在末尾分分兩類：1）00排末尾尾時，有有個，22）0不不排在末末尾時，則有個個，由分分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)數(shù)原理，共有偶偶數(shù)=330個，選B。例4、 馬路上上有8只只路燈，為節(jié)約約用電又又不影響響正常的的照明，可把其其中的三三只燈關(guān)關(guān)掉，但但不能同同時關(guān)掉掉相鄰的的兩只或或三只，也不能能關(guān)掉兩兩端的燈燈，那么么滿足

5、條條件的關(guān)關(guān)燈方法法共有多多少種？分析：表表面上看看關(guān)掉第第1只燈燈的方法法有6種種，關(guān)第第二只，第三只只時需分分類討論論，十分分復(fù)雜。若從反反面入手手考慮，每一種種關(guān)燈的的方法對對應(yīng)著一一種滿足足題設(shè)條條件的亮亮燈與關(guān)關(guān)燈的排排列，于于是問題題轉(zhuǎn)化為為“在5只只亮燈的的4個空空中插入入3只暗暗燈”的問題題。故關(guān)關(guān)燈方法法種數(shù)為為。三、插空空法、捆捆綁法對于某幾幾個元素素不相鄰鄰的排列列問題，可先將將其他元元素排好好，再將將不相鄰鄰元素在在已排好好的元素素之間及及兩端空空隙中插插入即可可。例5、77人站成成一排照照相， 若要求求甲、乙乙、丙不不相鄰，則有多多少種不不同的排排法？分析： 先將其其

6、余四人人排好有有種排法法，再在在這人之之間及兩兩端的55個“空”中選三三個位置置讓甲乙乙丙插入入，則有有種方法法，這樣樣共有種種不同排排法。對于局部部“小整體體”的排列列問題，可先將將局部元元素捆綁綁在一起起看作一一個元，與其余余元素一一同排列列，然后后在進(jìn)行行局部排排列。例6、 7人站站成一排排照相，甲、乙乙、丙三三人相鄰鄰，有多多少種不不同排法法？分析： 把甲、乙、丙丙三人看看作一個個“元”，與其其余4人人共5個個元作全全排列，有種排排法，而而甲乙、丙、之之間又有有種排法法，故共共有種排排法。四、總體體淘汰法法對于含有有否定字字眼的問問題，可可以從總總體中把把不符合合要求的的除去，此時需需

7、注意不不能多減減，也不不能少減減。例如在例例3中，也可用用此法解解答：五五個數(shù)字字組成三三位數(shù)的的全排列列有個，排好后后發(fā)現(xiàn)00不能排排首位，而且數(shù)數(shù)字3，5也不不能排末末位，這這兩種排排法要除除去，故故有個偶偶數(shù)。五、順序序固定問問題用“除法”對于某幾幾個元素素順序一一定的排排列問題題，可先先把這幾幾個元素素與其他他元素一一同排列列，然后后用總排排列數(shù)除除以這幾幾個元素素的全排排列數(shù)。例7、 6個個人排隊(duì)隊(duì)，甲、乙、丙丙三人按按“甲-乙-丙丙”順序排排的排隊(duì)隊(duì)方法有有多少種種？分析： 不考考慮附加加條件，排隊(duì)方方法有種種，而其其中甲、乙、丙丙的種排排法中只只有一種種符合條條件。故故符合條條件

8、的排排法有種種。六、構(gòu)造造模型 “隔板法法”對于較復(fù)復(fù)雜的排排列問題題，可通通過設(shè)計(jì)計(jì)另一情情景，構(gòu)構(gòu)造一個個隔板模模型來解解決問題題。例8、 方程程a+bb+c+d=112有多多少組正正整數(shù)解解？分析：建建立隔板板模型：將122個完全全相同的的球排成成一列，在它們們之間形形成的111個間間隙中任任意插入入3塊隔隔板，把把球分成成4堆，每一種種分法所所得4堆堆球的各各堆球的的數(shù)目，對應(yīng)為為a、bb、c、d的一一組正整整解，故故原方程程的正整整數(shù)解的的組數(shù)共共有。又如方程程a+bb+c+d=112非負(fù)負(fù)整數(shù)解解的個數(shù)數(shù)；三項(xiàng)項(xiàng)式,四項(xiàng)式式等展開開式的項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，經(jīng)經(jīng)過轉(zhuǎn)化化后都可可用此法法解。七、分

9、排排問題“直排法法”把幾個元元素排成成前后若若干排的的排列問問題，若若沒有其其它的特特殊要求求，可采采取統(tǒng)一一排成一一排的方方法來處處理。例9、77個人坐坐兩排座座位，第第一排33個人，第二排排坐4個個人，則則不同的的坐法有有多少種種？分析：77個人可可以在前前兩排隨隨意就坐坐，再無無其它條條件，故故兩排可可看作一一排來處處理，不不同的坐坐法共有有種。八、表格格法有些較復(fù)復(fù)雜的問問題可以以通過列列圖表使使其直觀觀化。例10、9 人人組成籃籃球隊(duì)，其中77人善打打前鋒，3人善善打后衛(wèi)衛(wèi)，現(xiàn)從從中選55人（兩兩衛(wèi)三鋒鋒，且鋒鋒分左、中、右右，衛(wèi)分分左右）組隊(duì)出出場，有有多少種種不同的的組隊(duì)方方法？

10、分析：由由題設(shè)知知，其中中有1 人既可可打鋒，又可打打衛(wèi)，則則只會鋒鋒的有66人，只只會衛(wèi)的的有2 人。列列表如下下：人數(shù)6人只會會鋒2人只會會衛(wèi)1人即鋒鋒又衛(wèi)結(jié)果不同選法32311（衛(wèi)）221（鋒）由表知，共有種種方法。除了上述述方法外外，有時時還可以以通過設(shè)設(shè)未知數(shù)數(shù)，借助助方程來來解答，簡單一一些的問問題可采采用列舉舉法等。解此類類問題常常用的數(shù)數(shù)學(xué)思想想是：分分類討論論的思想想，轉(zhuǎn)化化思想和和對稱思思想等三三種。排排列組合合是高中中數(shù)學(xué)的的重點(diǎn)和和難點(diǎn)之之一，也也是進(jìn)一一步學(xué)習(xí)習(xí)概率的的基礎(chǔ)。事實(shí)上上，許多多概率問問題也可可歸結(jié)為為排列組組合問題題。這一一類問題題不僅內(nèi)內(nèi)容抽象象，解法法靈活，而且解解題過程程極易出出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的錯誤誤，這些些錯誤甚甚至不容容易檢查查出來，所以解解題時要要注意不不斷積累累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解解題規(guī)律律，掌