線性代數考研講義完整版

1、.PAGE .考研數學線性代數講義目錄第一講 基本概念線性方程組 矩陣與向量 初等變換和階梯形矩陣 線性方程組的矩陣消元法第二講 行列式 完全展開式 化零降階法 其它性質 克萊姆法則第三講 矩陣 乘法 乘積矩陣的列向量和行向量 矩陣分解 矩陣方程 逆矩陣 伴隨矩陣第四講 向量組 線性表示 向量組的線性相關性 向量組的極大無關組和秩 矩陣的秩第五講 方程組 解的性質 解的情況的判別 基礎解系和通解第六講 特征向量與特征值 相似與對角化 特征向量與特征值概念,計算與應用 相似 對角化判斷與實現(xiàn)附錄一 內積 正交矩陣 施密特正交化 實對稱矩陣的對角化第七講 二次型二次型及其矩陣 可逆線性變量替換 實

2、對稱矩陣的合同 標準化和規(guī)范化 慣性指數 正定二次型與正定矩陣附錄二 向量空間及其子空間附錄三 兩個線性方程組的解集的關系附錄四 06,07年考題第一講 基本概念1線性方程組的基本概念線性方程組的一般形式為: a11x1+a12x2+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+a2nxn=b2, am1x1+am2x2+amnxn=bm,其中未知數的個數n和方程式的個數m不必相等. 線性方程組的解是一個n維向量,它滿足:當每個方程中的未知數xi都用ki替代時都成為等式. 線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解.對線性方程組討論的主要問題兩個:判斷解的情況.求解,特別是在有無窮多接時

3、求通解.b1=b2=bm=0的線性方程組稱為齊次線性方程組.n維零向量總是齊次線性方程組的解,稱為零解.因此齊次線性方程組解的情況只有兩種:唯一解和無窮多解.把一個非齊次線性方程組的每個方程的常數項都換成0,所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導出齊次線性方程組,簡稱導出組.2.矩陣和向量 基本概念 矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數量形式的發(fā)展.由mn個數排列成的一個m行n列的表格,兩邊界以圓括號或方括號,就成為一個mn型矩陣.例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 -1 8是一個45矩陣.對于上面的線性方程組,稱矩陣 a11 a12 a1n a11 a12

4、 a1n b1A= a21 a22 a2n 和= a21 a22 a2n am1 am2 amn am1 am2 amn bm為其系數矩陣和增廣矩陣.增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的全部信息,而齊次方程組只用系數矩陣就體現(xiàn)其全部信息.一個矩陣中的數稱為它的元素,位于第i行第j列的數稱為位元素.元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0.兩個矩陣A和B相等,是指它的行數相等,列數也相等,并且對應的元素都相等.由n個數構成的有序數組稱為一個n維向量,稱這些數為它的分量.書寫中可用矩陣的形式來表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,an的向量可表示成 a1或 a2 , an 請注意,作為向量它們并沒有區(qū)別,但是

5、作為矩陣,它們不一樣.習慣上把它們分別稱為行向量和列向量.一個mn的矩陣的每一行是一個n維向量,稱為它的行向量; 每一列是一個m維向量, 稱為它的列向量.常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣,例如當矩陣A的列向量組為1,2, ,n時可記A=.矩陣的許多概念也可對向量來規(guī)定,如元素全為0的向量稱為零向量,通常也記作0.兩個向量和相等,是指它的維數相等,并且對應的分量都相等. 線性運算和轉置線性運算是矩陣和向量所共有的,下面以矩陣為例來說明.加法:兩個mn的矩陣A和B可以相加,得到的和仍是mn矩陣,記作A+B ,法則為對應元素相加.數乘: 一個mn的矩陣A與一個數c可以相乘,乘積仍為mn的矩陣,記作cA

6、,法則為A的每個元素乘c.這兩種運算統(tǒng)稱為線性運算,它們滿足以下規(guī)律: = 1 * GB3 加法交換律:A+B=B+A. = 2 * GB3 加法結合律:+C=A+. = 3 * GB3 加乘分配律:c=cA+cB.A=cA+dA. = 4 * GB3 數乘結合律: cA=A. = 5 * GB3 cA=0c=0 或A=0.轉置:把一個mn的矩陣A行和列互換,得到的nm的矩陣稱為A的轉置,記作A T.有以下規(guī)律: = 1 * GB3 T=A. = 2 * GB3 T=AT+BT. = 3 * GB3 T=cAT. 轉置是矩陣所特有的運算,如把轉置的符號用在向量上,就意味著把這個向量看作矩陣了.

