數(shù)學(xué)模型精品課件

1、關(guān)于數(shù)學(xué)模型第一張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月回歸模型是用統(tǒng)計(jì)分析方法建立的最常用的一類模型 數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 不涉及回歸分析的數(shù)學(xué)原理和方法 通過(guò)實(shí)例討論如何選擇不同類型的模型 對(duì)軟件得到的結(jié)果進(jìn)行分析，對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn) 由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識(shí)程度的限制,無(wú)法分析實(shí)際對(duì)象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。 第二張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月10.1 牙膏的銷售量 問(wèn)題建立牙膏銷售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型 預(yù)測(cè)在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷售量 收集了30個(gè)銷售周期本公司牙膏銷售量

2、、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價(jià) 9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬(wàn)支)價(jià)格差（元）廣告費(fèi)用(百萬(wàn)元)其它廠家價(jià)格(元)本公司價(jià)格(元)銷售周期第三張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月基本模型y 公司牙膏銷售量x1其它廠家與本公司價(jià)格差x2公司廣告費(fèi)用x2yx1yx1, x2解釋變量(回歸變量, 自變量) y被解釋變量（因變量） 0, 1 , 2 , 3 回歸系數(shù) 隨機(jī)誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量）第四張，PPT共四

3、十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月MATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱 模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 輸入 x= n4數(shù)據(jù)矩陣, 第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05) b的估計(jì)值 bintb的置信區(qū)間 r 殘差向量y-xb rintr的置信區(qū)間 Stats檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 R2,F, p yn維數(shù)據(jù)向量輸出 由數(shù)據(jù) y,x1,x2估計(jì)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9

4、409 p=0.00000123第五張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定 參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000123F遠(yuǎn)超過(guò)F檢驗(yàn)的臨界值 p遠(yuǎn)小于=0.05 2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)(右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近) x2對(duì)因變量y 的影響不太顯著x22項(xiàng)顯著 可將x2保留在模型中 模型從整體上看成立第六張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月銷售量預(yù)測(cè) 價(jià)格

5、差x1=其它廠家價(jià)格x3-本公司價(jià)格x4估計(jì)x3調(diào)整x4控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=650萬(wàn)元銷售量預(yù)測(cè)區(qū)間為 7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作庫(kù)存管理的目標(biāo)值 下限用來(lái)把握公司的現(xiàn)金流 若估計(jì)x3=3.9，設(shè)定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在 7.83203.7 29（百萬(wàn)元）以上控制x1通過(guò)x1, x2預(yù)測(cè)y(百萬(wàn)支)第七張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型改進(jìn)x1和x2對(duì)y的影響?yīng)毩?參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.

6、34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.00000123參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p=0.000030124x1和x2對(duì)y的影響有交互作用第八張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月兩模型銷售量預(yù)測(cè)比較(百萬(wàn)支)區(qū)間 7.8230，8.7636區(qū)間 7.8953，8.7592 (百萬(wàn)支)控制價(jià)格

7、差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬(wàn)元預(yù)測(cè)區(qū)間長(zhǎng)度更短 略有增加 第九張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月x2=6.5x1=0.2 x1x1x2x2兩模型 與x1,x2關(guān)系的比較第十張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月交互作用影響的討論價(jià)格差 x1=0.1 價(jià)格差 x1=0.3加大廣告投入使銷售量增加 （ x2大于6百萬(wàn)元）價(jià)格差較小時(shí)增加的速率更大 x2價(jià)格優(yōu)勢(shì)會(huì)使銷售量增加 價(jià)格差較小時(shí)更需要靠廣告來(lái)吸引顧客的眼球 第十一張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月完全二次多項(xiàng)式模型 MATLAB中有命令rstool直接求解x1x2從輸出 Export 可得第十二張，PP

8、T共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月10.2 軟件開(kāi)發(fā)人員的薪金資歷 從事專業(yè)工作的年數(shù)；管理 1=管理人員，0=非管理人員；教育 1=中學(xué)，2=大學(xué)，3=更高程度建立模型研究薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考 編號(hào)薪金資歷管理教育0113876111021160810303187011130411283102編號(hào)薪金資歷管理教育422783716124318838160244174831601451920717024619346200146名軟件開(kāi)發(fā)人員的檔案資料 第十三張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月分析與假設(shè) y 薪金，x1 資歷（

