大一高數(shù)函數(shù)與極限1(9)普通班

1、第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性四則運(yùn)算的連續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理1則一、四則運(yùn)算的連續(xù)性 也在點(diǎn) x0連續(xù); 在點(diǎn) x0連續(xù); 在點(diǎn) x0連續(xù).連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算之后保持連續(xù)性如,由于 在其定義域內(nèi)連續(xù). 結(jié)論: 三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)定理2二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).如,故同理,單調(diào)增加且連續(xù),也是單調(diào)增加且連續(xù).單調(diào)減少且連續(xù).單調(diào)增加且連續(xù).單調(diào)減少且連續(xù). 結(jié)論: 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)定理3設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成,而函數(shù)連續(xù),則)(xgfy=)(ufy=)(xgu=,)(lim00uxgxx=若)(

2、ufy=0uu=在).(0uf=意義可交換次序;2. 變量代換的理論依據(jù). 1. 在定理的條件下,例解.sine=例解定理4設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成,若函數(shù)連續(xù),而函數(shù)連續(xù),則復(fù)合而成也連續(xù).)(xgfy=0)(xxxgu=在)(xgu=,)(00uxg=且0)(uuufy=在)(xgfy=0 xx=在點(diǎn))(ufy=連續(xù)函數(shù)的復(fù)合保持連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的復(fù)合保持連續(xù)性是由連續(xù)函數(shù)因此復(fù)合而成 例三、初等函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題：什么叫初等函數(shù)？初等函數(shù). 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算(加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為三角函數(shù)及反三角函數(shù)(1)(2)

3、(3)在函數(shù)定義域內(nèi)：三、初等函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)且連續(xù);指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)且連續(xù);連續(xù) .(4)冪函數(shù)連續(xù).基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定義區(qū)間不同于定義域，它是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.注連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例解2. 初等函數(shù)求極限的方法注代入法.例解一般的，冪指函數(shù)若則練習(xí)解解答思考題如果函數(shù) f (x)、g(x)至少有一個(gè)在點(diǎn)x0不那么, f (x) + g(x)在該點(diǎn)是否連續(xù)?連續(xù),(1) 若兩個(gè)函數(shù) 中只有一個(gè)在點(diǎn)x0不連續(xù),則f (x) + g(x)在點(diǎn)x0必不連續(xù). 用反證法證之.不妨設(shè)在點(diǎn)x0, 并假設(shè) f (x) + g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 則由連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有:在點(diǎn)x0連續(xù),與已知矛盾. 故 f (x) + g(x)在點(diǎn)x0不連續(xù). f (x)連續(xù), g(x)不連續(xù);解答(2) 若f (x)、g(x)在點(diǎn)x0均不連續(xù),則 在f (x) + g(x)在點(diǎn)x0可能連續(xù),也可能不連續(xù).如:試確定常數(shù)解 令則使即0)1(lim33=-xaxx練習(xí)練習(xí)設(shè)解因?yàn)樗员匦枨抑恍?/p>