7、當是列向量時, T表示行向量,當是行向量時, T表示列向量.向量組的線性組合:設1,2,s是一組n維向量, c1,c2,cs是一組數,則稱 c11+c22+css為1,2,s的線性組合. n維向量組的線性組合也是n維向量. n階矩陣與幾個特殊矩陣行數和列數相等的矩陣稱為方陣,行列數都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣.把n階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它對角線.下面列出幾類常用的n階矩陣,它們都是考試大綱中要求掌握的.對角矩陣: 對角線外的的元素都為0的n階矩陣.單位矩陣: 對角線上的的元素都為1的對角矩陣,記作E.數量矩陣: 對角線上的的元素都等于一個常數c的對角矩陣,它就是cE.上三角矩陣:

8、對角線下的的元素都為0的n階矩陣.下三角矩陣: 對角線上的的元素都為0的n階矩陣.對稱矩陣:滿足AT=A矩陣.也就是對任何i,j,位的元素和位的元素總是相等的n階矩陣.反對稱矩陣:滿足AT=-A矩陣.也就是對任何i,j,位的元素和位的元素之和總等于0的n階矩陣.反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0. 3. 矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣有以下三種初等行變換: = 1 * GB3 交換兩行的位置. = 2 * GB3 用一個非0的常數乘某一行的各元素. = 3 * GB3 把某一行的倍數加到另一行上.類似地, 矩陣還有三種初等列變換,大家可以模仿著寫出它們,這里省略了. 初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱

9、初等變換.階梯形矩陣:一個矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足: = 1 * GB3 如果它有零行,則都出現(xiàn)在下面. = 2 * GB3 如果它有非零行,則每個非零行的第一個非0元素所在的列號自上而下嚴格單調遞增.把階梯形矩陣的每個非零行的第一個非0元素所在的位置稱為臺角.簡單階梯形矩陣:是特殊的階梯形矩陣,特點為: = 3 * GB3 臺角位置的元素為1. = 4 * GB3 并且其正上方的元素都為0.每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣.這種運算是在線性代數的各類計算題中頻繁運用的基本運算,必須十分熟練.請注意: 1.一個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的,但是其非零

10、行數和臺角位置是確定的.2.一個矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的.4. 線性方程組的矩陣消元法線性方程組的基本方法即中學課程中的消元法:用同解變換把方程組化為階梯形方程組.線性方程組的同解變換有三種: = 1 * GB3 交換兩個方程的上下位置. = 2 * GB3 用一個非0的常數乘某個方程. = 3 * GB3 把某個方程的倍數加到另一個方程上.以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.線性方程組求解的基本方法是消元法,用增廣矩陣或系數矩陣來進行,稱為矩陣消元法. 對非齊次線性方程組步驟如下:寫出方程組的增廣矩陣,用初等行變換把它化為階梯形矩陣. 用判別解的情況:如果最下面的

11、非零行為,則無解,否則有解.有解時看非零行數r,r=n時唯一解；rn時無窮多解.推論:當方程的個數m有唯一解時求解的初等變換法:去掉的零行,得到一個n矩陣,并用初等行變換把它化為簡單階梯形矩陣,則就是解. 對齊次線性方程組:寫出方程組的系數矩陣A,用初等行變換把它化為階梯形矩陣B. 用B判別解的情況:非零行數r=n時只有零解；rn時有非零解. 推論:當方程的個數m討論題1.設A是n階矩陣,則 A是上三角矩陣A是階梯形矩陣. A是上三角矩陣A是階梯形矩陣. A是上三角矩陣A是階梯形矩陣. A是上三角矩陣與A是階梯形矩陣沒有直接的因果關系.2.下列命題中哪幾個成立? 如果A是階梯形矩陣,則A去掉任

12、何一行還是是階梯形矩陣. 如果A是階梯形矩陣,則A去掉任何一列還是是階梯形矩陣. 如果是階梯形矩陣,則A也是階梯形矩陣. 如果是階梯形矩陣,則B也是階梯形矩陣. 如果 A 是階梯形矩陣,則A和B都是階梯形矩陣.B第二講 行列式一.概念復習1. 形式和意義形式:用n2個數排列成的一個n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為一個n階行列式: a11 a12 a1na21 a22 a .an1 an2 ann如果行列式的列向量組為1,2, ,n,則此行列式可表示為|1,2, ,n|.意義:是一個算式,把這n2個元素按照一定的法則進行運算,得到的數值稱為這個行列式的值.請注意行列式和矩陣在形式上和意義上的

13、區(qū)別.當兩個行列式的值相等時,就可以在它們之間寫等號! 每個n階矩陣A對應一個n階行列式,記作|A|.行列式這一講的的核心問題是值的計算,以及判斷一個行列式的值是否為0.2. 定義2階和3階行列式的計算公式: a11 a12 a21 a22 = a11a22-a12a11 a12 aa21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21aa31 a一般地,一個n階行列式 a11 a12 a1na21 a22 aan1 an2 ann的值是許多項的代數和,每一項都是取自不同行,不同列的n個元素的乘積,其一般形式為:,這里把相乘的n個元素按照行標的大小順序排列,它們的

14、列標j1j2jn構成1,2,n的一個全排列,共有n!個n元排列,每個n元排列對應一項,因此共有n!個項.所謂代數和是在求總和時每項先要乘+1或-1.規(guī)定為全排列j1j2jn的逆序數,則項所乘的是全排列的逆序數即小數排列在大數右面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個數.逆序數可如下計算:標出每個數右面比它小的數的個數,它們的和就是逆序數.例如求436512的逆序數:,=3+2+3+2+0+0=10.至此我們可以寫出n階行列式的值: a11 a12 a1na21 a22 a2n =an1 an2 ann 這里表示對所有n元排列求和.稱此式為n階行列式的完全展開式.用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元

