微積分一考前沖刺復習市公開課獲獎課件

1、微積分（一） 考前沖刺崔 洪 泉第1頁第1頁 一、函數(shù) 二、極限與連續(xù) 三、導數(shù)與微分 四、有界、極限、連續(xù)與可導關系 五、導數(shù)應用 六、利用定理進行證實第2頁第2頁 一、函 數(shù)函數(shù)復合; 復合函數(shù)定義域; 函數(shù)四個特性; 建立函數(shù)關系式等. 所認為奇函數(shù).第3頁第3頁因此定義域為第4頁第4頁1. 提出并約去零因子或無窮因子2. 利用函數(shù)連續(xù)性3. 利用等價無窮小代換5. 先求出非零因子極限8. 利用函數(shù)恒等變形6. 應用洛必達法則（注意類型與整理）7. 利用極限存在準則及主要極限4. 利用有界函數(shù)與無窮小性質二、極 限 與 連 續(xù)求極限慣用辦法：（只對 x = 0 附近無窮小用）9. 利用變

2、量代換第5頁第5頁1. 提出并約去零因子2. 利用函數(shù)恒等變形3. 利用等價無窮小代換4. 應用洛必達法則 1. 提出并約去無窮因子2. 利用函數(shù)恒等變形(有理化)3. 利用多項式之比極限公式4. 應用洛必達法則 1. 利用主要極限2. 應用洛必達法則 第6頁第6頁一些主要等價無窮小：x 0 時，第7頁第7頁第8頁第8頁解一：解二：原式 =2第9頁第9頁= 0？= 2第10頁第10頁約去無窮因子第11頁第11頁= 0 .原式 = 0 .第12頁第12頁無窮小有界量第13頁第13頁第14頁第14頁第15頁第15頁由夾逼性準則知第16頁第16頁第17頁第17頁顯然，x = 0 是 f (x) 可去

3、間斷點。第18頁第18頁則 c = _.由 L 定理= e ,第19頁第19頁找出所有使函數(shù)無定義點；考察所有這些點處極限( 對分段函數(shù)還要考察分段點處極限 )；依據極限情況判別間斷點并分類。 函 數(shù) 間 斷 點第20頁第20頁為間斷點。 x = 0 為第二類無窮間斷點。= 0，= 1， x = 1 為第一類跳躍間斷點。求間斷點，并判斷其類型。第21頁第21頁注意1 . 看清常數(shù)與變量2 . 分清不同類型函數(shù)導數(shù)公式3 . 復合函數(shù)導數(shù)要求到底4 . 掌握求隱函數(shù)導數(shù)辦法(在某點)7 . 求二階導數(shù)前對一階導數(shù)要整理6 . 掌握求分段函數(shù)( 尤其是分段點處)導數(shù)辦法(左右導數(shù))8 . 導數(shù)定義

4、與幾何意義(切線斜率)dx5 . 掌握求參量函數(shù)導數(shù)辦法(二階) 三、導 數(shù) 與 微 分第22頁第22頁第23頁第23頁+ 0第24頁第24頁第25頁第25頁兩邊求導：x = 0 時，(*)對(*)兩邊求導：第26頁第26頁第27頁第27頁?問題：條件不具備。0第28頁第28頁在 x = 0 處可導，求待定常數(shù) a 與 b .= 0 + 1 = 1，= b , 函數(shù)在 x = 0 處連續(xù)， b = 1;第29頁第29頁在 x = 0 處可導，求待定常數(shù) a 與 b . 在 x = 0 處連續(xù)， b = 1 ;1= 0 函數(shù)在 x = 0 處可導，第30頁第30頁四、函數(shù)有界、極限、連續(xù)與可導關

5、系 收斂數(shù)列（函數(shù)）性質(唯一性, 有界性, 保號性) 數(shù)列有界數(shù)列無界數(shù)列收斂數(shù)列發(fā)散無窮大量無界變量第31頁第31頁函數(shù)在 x0 處極限存在函數(shù)在 x0 處有定義函數(shù)在 x0 處連續(xù)函數(shù)在 x0 處可導函數(shù)在 x0 處可微第32頁第32頁下列函數(shù)中，是無界函數(shù)但不是無窮大量是 ( ) .有界有界無界第33頁第33頁下列命題正確是 ( ) .(A) 無界變量就是無窮大量；(B) 無窮大量是無窮小量倒數(shù)；(C) f (x) 在點 x0 不可導,必在 x0 處不連續(xù);(D) f (x) 在 a, b 連續(xù),必在 a, b 有界。DB 錯; 無窮大量是非零無窮小量倒數(shù)；第34頁第34頁若 f (x

