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1、定積分第一節(jié)定積分的概念及性質(zhì)第1頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、 定積分的定義三、 定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì) 第五章 第2頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三一、定積分問(wèn)題舉例1. 曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積abxyo第3頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三觀察與思考 在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形, 當(dāng)小矩形的寬度減少時(shí), 小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化? 怎樣求曲邊梯形的面積?第4頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,
2、0點(diǎn)53分,星期三求曲邊梯形的面積 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1; 小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi (xi1xixi); (2)近似代替: (4)取極限: 設(shè)maxDx1, Dx2, Dxn, 曲邊梯形的面積為 (3)求和:曲邊梯形的面積近似為 ;第5頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三2 (求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程)思路:把整段時(shí)間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值第6頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三(1)分
3、割部分路程值某時(shí)刻的速度(2)求和(3)取極限路程的精確值第7頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三二、定積分定義 任一種分法任取總趨于確定的極限 I , 則稱(chēng)此極限 I 為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱(chēng) f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作第8頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān) ,即第9頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) (證明略)定積分存在的條件第10頁(yè),共24頁(yè),2022
4、年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三例1. 用定積分表示下列極限:解:第11頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三定積分的幾何意義abxyo圖51,在 上連續(xù),oyabx圖53第12頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三 既有正值又有負(fù)值時(shí), 各部分面積的代數(shù)和第13頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三利用幾何意義求定積分 解 函數(shù) y1x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積. 因?yàn)橐詙=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是一個(gè)直角三角形, 其底邊長(zhǎng)及高均為1, 所以 例2 習(xí)題: 利
5、用定積分的幾何意義,說(shuō)明下列等式:41102p=-dxx第14頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說(shuō)明 在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大小三、定積分的性質(zhì)第15頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三性質(zhì)1性質(zhì)2補(bǔ)充:不論 的相對(duì)位置如何, 上式總成立.性質(zhì)3(定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性) 性質(zhì)4第16頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三性質(zhì)5推論1:(1)推論2:(2)第17頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三解令于是第18頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三證(此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍)性質(zhì)6第19頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三解第20頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7(定積分中值定理)積分中值公式第21頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三使即積分中值公式的幾何解釋?zhuān)旱?2頁(yè),共24頁(yè),2022年,5月20日,0點(diǎn)53分,星期三內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義 乘積和式的極限2. 定積分的性質(zhì)3. 積分中值定理矩形公式 梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均
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