15、素為0,使得只有少數項不為0時,才可能用它作行列式的計算.例如對角行列式,上三角行列式的值就等于主對角線上的元素的乘積,因為其它項都為0.2. 化零降階法把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的n-1階行列式稱為位元素aij的余子式,記作Mij.稱Aij=i+jMij為元素aij的代數余子式.定理行列式的值等于該行的各元素與其代數余子式乘積之和.命題 第三類初等變換不改變行列式的值.化零降階法 用命題把行列式的某一行或列化到只有一個元素不為0,再用定理.于是化為計算一個低1階的行列式.化零降階法是實際計算行列式的主要方法,因此應該熟練掌握.3.其它性質行列式還有以下性質: = 1 * GB3

16、 把行列式轉置值不變,即|AT|=|A| . = 2 * GB3 某一行的公因子可提出.于是, |cA|=cn|A|. = 3 * GB3 對一行或一列可分解,即如果某個行向量則原行列式等于兩個行列式之和,這兩個行列式分別是把原行列式的該行向量換為或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|. = 4 * GB3 把兩個行向量交換, 行列式的值變號. = 5 * GB3 如果一個行向量是另一個行向量的倍數,則行列式的值為0. = 6 * GB3 某一行的各元素與另一行的對應元素的代數余子式乘積之和=0. = 7 * GB3 如果A與B都是方陣,則A * = A O =|A|B|.O

17、B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 1 a1 a2 a3 a12 a22 a3 a1n-i a2n-i a3n-i ann-i的行列式.它由a1,a2 ,a3,an所決定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0 a1,a2 ,a3,a對于元素有規(guī)律的行列式,常?？衫眯再|簡化計算,例如直接化為三角行列式等. 4.克萊姆法則克萊姆法則 應用在線性方程組的方程個數等于未知數個數n 的情形.此時,如果它的系數矩陣的行列式的值不等于0,則方程組有唯一解,這個解為,這里D是系數行列式的值, Di是把系數行列式的第i個列向量換成常數列向量所得到的行列式的值.說明與改進:按法則給的公式求解計算量太大,沒有實

18、用價值.因此法則的主要意義在理論上,用在對解的唯一性的判斷,而在這方面法則不夠. 法則的改進:系數行列式不等于0是唯一解的充分必要條件.實際上求解可用初等變換法:對增廣矩陣作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃? ,就是解. 用在齊次方程組上 :如果齊次方程組的系數矩陣A是方陣,則它只有零解的充分必要條件是|A|0.二. 典型例題1.利用性質計算元素有規(guī)律的行列式例1 = 1 * GB3 2 a a a a = 2 * GB3 1+x 1 1 1 = 3 * GB3 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a .1 1 1+x 1 . 3 3 3

19、+a 3 . a a a 2 a1 1 1 1+x 4 4 4 4+a a a a a 2 例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4 例3 1+x1 1 1 1 1 1+x2 1 1 . 1 1 1+x3 1 1 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b . b c a 0 c b 0 a例5 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 . 0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a 2. 測試概念與性質的題例6 x3-3 1 -3 2x+2多項式f= -7 5 -2x 1 ,求f的次數

20、和最高次項的系數. X+3 -1 33x2-2 9 x3 6 -6 例7 求 x-3 a -1 4 f= 5 x-8 0 2 的x4和x3的系數.0 b x+1 12 2 1 x例8 設4階矩陣A=,B=,|A|=2, |B|=3 ,求|A+B| . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代數余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和. 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2 3.幾個n階行列式兩類爪形行列式及其值: 例11

21、 a1 a2 a3ab1 c2 0 證明 0 b2 c3 0 0 =. 0 0 0 bn-1 cn 提示: 只用對第1行展開. 例12 a0 a1 a2ab1 c1 0 0證明 b20 c2 0 0 =.bn 0 cn 提示: 只用對第1行展開. 另一個常見的n階行列式:例13 證明 a+b b 0 0 0 a a+b b 0 0 = . 0 0 0 a+b b 0 0 0 a a+b 提示:把第j列的j-1倍加到第1列上,再對第1列展開.4.關于克萊姆法則的題例14設有方程組x1+x2+x3=a+b+c, ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.證明

22、此方程組有唯一解的充分必要條件為a,b,c兩兩不等.在此情況求解.參考答案例1 = 1 * GB3 4. = 2 * GB3 x3. = 3 * GB3 a3.例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 .例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c.第三講 矩陣一概念復習1. 矩陣乘法的定義和性質定義2.1 當矩陣A的列數和B的行數相等時,和A和B可以相乘,乘積記作AB. AB的行數和A相等,列數和B相等. AB的

23、位元素等于A的第i個行向量和B的第j個列向量對應分量乘積之和.設 a11 a12 a1n b11 b12 b1s c11 c12 c1sA= a21 a22 a2n B= b21 b22 b2s C=AB=c21 c22am1 am2 amn , bn1 bn2 bns , cm1 cm2 c則cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj.矩陣的乘法在規(guī)則上與數的乘法有不同: = 1 * GB3 矩陣乘法有條件. = 2 * GB3 矩陣乘法無交換律. = 3 * GB3 矩陣乘法無消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.由BA=CA和A0推不出B=