6、) 在 x = 0 處連續(xù), 則 _;若 f (x) 在 x = 0 處可微, 則 _。第35頁第35頁設 f (x) 在 x = x0 處可微, 且_第36頁第36頁D如第37頁第37頁設 f (x) 在 x = 0 某鄰域內二階可導，= 0 ；= 0 ；第38頁第38頁設 f (x) 在 x = 0 某鄰域內二階可導，= e= e .第39頁第39頁五、導 數(shù) 應 用函數(shù)定義區(qū)間，討論各區(qū)間上 擬定 f (x) 在各區(qū)間上單調性。及 第二充足條件 利用第一充足條件， 在上述所分區(qū)間上，判斷函數(shù)極值點，并求出極值。求函數(shù)單調區(qū)間： (注意取得極值必要條件)求函數(shù)極值：來劃分第40頁第40頁坐

7、標為(x0, y0)。 求函數(shù)凹凸區(qū)間與拐點： 函數(shù)定義區(qū)間，討論各區(qū)間上擬定 f (x) 在各區(qū)間上凹凸性； 求函數(shù)最大值與最小值：求出函數(shù)駐點(及導數(shù)不存在點)處函數(shù)值，與端點處函數(shù)值比較 最大者為最大值，最小者為最小值。 對綜合情況，列表討論！凹弧與凸弧分界點為拐點，來劃分第41頁第41頁 駐點與極值點關系駐點 x0極值點可導函數(shù)極值點極值點與最值點關系極值點最值點第42頁第42頁在 x = a 某去心鄰域內，由極限保號性，B第43頁第43頁處切線方程。參數(shù)方程中含有隱函數(shù)，方程兩邊對 t 求導： t = 0 時，求切線斜率第44頁第44頁作切線， 使此切線被兩坐標軸所截線段長度為最短，

8、 并求此最短長度。解：設 P(x0, y0),xy0Px0則 P點處切線方程： 函數(shù)最值問題應用第45頁第45頁xy0Px0P點處切線方程：l線段長度xy第46頁第46頁為唯一駐點，問題中存在最小值，最短長度第47頁第47頁1 . 零點定理（證實方程根存在性）2 . 介值定理4 . 羅爾定理（證實導函數(shù)零點存在）5 . 拉格朗日(Lagrange)中值定理（導數(shù)與增量比關系，證實不等式）3 . 最大最小值定理 六、利用定理進行證實6 . 利用函數(shù)單調性證實不等式7 . 利用函數(shù)最值證實不等式第48頁第48頁無窮小與函數(shù)極限關系第49頁第49頁證實不等式慣用辦法： 作出適當函數(shù)利用函數(shù)單調性求出

9、函數(shù)最值（當函數(shù)不單調時）利用 L中值定理 （當不等式有增量形式時） 利用泰勒公式第50頁第50頁證實恒等式慣用辦法：利用羅爾定理（要驗證條件）利用 L 中值定理利用 L 中值定理推論：第51頁第51頁證實方程 f (x) = 0 有根證實方程根存在性與唯一性：零點定理證實方程 f (x) = 0 有根羅爾定理證實方程根唯一性 利用函數(shù)單調性 利用羅爾定理反證第52頁第52頁相關中值問題解題辦法利用逆向思維, 設輔助函數(shù).普通解題辦法:證實含一個中值等式或根存在,(2)若結論中包括到含中值兩個不同函數(shù),(3)若結論中含兩個或兩個以上中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定

10、理.必須多次應用中值定理.(4)若已知條件中含高階導數(shù), 多考慮用泰勒公式,(5)若結論為不等式, 要注意適當放大或縮小技巧.有時也可考慮對導數(shù)用中值定理.第53頁第53頁= 0 ，第54頁第54頁得證。由 L 定理請同窗們嘗試著用函數(shù)單調性證實此題.第55頁第55頁設 f (x) 在 0, c 上連續(xù)，在 ( 0, c ) 內可導，由題意知，在(0, a), (b, a + b)內可導，f (x)分別在0, a, b, a + b上連續(xù)，由拉格朗日中值定理，使得第56頁第56頁使得則因此第57頁第57頁設 0 a 1 時, 有第58頁第58頁設 0 a 1 時, 有因此當 x 1 時, 有證

11、畢第59頁第59頁設 f (x)在0,1連續(xù), 在(0, 1)可微，且 f (0) = 0,證實：假如 f (x) 在 (0, 1)上不恒等于零，則在( 0, 1)內可導，又 F(x) 在 0, x0 上滿足 L 定理，第60頁第60頁分析: 問題轉化為證因此可設輔助函數(shù)請同窗們完畢證實過程.第61頁第61頁設函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內可導, 且 分析: 所給條件可寫為試證必存在 如能在 (0, 3) 內找到一點 c , 使則在 c, 3 上對 f (x) 使用羅爾定理就能得所要結論.因 f (x) 在0, 3上連續(xù), 因此在0, 2上連續(xù), 且在0, 2上有最大值 M 與最小值 m, 故第62頁第62頁