9、年）x2 = 1 管理人員，x2 = 0 非管理人員1=中學(xué)2=大學(xué)3=更高資歷每加一年薪金的增長(zhǎng)是常數(shù)；管理、教育、資歷之間無(wú)交互作用 教育線性回歸模型 a0, a1, , a4是待估計(jì)的回歸系數(shù)，是隨機(jī)誤差 中學(xué)：x3=1, x4=0 ；大學(xué)：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 第十四張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型求解參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a011032 10258 11807 a1546 484 608 a26883 6248 7517 a3-2994 -3826 -2162 a4148 -636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R2,

10、F, p 模型整體上可用資歷增加1年薪金增長(zhǎng)546 管理人員薪金多6883 中學(xué)程度薪金比更高的少2994 大學(xué)程度薪金比更高的多148 a4置信區(qū)間包含零點(diǎn)，解釋不可靠!中學(xué)：x3=1, x4=0;大學(xué)：x3=0, x4=1; 更高：x3=0, x4=0. x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理x1資歷(年)第十五張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月殘差分析方法 結(jié)果分析殘差e 與資歷x1的關(guān)系 e與管理教育組合的關(guān)系 殘差全為正，或全為負(fù)，管理教育組合處理不當(dāng) 殘差大概分成3個(gè)水平， 6種管理教育組合混在一起，未正確反映 。應(yīng)在模型中增加管理x2與教育x3, x4的交互項(xiàng) 組合12

11、3456管理010101教育112233管理與教育的組合第十六張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月進(jìn)一步的模型增加管理x2與教育x3, x4的交互項(xiàng)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a01120411044 11363a1497486 508a270486841 7255a3-1727-1939 -1514a4-348-545 152a5-3071-3372 -2769a618361571 2101R2=0.999 F=554 p=0.000R2,F有改進(jìn)，所有回歸系數(shù)置信區(qū)間都不含零點(diǎn)，模型完全可用 消除了不正常現(xiàn)象 異常數(shù)據(jù)(33號(hào))應(yīng)去掉 e x1 e 組合第十七張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2

12、022年6月去掉異常數(shù)據(jù)后的結(jié)果參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a01120011139 11261a1498494 503a270416962 7120a3-1737-1818 -1656a4-356-431 281a5-3056-3171 2942a619971894 2100R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000e x1 e 組合R2： 0.957 0.999 0.9998F： 226 554 36701 置信區(qū)間長(zhǎng)度更短殘差圖十分正常最終模型的結(jié)果可以應(yīng)用第十八張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月模型應(yīng)用 制訂6種管理教育組合人員的“基礎(chǔ)”薪金(資歷為0）組合管理教育系數(shù)“

13、基礎(chǔ)”薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011200613a0+a218241中學(xué)：x3=1, x4=0 ；大學(xué)：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 x1= 0； x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理大學(xué)程度管理人員比更高程度管理人員的薪金高 大學(xué)程度非管理人員比更高程度非管理人員的薪金略低 第十九張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1變量處理，0-1變量的個(gè)數(shù)應(yīng)比定性因素的水平少1 軟件開(kāi)發(fā)人員的薪金殘差分析方法可以發(fā)現(xiàn)模型

14、的缺陷，引入交互作用項(xiàng)常常能夠改善模型 剔除異常數(shù)據(jù)，有助于得到更好的結(jié)果注：可以直接對(duì)6種管理教育組合引入5個(gè)0-1變量 第二十張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月10.3 酶促反應(yīng) 問(wèn)題研究酶促反應(yīng)（酶催化反應(yīng)）中嘌呤霉素對(duì)反應(yīng)速度與底物（反應(yīng)物）濃度之間關(guān)系的影響 建立數(shù)學(xué)模型，反映該酶促反應(yīng)的速度與底物濃度以及經(jīng)嘌呤霉素處理與否之間的關(guān)系 設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)驗(yàn) ：酶經(jīng)過(guò)嘌呤霉素處理；酶未經(jīng)嘌呤霉素處理。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表: 方案底物濃度(ppm)0.020.060.110.220.561.10反應(yīng)速度處理764797107123139159152191201207200未處理6751848

15、698115131124144158160/第二十一張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十二張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月線性化模型 經(jīng)嘌呤霉素處理后實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果 參數(shù)參數(shù)估計(jì)值（10-3）置信區(qū)間（10-3）15.1073.539 6.67620.2470.176 0.319R2=0.8557 F=59.2975 p=0.0000對(duì)1 , 2非線性 對(duì)1, 2線性 第二十三張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月線性化模型結(jié)果分析 x較大時(shí)，y有較大偏差 1/x較小時(shí)有很好的線性趨勢(shì)，1/x較大時(shí)出現(xiàn)很大的起落 參數(shù)估計(jì)時(shí)，x較?。?/x很大）的數(shù)據(jù)控制了回歸參