24、C. 請注意不要犯一種常見的錯誤:把數的乘法的性質簡單地搬用到矩陣乘法中來. 矩陣乘法適合以下法則: = 1 * GB3 加乘分配律 A= AB+AC,C=AC+BC. = 2 * GB3 數乘性質 B=c. = 3 * GB3 結合律 C= A. = 4 * GB3 T=B TA T.2.n階矩陣的方冪和多項式任何兩個n階矩陣A和B都可以相乘,乘積AB仍是n階矩陣.并且有行列式性質: |AB|=|A|B|.如果AB=BA,則說A和B可交換.方冪 設k是正整數, n階矩陣A的k次方冪A k即k個A的連乘積.規(guī)定A 0=E.顯然A的任何兩個方冪都是可交換的,并且方冪運算符合指數法則: = 1 *

25、 GB3 A kA h= A k+h. = 2 * GB3 h= A kh.但是一般地k和A kB k不一定相等! n階矩陣的多項式 設f=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,對n階矩陣A規(guī)定f=amA m+am-1A m-1+ a1A+a0稱為A的一個多項式.請?zhí)貏e注意在常數項上加單位矩陣E.乘法公式 一般地,由于交換性的障礙,小代數中的數的因式分解和乘法公式對于n階矩陣的不再成立.但是如果公式中所出現(xiàn)的n階矩陣互相都是乘法交換的,則乘法公式成立.例如當A和B可交換時,有:2=A22AB+B2;A2-B2=.二項展開式成立: 等等.前面兩式成立還是A和B可交換的充分必要條件. 同一個n

26、階矩陣的兩個多項式總是可交換的. 一個n階矩陣的多項式可以因式分解.3. 分塊法則 矩陣乘法的分塊法則是簡化矩陣乘法的一種方法.對兩個可以相乘的矩陣A和B,可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣,再用它們來作乘法.兩種常見的矩陣乘法的分塊法則A11 A12 B11 B12 = A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A要求Aij的列數Bjk和的行數相等.準對角矩陣的乘法:形如A1 0 0A= 0 A2 0 0 An的矩陣稱為準對角矩陣,其中A1,A2,Ak都是方陣.兩個準對角矩陣A1 0 0 B1 0 0A= 0

27、 A2 0 , B= 0 B2 0 0 Ak 0 0 Bk如果類型相同,即Ai和Bi階數相等,則A1B1 0 0 AB = 0 A2B2 0 AkBk 乘積矩陣的列向量組和行向量組設A是mn矩陣B是ns矩陣. A的列向量組為1,2,n,B的列向量組為1,2,s, AB的列向量組為1,2,s,則根據矩陣乘法的定義容易看出: = 1 * GB3 AB的每個列向量為:i=Ai,i=1,2,s.即A=. = 2 * GB3 =T,則A= b11+b22+bnn.應用這兩個性質可以得到:如果i=T,則i=AI=b1i1+b2i2+bnin.即:乘積矩陣AB的第i個列向量i是A的列向量組1,2,n的線性組

28、合,組合系數就是B的第i個列向量i的各分量.類似地, 乘積矩陣AB的第i個行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數就是A的第i個行向量的各分量.以上規(guī)律在一般教材都沒有強調,但只要對矩陣乘法稍加分析就不難得出.它們無論在理論上和計算中都是很有用的. 當兩個矩陣中,有一個的數字很簡單時,直接利用以上規(guī)律寫出乘積矩陣的各個列向量或行向量,從而提高了計算的速度. 利用以上規(guī)律容易得到下面幾個簡單推論:用對角矩陣從左側乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量; 用對角矩陣從右側乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量.數量矩陣kE乘一個矩陣相當于用k乘此矩陣；單

29、位矩陣乘一個矩陣仍等于該矩陣.兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應元素相乘. 求對角矩陣的方冪只需把對角線上的每個元素作同次方冪. 矩陣分解:當一個矩陣C的每個列向量都是另一個A的列向量組的線性組合時,可以構造一個矩陣B,使得C=AB. 例如設A=, C=,令 1 3 1B= 2 -1 0 ,則C=AB. -1 1 2初等矩陣及其在乘法中的作用對單位矩陣E作一次初等變換,所得到的矩陣稱為初等矩陣.有三類初等矩陣:E:交換E 的i,j兩行所得到的矩陣.Ei:用非0數c乘E的第i行所得到的矩陣.也就是把E的對角線上的第i個元素改為c.Ei,j:把E的第j行的c倍加到第i行上所得到的矩陣, 也

30、就是把E的位的元素改為c.命題 對矩陣作一次初等行變換相當于用一個相應的初等矩陣從左乘它.4. 矩陣方程和可逆矩陣 矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法,乘法的逆運算是解下面兩種基本形式的矩陣方程: AX=B. XA=B.這里假定A是行列式不為0的n階矩陣,在此條件下,這兩個方程的解都是存在并且唯一的.當B只有一列時,就是一個線性方程組.由克萊姆法則知它有唯一解.如果B有s列,設 B=,則 X也應該有s列,記X=,則有AXi=i,i=1,2,s,這是s個線性方程組.由克萊姆法則,它們都有唯一解,從而AX=B有唯一解.這些方程組系數矩陣都是A,可同時求解,即得的解法:將A和B并列作矩陣,對它作初等行變換,使

