輸油管線的優(yōu)化問題

1、第 輸油管線的優(yōu)化問題問題提出 1問題背景 某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。 （1）兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。若用共用管線還應(yīng)考慮共用管線與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情況。 （2）需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a=5，b=8，c=15，l=20

2、。 若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示： 工程咨詢公司 公司一 公司二 公司三 附加費(fèi)用（萬元/千米） 21 24 20 （3）為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費(fèi)用同上。 2問題分析 對(duì)于問題1:要設(shè)計(jì)輸油管線的最優(yōu)鋪設(shè)方案，根據(jù)共用管線與非共

3、有管線單位費(fèi)用是否相同以及是否有共用管線，找出費(fèi)用最少的鋪設(shè)方案，即是鋪設(shè)線路最短。所以，要是費(fèi)用最低，應(yīng)該設(shè)計(jì)鋪設(shè)線路最短的方案， 對(duì)于問題2：已知兩煉油廠的具體位置，求費(fèi)用最低的鋪設(shè)線路的方案，是一個(gè)非線性規(guī)劃問題。解決的問題是首先確定附加費(fèi)用的大小，然后確定非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。 對(duì)于問題3：在問題二的基礎(chǔ)上，改變目標(biāo)函數(shù)中相關(guān)系數(shù)即可得到最優(yōu)解。 3模型假設(shè) （1）假設(shè)B煉油廠離鐵路的距離大于等于A煉油廠的距離。 （2）車站的位置由方案最優(yōu)解所確定。 （3）鐵路線是筆直的； （4）管道的市廠價(jià)格穩(wěn)定； （5）兩煉油廠A、B及車站所在位置視為三個(gè)質(zhì)點(diǎn)； （6）三個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于同一平面內(nèi) 4符號(hào)

4、說明 A表示煉油廠1； B表示煉油廠2； E表示站點(diǎn)； x軸表示鐵道； a表示煉油廠A到鐵路線的垂直距離； b表示煉油廠B到鐵路線的垂直距離； c表示A、B間相對(duì)于鐵路的水平距離； z表示鋪設(shè)管道的路線總長(zhǎng)度； W表示鋪設(shè)管道所用的總費(fèi)用； 表示共用管線與非共用管線費(fèi)用相同時(shí)每千米的單價(jià)； 表示共用管線與非共用管線費(fèi)用不相同時(shí)，共用管線每千米的單價(jià)； 表示共用管線與非共用管線費(fèi)用不同時(shí)，非共用管線每千米的單價(jià)； 5模型的建立與求解 5.1問題1模型的建立與求解 由兩廠A、B向鐵道做垂線，A與B垂線間的距離為c，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖1至圖4）,設(shè)點(diǎn)A，B。 5.1.1當(dāng)時(shí),輸油管線的設(shè)計(jì)方案

5、 當(dāng)c=0時(shí)，煉油廠A，B在一條垂直于鐵路的直線上，因此得方案1（如圖1）：將車站建在坐標(biāo)原點(diǎn),鋪設(shè)共用管線OA及非共用管線AB。此時(shí)鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小為，即鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省。 當(dāng)共用管線與非共用管線單位費(fèi)用相同時(shí)，最少費(fèi)用為： 當(dāng)共用管線與非共用管線單位費(fèi)用不同時(shí)，最少費(fèi)用為：0 圖1圖2 5.1.2當(dāng)時(shí)，輸油管線的設(shè)計(jì)方案 （1）若不鋪設(shè)共用管線 如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于x軸(鐵路線)的對(duì)稱點(diǎn)，連接B與X軸交于點(diǎn)E，易求E,依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知EA與EB長(zhǎng)度之和最小。因此可得方案2：如圖2,將車站建在E點(diǎn),鋪設(shè)非共用管線EA及EB。此時(shí)鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小為，即鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省。最

6、少費(fèi)用為： （2）若鋪設(shè)共用管線 問題的目標(biāo)是鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小，因此鋪設(shè)管線共用管線最合理的方式是共用管線與鐵路線垂直。如圖3，設(shè)三管線的聯(lián)結(jié)點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作平行于x軸的直線L。首先在在直線L上尋找使QA與QB長(zhǎng)度最小的點(diǎn)Q，與（1）同理作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)B與直線L交于點(diǎn)Q,Q即為所尋找點(diǎn)。 圖3圖4 因此，鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度為： ，此時(shí)應(yīng)有，令 得駐點(diǎn)。 當(dāng)，即時(shí)，z取得最小值。此時(shí)易求,。 因此可得方案3：將車站建在點(diǎn)E（）,鋪設(shè)共用管線EQ及非共用管線QA與QB。此時(shí)鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小為，即鋪設(shè)管線總費(fèi)用最??； 共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位費(fèi)用相同 共用管線單位費(fèi)用與非共用

7、管線單位費(fèi)用不同時(shí) 當(dāng)，即時(shí),，所以z在y上為增函數(shù)，所以當(dāng)y=0時(shí)，z取得最小值。此時(shí)按方案2鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省。 當(dāng)，即時(shí),，所以z在y上為減函數(shù)，故當(dāng)y=a時(shí)，z取得最小值。因此可得方案4：如圖4，將車站建在坐標(biāo)原點(diǎn),鋪設(shè)共用管線OA及非共用管線AB。此時(shí)鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度最小為，即鋪設(shè)管線總費(fèi)用最省。 共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位費(fèi)用相同時(shí) 共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位費(fèi)用不同時(shí) 綜上可得，針對(duì)a、b、c不同關(guān)系下的各種情形，得管線鋪設(shè)的最佳方案如下： a、b、c的關(guān)系 最佳方案選擇 方案4 方案3 方案2 方案1 最低費(fèi)用W （3）若鋪設(shè)共用管線且共用管線單位費(fèi)用與非共用管線單位

8、費(fèi)用不同 設(shè)共用管線單位費(fèi)用為非共用管線單位費(fèi)用的倍，即=。 運(yùn)用（2）所用方法同理可得各種情形下管線鋪設(shè)的最佳方案：求得 ，E（，0），Q(,) C的取值 方案選擇 方案4 方案3 方案2 方案1 最低費(fèi)用W 5.2問題2模型的建立與求解 5.2.1對(duì)各因素權(quán)重的確定 通過引入兩個(gè)因素對(duì)附加費(fèi)用影響的程度大小的比值得到成對(duì)比較矩陣如下： 其中=2即表示公司一和公司二對(duì)附加費(fèi)用的影響之比為2:1；=1即表示公司二和公司三對(duì)附加費(fèi)用的影響之比為1:1。求出對(duì)比矩陣的最大特征根為，對(duì)應(yīng)的特征向量歸一后為 即3種因素在弊端指數(shù)中所占的權(quán)重，由此我們可以得到 所以附加費(fèi)用為： 5.2.2模型建立與求解 圖6圖7 設(shè)點(diǎn)，則鋪設(shè)管線的總長(zhǎng)度為（如圖6）： 建立目標(biāo)函數(shù)：Min 約束條件： 輸入lingo2（見附錄）程序得到：萬元（如圖7)。 5.3問題3的模型建立與求解 5.3.1模型建立 如圖6所示，建立目標(biāo)函數(shù)