16、數(shù)的確定 1/y1/xxy第二十四張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月beta,R,J = nlinfit (x,y,model,beta0) beta的置信區(qū)間MATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱 輸入 x自變量數(shù)據(jù)矩陣y 因變量數(shù)據(jù)向量beta 參數(shù)的估計(jì)值R 殘差，J 估計(jì)預(yù)測(cè)誤差的Jacobi矩陣 model 模型的函數(shù)M文件名beta0 給定的參數(shù)初值 輸出 betaci =nlparci(beta,R,J) 非線性模型參數(shù)估計(jì)function y=f1(beta, x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);x= ; y= ;beta0=195.8027 0.04841;bet

17、a,R,J=nlinfit(x,y,f1,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta, betaci beta0線性化模型估計(jì)結(jié)果 第二十五張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月非線性模型結(jié)果分析參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1212.6819197.2029 228.160920.06410.0457 0.0826 畫(huà)面左下方的Export 輸出其它統(tǒng)計(jì)結(jié)果。拖動(dòng)畫(huà)面的十字線，得y的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)區(qū)間剩余標(biāo)準(zhǔn)差s= 10.9337最終反應(yīng)速度為半速度點(diǎn)(達(dá)到最終速度一半時(shí)的x值 )為其它輸出命令nlintool 給出交互畫(huà)面o 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結(jié)果 第二十六張，PPT

18、共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月混合反應(yīng)模型 x1為底物濃度， x2為一示性變量 x2=1表示經(jīng)過(guò)處理，x2=0表示未經(jīng)處理 1是未經(jīng)處理的最終反應(yīng)速度 1是經(jīng)處理后最終反應(yīng)速度的增長(zhǎng)值 2是未經(jīng)處理的反應(yīng)的半速度點(diǎn) 2是經(jīng)處理后反應(yīng)的半速度點(diǎn)的增長(zhǎng)值 在同一模型中考慮嘌呤霉素處理的影響第二十七張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月o 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結(jié)果 混合模型求解用nlinfit 和 nlintool命令估計(jì)結(jié)果和預(yù)測(cè)剩余標(biāo)準(zhǔn)差s= 10.4000 參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1160.2802145.8466 174.713720.04770.0304 0.0650 152.403532

19、.4130 72.3941 20.0164-0.0075 0.04032置信區(qū)間包含零點(diǎn)，表明2對(duì)因變量y的影響不顯著參數(shù)初值(基于對(duì)數(shù)據(jù)的分析)經(jīng)嘌呤霉素處理的作用不影響半速度點(diǎn)參數(shù)未經(jīng)處理經(jīng)處理第二十八張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月o 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結(jié)果 未經(jīng)處理經(jīng)處理簡(jiǎn)化的混合模型 簡(jiǎn)化的混合模型形式簡(jiǎn)單，參數(shù)置信區(qū)間不含零點(diǎn)剩余標(biāo)準(zhǔn)差 s = 10.5851，比一般混合模型略大 估計(jì)結(jié)果和預(yù)測(cè)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1166.6025154.4886 178.716420.05800.0456 0.0703 142.025228.9419 55.1085第二十九張，PPT共

20、四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一般混合模型與簡(jiǎn)化混合模型預(yù)測(cè)比較實(shí)際值一般模型預(yù)測(cè)值(一般模型）簡(jiǎn)化模型預(yù)測(cè)值(簡(jiǎn)化模型）6747.34439.207842.73585.44465147.34439.207842.73585.44468489.28569.571084.73567.0478191190.83299.1484189.05748.8438201190.83299.1484189.05748.8438207200.968811.0447198.183710.1812200200.968811.0447198.183710.1812簡(jiǎn)化混合模型的預(yù)測(cè)區(qū)間較短，更為實(shí)用、有效預(yù)測(cè)區(qū)間為預(yù)

21、測(cè)值 第三十張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注：非線性模型擬合程度的評(píng)價(jià)無(wú)法直接利用線性模型的方法，但R2 與s仍然有效。酶促反應(yīng) 反應(yīng)速度與底物濃度的關(guān)系非線性關(guān)系求解線性模型 求解非線性模型機(jī)理分析嘌呤霉素處理對(duì)反應(yīng)速度與底物濃度關(guān)系的影響混合模型 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，得參數(shù)初值引入0-1變量簡(jiǎn)化模型 檢查參數(shù)置信區(qū)間是否包含零點(diǎn)第三十一張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月10.4 投資額與國(guó)民生產(chǎn)總值和物價(jià)指數(shù) 問(wèn)題建立投資額模型，研究某地區(qū)實(shí)際投資額與國(guó)民生產(chǎn)總值 ( GNP ) 及物價(jià)指數(shù) ( PI ) 的關(guān)系2.06883073.0424.5201.00001185.9195