31、得A變?yōu)閱挝痪仃?此時B變?yōu)榻釾. 的解法:對兩邊轉置化為的形式:ATXT=BT.再用解的方法求出XT,轉置得X. 矩陣方程是歷年考題中常見的題型,但是考試真題往往并不直接寫成或的形式,要用恒等變形簡化為以上基本形式再求解. 可逆矩陣的定義與意義定義 設A是n階矩陣,如果存在n階矩陣B,使得AB=E, BA=E,則稱A為可逆矩陣.此時B是唯一的,稱為A的逆矩陣,通常記作A-1.如果A可逆,則A在乘法中有消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.； BA=0B=0；BA=CAB=C. 如果A可逆,則A在乘法中可移動:AB=CB=A-1C. BA=CB=CA-1由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:

32、AX=B的解X=A-1B . XA=B的解X= BA-1.這種解法想法自然,好記憶,但是計算量比初等變換法大. 矩陣可逆性的判別與性質定理 n階矩陣A可逆|A|0.證明 對AA-1=E兩邊取行列式,得|A|A-1|=1,從而|A|0. 因為|A|0,矩陣方程AX=E和XA=E都有唯一解.設B,C分別是它們的解,即AB=E, CA=E. 事實上B=C,于是從定義得到A可逆.推論 如果A和B 都是n階矩陣,則AB=EBA=E.于是只要AB=E一式成立,則A和B都可逆并且互為逆矩陣. 可逆矩陣有以下性質: = 1 * GB3 如果A可逆,則A-1也可逆,并且-1=A.AT也可逆,并且-1=T. 當c

33、0時, cA也可逆,并且-1=c-1A-1對任何正整數k, Ak也可逆,并且-1=k.規(guī)定可逆矩陣A的負整數次方冪A-k=-1=k. = 2 * GB3 如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且-1=B-1A-1.初等矩陣都是可逆矩陣,并且E-1= E, Ei-1=Ei, Ei,j-1= Ei,j. 逆矩陣的計算和伴隨矩陣 = 1 * GB3 計算逆矩陣的初等變換法當A可逆時, A-1是矩陣方程AX=E的解,于是可用初等行變換求A-1:這個方法稱為求逆矩陣的初等變換法.它比下面介紹的伴隨矩陣法簡單得多. = 2 * GB3 伴隨矩陣若A是n階矩陣,記Aij是|A|的位元素的代數余子式,規(guī)定A的伴隨

34、矩陣為 A11 A21 An1A*= A12 A22 An2 =TA1n A2n Amn 請注意,規(guī)定n階矩陣A的伴隨矩陣并沒有要求A可逆,但是在A可逆時, A*和A-1有密切關系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是對于可逆矩陣A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通過求A*來計算A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較, 伴隨矩陣法的計算量要大得多,除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.對于2階矩陣 a b * d -b c d = -c a ,因此當ad-bc0時, a b -1 d -b c d = -c a .伴隨矩陣的其它性質: = 1 * GB3

35、 如果A是可逆矩陣,則A*也可逆,并且-1= A/|A|=*. = 2 * GB3 |A*|=|A|n-1. = 3 * GB3 *=T. = 4 * GB3 *=cn-1A*. = 5 * GB3 *=B*A*；*=k. = 6 * GB3 當n2時,*=|A|n-2A； n=2時,*=A.二 典型例題1.計算題例1= T,=T, A= T,求A6.討論:一般地,如果n階矩陣A= T,則Ak=k-1A=k-1乘法結合律的應用:遇到形如T的地方可把它當作數處理. = 1 * GB3 1 -1 1T= -1 1 -1 ,求T.2003一 = 2 * GB3 設=T, A=T,求|aE-An|.

36、= 3 * GB3 n維向量=T, a0, A=E-T, A-1=E+a-1 T,求a. = 4 * GB3 n維向量=T, A=E- T, B=E+2 T,求AB. = 5 * GB3 A=E- T,其中,都是n維非零列向量,已知A2=3E-2A,求T. 例2 1 0 1設A = 0 2 0 ,求An-2An-1.1例3 1 0 0 設A = 1 0 1 ,證明當n1時An=An-2+A2-E. 求An.例4設A為3階矩陣, 1,2,3是線性無關的3維列向量組,滿足A1=1+2+3, A2=22+3, A3=22+33.求作矩陣B,使得A=B. 例5設3階矩陣A=,|A|=1,B=,求|B|

37、.例6 3維向量1,2,3,1,2,3滿足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7設A 是3階矩陣,是3維列向量,使得P=可逆,并且A3=3A-2A2.又3階矩陣B滿足A=PBP求B.求|A+E|.2 1 0 例83階矩陣A,B滿足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|. 0 0 1例93 -5 1設3階矩陣A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X -1 0 2 例101 1 -1設3階矩陣A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X. 1 -1 1 例114階矩陣A,B滿足ABA-1=BA

38、-1+3E,已知 1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. 1 0 1 0 0 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0 已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11. 2 1 3 0 0 -1例13 設1=T,2=T,3=T,矩陣A滿足A1= T, A2= T, A3= T,求A.2.概念和證明題例14設A 是n階非零實矩陣,滿足A*=AT.證明:|A|0.如果n2,則|A|=1.例15 設矩陣A=33滿足A*=A T,a11,a12,a13為3個相等的正數,則它們?yōu)?3. 1/3. . 例16設A 和B都是n階矩陣,C= A 0 ,則C*=0 B

39、 |A|A* 0 . |B|B * 0 . 0 |B|B * 0 |A|A* |A|B* 0 . |B|A* 0 . 0 |B|A* 0 |A|B* 例17設A是3階矩陣,交換A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 設A是3階可逆矩陣,交換A的1,2行得B,則 交換A*的1,2行得到B*. 交換A*的1,2列得到B*. 交換A*的1,2行得到-B*. 交換A*的1,2列得到-B*.例19 設A是n階可逆矩陣, 交換A的i,j行得到B. 證明B可逆. 求AB-1.例20 設n階矩陣A滿足A2+3A-2E證明A可逆,并且求A-1.證明對任何整數c,A-c

40、E可逆. 討論: 如果f=0,則 當f的常數項不等于0時,A可逆. f0時,A-cE可逆. 上述兩條的逆命題不成立.例21設是n維非零列向量,記A=E-T.證明 A2=AT =1.T =1A討論: 的逆命題也成立.例22 設A,B都是n階矩陣,證明E-AB可逆 E-BA可逆.例23 設3階矩陣A,B滿足AB=A+B. 證明A-E可逆. 設 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A. 0 0 2 例24 設A,B是3階矩陣, A可逆,它們滿足2A-1B=B-4E 證明A-2E可逆. 設 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A. 0 0 2 例25 設n階矩陣A,B滿足AB=aA+bB.其中ab0,證明

41、 A-bE和B-aE都可逆. A可逆 B可逆. AB=BA. 例26 設A,B都是n階對稱矩陣, E+AB可逆,證明-1A例27設A,B都是n階矩陣使得A+B可逆,證明 如果AB=BA,則B-1A=A-1B 如果A.B都可逆,則B-1A=A-1B 等式B-1A=A-1B例28設A,B,C都是n階矩陣,滿足B=E+AB,C=A+CA,則B-C為 E.-E. A. -A. 參考答案 1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 3 -3/2 1 = 1 * GB3 3. = 2 * GB3 a2. = 3 * GB3 -1. = 4 * GB3 E. = 5 * GB3 4.例2 O.例3 提示

42、: An=An-2+A2-EA n-2=A2-E A=A2-E.n=2k時, 1 0 0An = k 1 0 . k 0 1 n=2k+1時, 1 0 0An = k+1 0 1 . k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 . 1 1 3例5 2.例 6 4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-4 0 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 . -4 10 0例 10 1 1 0 0 1 1 . 1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 . 6 0 6 0 0 3 0 -1例 12 1 0 0 2 0 0 .6 -1 -1例 13

43、 2 -1 1 -4 -2 -5 . 例15 .例16 .例 17 0 1 1Q= 1 0 0 . 0 0 1例18 .E. 提示:用克萊姆法則.例如證明,即在E-AB可逆時證明齊次方程組X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 . 0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 . 0 0 -2 例25 提示:計算.例28 .第四講 向量組的線性關系與秩 一.概念復習1.線性表示關系設1,2,s是一個n維向量組.如果n維向量等于1,2,s的一個線性組合,就說可以用1,2,s線性表示.如果n維向量組1,2,t中的每一個都可以可以用1,2,s線性表示,就說向量1,2,t可

44、以用1,2,s線性表示.判別是否可以用1,2,s線性表示?表示方式是否唯一？就是問：向量方程x11+x22+xss=是否有解？解是否唯一？用分量寫出這個向量方程,就是以1,2,s為增廣矩陣的線性方程組.反之,判別以A為增廣矩陣的線性方程組是否有解？解是否唯一？的問題又可轉化為是否可以用A的列向量組線性表示?表示方式是否唯一？的問題.向量組之間的線性表示問題與矩陣乘法有密切關系: 乘積矩陣AB的每個列向量都可以表示為A的列向量組的線性組合,從而AB的列向量組可以用A的列向量組線性表示;反之,如果向量組1,2,t可以用1,2,s線性表示,則矩陣等于矩陣和一個st矩陣C的乘積. C可以這樣構造: 它

45、的第i個列向量就是i對1,2,s的分解系數.向量組的線性表示關系有傳遞性,即如果向量組1,2,t可以用1,2,s線性表示,而1,2,s可以用1,2,r線性表示,則1,2,t可以用1,2,r線性表示.當向量組1,2,s和1,2,t互相都可以表示時就說它們等價并記作1,2,s1,2,t.等價關系也有傳遞性.2. 向量組的線性相關性 定義線性相關性是描述向量組內在關系的概念,它是討論向量組1,2,s中有沒有向量可以用其它的s-1個向量線性表示的問題.定義 設1,2,s是n維向量組,如果存在不全為0的一組數c1,c2,cs使得 c11+c22+css=0,則說1,2,s線性相關否則就說它們線性無關.于

46、是,1,2,s線性相關還是無關也就是向量方程x11+ x22+xss=0有沒有非零解,也就是以為系數矩陣的齊次線性方程組有無非零解.當向量組中只有一個向量時,它相關就是它是零向量.兩個向量的相關就是它們的對應分量成比例. 性質 = 1 * GB3 當向量的個數s大于維數n時,1,2,s一定線性相關.如果向量的個數s等于維數n,則1,2,n線性相關|1,2,n|=0. = 2 * GB3 線性無關向量組的每個部分組都無關. = 3 * GB3 如果1,2,s線性無關而1,2,s,線性相關,則可用1,2,s線性表示. = 4 * GB3 如果可用1,2,s線性表示,則表示方式唯一1,2,s線性無關