22、.0101.95142954.7474.9190.96011077.6166.491.78422631.7401.9180.9145 992.7144.281.63422417.8423.0170.8679 944.0149.371.50422163.9386.6160.8254 873.4133.361.40051918.3324.1150.7906 799.0122.851.32341718.0257.9140.7676 756.0125.741.25791549.2206.1130.7436 691.1113.531.15081434.2228.7120.7277 637.797.421

23、.05751326.4 229.8110.7167 596.7 90.91物價(jià)指數(shù)國(guó)民生產(chǎn)總值投資額年份序號(hào)物價(jià)指數(shù)國(guó)民生產(chǎn)總值投資額年份序號(hào)根據(jù)對(duì)未來(lái)GNP及PI的估計(jì)，預(yù)測(cè)未來(lái)投資額 該地區(qū)連續(xù)20年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) 第三十二張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月時(shí)間序列中同一變量的順序觀測(cè)值之間存在自相關(guān)以時(shí)間為序的數(shù)據(jù)，稱為時(shí)間序列 分析許多經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)在時(shí)間上有一定的滯后性 需要診斷并消除數(shù)據(jù)的自相關(guān)性，建立新的模型若采用普通回歸模型直接處理，將會(huì)出現(xiàn)不良后果 投資額與國(guó)民生產(chǎn)總值和物價(jià)指數(shù) 1.32341718.0257.9140.7676 756.0125.741.25791549.2

24、206.1130.7436 691.1113.531.15081434.2228.7120.7277 637.797.421.05751326.4 229.8110.7167 596.7 90.91物價(jià)指數(shù)國(guó)民生產(chǎn)總值投資額年份序號(hào)物價(jià)指數(shù)國(guó)民生產(chǎn)總值投資額年份序號(hào)第三十三張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月基本回歸模型投資額與 GNP及物價(jià)指數(shù)間均有很強(qiáng)的線性關(guān)系t 年份， yt 投資額，x1t GNP, x2t 物價(jià)指數(shù)0, 1, 2 回歸系數(shù) x1tytx2tytt 對(duì)t相互獨(dú)立的零均值正態(tài)隨機(jī)變量第三十四張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月基本回歸模型的結(jié)果與分析 MATL

25、AB 統(tǒng)計(jì)工具箱 參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間0322.7250224.3386 421.111410.61850.4773 0.75962-859.4790-1121.4757 -597.4823 R2= 0.9908 F= 919.8529 p=0.0000剩余標(biāo)準(zhǔn)差 s=12.7164 沒(méi)有考慮時(shí)間序列數(shù)據(jù)的滯后性影響R20.9908，擬合度高模型優(yōu)點(diǎn)模型缺點(diǎn)可能忽視了隨機(jī)誤差存在自相關(guān)；如果存在自相關(guān)性，用此模型會(huì)有不良后果第三十五張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月自相關(guān)性的定性診斷 殘差診斷法模型殘差作殘差 etet-1 散點(diǎn)圖大部分點(diǎn)落在第1, 3象限 t 存在正的自相關(guān) 大部分點(diǎn)落在第2, 4象限 自相關(guān)性直觀判斷在MATLAB工作區(qū)中輸出et為隨機(jī)誤差t 的估計(jì)值 et-1ett 存在負(fù)的自相關(guān) 基本回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)t 存在正的自相關(guān) 第三十六張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月自回歸性的定量診斷自回歸模型自相關(guān)系數(shù) 0, 1, 2 回歸系數(shù) = 0無(wú)自相關(guān)性 0 0如何估計(jì) 如何消除自相關(guān)性D-W統(tǒng)計(jì)量D-W檢驗(yàn) ut 對(duì)t相互獨(dú)立的零均值正態(tài)隨機(jī)變量存在負(fù)自相關(guān)性存在正自相關(guān)性廣義差分法 第三十七張，PPT共四十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月D-W統(tǒng)計(jì)量與D-W檢驗(yàn) 檢驗(yàn)水平,樣本容量，回歸變量數(shù)目D-W分布表n較大DW4-dU44