47、. = 5 * GB3 如果1,2,t可以用1,2,s線性表示,并且ts,則1,2,t線性相關.推論 如果兩個線性無關的向量組互相等價,則它們包含的向量個數相等.3.向量組的極大無關組和秩 定義向量組的秩是刻畫向量組相關程度的一個數量概念.它表明向量組可以有多大的線性無關的部分組.定義 設1,2,s是n維向量組,是它的一個部分組.如果 = 1 * GB3 線性無關. = 2 * GB3 再擴大就線性相關. 就稱為1,2,s的一個極大無關組.條件 = 2 * GB3 可換為:任何I都可用線性表示,也就是與1,2,s等價.當1,2,s不全為零向量時,它就存在極大無關組,并且任意兩個極大無關組都等價

48、,從而包含的向量個數相等.定義如果1,2,s不全為零向量,則把它的極大無關組中所包含向量的個數是一個正整數稱為1,2,s的秩,記作r.如果1,2,s全是零向量,則規(guī)定r=0. 由定義得出: 如果r=k,則 = 1 * roman i1,2,s的一個部分組如果含有多于k個向量,則它一定的相關. = 2 * roman ii1,2,s的每個含有k個向量的線性無關部分組一定是極大無關組. 應用 = 1 * GB3 1,2,s線性無關 r=s. = 2 * GB3 可用1,2,s線性表示r=r.事實上若不可用1,2,s線性表示,則r=r+1.推論1:可用1,2,s唯一線性表示r=r=s.推論2:如果r

49、1,2,s=維數n,則任何n維向量都可以用1,2,s線性表示. = 3 * GB3 1,2,t可以用1,2,s線性表示r=r.推論:如果1,2,t可以用1,2,s線性表示,則 rr. = 4 * GB3 1,2,s和1,2,t等價 r= r= r.極大無關組和秩的概念可以推廣到向量集合上,所有性質仍然成立.4. 秩的計算,有相同線性關系的向量組兩個向量個數相同的向量組1,2,s,和1,2,s稱為有相同線性關系,如果向量方程x11+x22+xss=0和x11+x22+xss=0同解,即齊次線性方程組X=0和X=0同解.當1,2,s和1,2,s有相同線性關系時,它們的對應部分組有一致的線性相關性.

50、它們的極大無關組相對應,從而它們的秩相等.它們有相同的內在線性表示關系.例如,當A經過初等行變換化為B時, AX=0和BX=0同解,從而A的列向量組和B的列向量組有相同線性關系.于是它們的極大無關組相對應,秩相等.這樣,就產生了計算一個向量組1,2,s的秩和極大無關組的方法:把此向量組作為列向量組構造矩陣,用初等行變換把它化為階梯形矩陣B,則B的非零行數就是1,2,s的秩,B的各臺角所在列號對應的部分組是1,2,s的的一個極大無關組.如果A經過初等列變換化為B,則A的列向量組和B的列向量組是等價關系,雖然秩相等,但是極大無關組并沒有對應關系.5.矩陣的秩 定義一個矩陣A的行向量組的秩和列向量組

51、的秩相等,稱此數為矩陣A的秩,記作r.于是r=0A如果A是mn矩陣,則rMinm,n.當r=m時,稱A為行滿秩的; 當r=n時,稱A為列滿秩的.對于n階矩陣A,則行滿秩和列滿秩是一樣的,此時就稱A滿秩.于是:n階矩陣A滿秩r=n即A的行向量組無關|A|0A矩陣的秩還可以用它的非0子式來看.A的r階子式:任取 A的r行和r列,在它們的交叉位置上的元素所構成的行列式,如果它的值不為0,就稱為非0子式.命題 r就是A的非0子式的階數的最大值.即A的每個階數大于r的子式的值都為0,但是A有階數等于r的非0子式. 計算命題 = 1 * GB3 初等變換保持矩陣的秩. = 2 * GB3 階梯形矩陣的秩等

52、于它的非零行的個數. 矩陣秩的計算:用初等變換將其化為階梯形矩陣,則此階梯形矩陣的非零行數就是原矩陣的秩. 在矩陣運算中,矩陣的秩有性質 = 1 * GB3 r=r. = 2 * GB3 如果c不為0,則r=r. = 3 * GB3 rr+r. = 4 * GB3 rMinr,r. = 5 * GB3 當A可逆時,r=r或r. = 6 * GB3 如果AB=0,n為A的列數,則r+rn. = 7 * GB3 如果A列滿秩r等于列數,則r=r. = 8 * GB3 一般公式: r+rn+r.下面給出 = 5 * GB3 和 = 7 * GB3 在判別向量組的線性相關性和秩的計算問題上的應用.設向

53、量組1,2, ,s線性無關,向量組1,2, ,t可用1,2, ,m線性表示,表示矩陣為C,則 = 1 * roman i r=r. = 2 * roman ii 如果t=s ,則1,2, ,s線性無關 C可逆.令A=, B=,則B=AC, 并且r=列數s,用 = 7 * GB3 得到r=r. t=s時,C可逆r=r=s1,2, ,s線性無關.或直接用 = 5 * GB3 證明 = 2 * roman ii: C可逆時r=r=s,從而1,2, ,s線性無關.如果C不可逆,則rr6.矩陣的等價 兩個矩陣如果可以用初等變換互相轉化,就稱它們等價. 矩陣的等價的充分必要條件為它們類型相同,秩相等.二.

54、典型例題1.向量組秩的計算和應用例1a,b,c滿足什么條件時向量組1=,2=,3例2 已知,線性相關,并且a1,求a. 例3設1=,2=,3=,問a,b滿足什么條件時r=2?例4設1=,2=,3=,= = 1 * GB3 為何值時,可用1,2,3線性表示,并且表示方式唯一？ = 2 * GB3 為何值時,可用1,2,3線性表示,并且表示方式不唯一？ = 3 * GB3 為何值時,不可用1,2,3線性表示？例5設1=,2=,3=,1=,2=.問: c1,c2滿足什么條件時c11+c22可以用1,2,3線性表示?例6設1=,2=,3=,1=,2=.a 和k取什么值時,1+k2可用1,2,3線性表示

55、?寫出表示式.例7設1=,2=,3=,1=,2=,3=已知r=r,并且3可用1,2,3線性表示,求a,b.例8求常數a,使得向量組1=,2=,3=可由向量組1=,2=,3=線性表示,但是1,2,3不可用1,2,3線性表示. 例9 給定向量組1=,2=,3=和1=,2=,3=當a為何值時和等價? a為何值時和不等價?例10設1=,2=,3=,4=,5=.它們的下列部分組中,是極大無關組的有哪幾個?1,2,3. 1,2,4. 1,2,5. 1,3,4.2. 向量組秩的性質的應用例11已知1,2,3線性相關,而2,3,4線性無關,則1,2,3,4中,能用另外3個向量線性表示,而不能用另外3個向量線性

56、表示.例12已知r=r=3,r=4,求r例13已知可用1,2,s線性表示,但不可用1,2,s-1線性表示證明 = 1 * GB2 s不可用1,2,s-1線性表示； = 2 * GB2 s可用1,2,s-1,線性表示例141,2,3,線性無關,而1,2,3,線性相關,則A 1,2,3,c+線性相關. 1,2,3,c+線性無關. 1,2,3,+c線性相關. 1,2,s 可用1,2,s線性表示. 1,2,s可用1,2,s線性表示. 1,2,s 與1,2,s等價.和1,2,s等價.3.矩陣的秩例16 n階矩陣1 a a a a 1 a aA= a a 1 a a a a 1的秩為n-1,求a.例17設

57、 a b bA= b a b ,已知r+r=3,求a,b應該滿足的關系. b b a例18設 1 2 3 4 1 2 3 4A= 2 3 4 5 , B= 0 1 2 3 ,求rBA+2A 3 4 5 6 0 0 1 2 4 5 6 7 0 0 0 1例19 a b -3 b-1 a 13階矩陣A= 2 0 2 ,B= 0,已知r小于r和r,求a,b和3 2 -1 0 2 1 r.例20 設1,2,3線性無關,則線性無關： = 1 * GB2 1+2,2+3,3-1； = 2 * GB2 1+2,2+3,1+22+3； = 3 * GB2 1+22,22+33,33+1； = 4 * GB2

58、1+2+3,21-32+223,31+52-53 例21 設1,2,3線性無關,則線性相關： = 1 * GB2 1+2,2+23,3+41； = 2 * GB2 1-2,2-23,3-41； = 3 * GB2 1+2,2+3,33+21； = 4 * GB2 1-2,2-3, 3 -21 例22設A是mn矩陣, B是nm矩陣, 則當mn時,AB0. 當mn時,AB. 當nm時,AB|0. 當nm時, AB. 例23AB=0, A,B是兩個非零矩陣,則A的列向量組線性相關.B的行向量組線性相關. A的列向量組線性相關.B的列向量組線性相關. A的行向量組線性相關.B的行向量組線性相關. A的

59、行向量組線性相關.B的列向量組線性相關. 4.證明題例24設1,2,s是n維向量組.證明r=n的充分必要條件為:任何n維向量都可用1,2,s線性表示. 例25 設A是mn矩陣,證明r=1存在m維非零列向量=T和n維非零列向量=T,使得A= T.例26 設n階矩陣A的秩為1,證明A2 =trA.例27設A*為n階矩陣A的伴隨矩陣,則 n, 若r=n,r= 1, 若r=n-1,0, 若rn-1.例28 設A為n階矩陣,為n維列向量.正整數k使得Ak=0,但是Ak-10,證明, A, Ak-1線性無關.例29 證明rr+ r.例30 證明rr+r.例31 證明矩陣方程AX=B有解r=r.參考答案例1

60、 abc0.例2 1/2.例3 a=-1或b=0并且a0.例4 0和-3.=0. =-3.例5 2c1+c2=0. 例6 k=-1,a1.例7 a=15,b=5.例8 1.例9 a-1時等價, a=-1時不等價.例10 和.例11 1能,4不能.例12 4.例14 .例15 .例16 a=1/.例17 a=-2b0.例18 2.例19 a=1,b=2,r=1.例20 .例21 .例22 .例23 .第五講 線性方程組 一.概念復習1. 線性方程組的形式線性方程組除了通常的寫法外,還常用兩種簡化形式：矩陣式 AX=,.向量式 x11+x22+xss=, .2. 線性方程組解的性質 齊次方程組AX