彈性力學(xué)有限元法

1、彈性力學(xué)有限元法第1頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1813.1有限元法求解問(wèn)題的基本步驟問(wèn)題及求解域定義連續(xù)體離散化 即有限元網(wǎng)格劃分，將連續(xù)體劃分為有限個(gè)具有一定形狀的單元組合體，相鄰單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)相連接。單元分析（1）選擇位移模式位移法：選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。（應(yīng)用較多）力法：選擇節(jié)點(diǎn)力為基本未知量?；旌戏ǎ喝∫徊糠至鸵徊糠止?jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。第2頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/182（2）分析單元的力學(xué)性質(zhì) 列出單元節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式。應(yīng)用幾何方程和物理方程來(lái)建立力和位移的方程式，導(dǎo)出單元

2、剛度矩陣。節(jié)點(diǎn)載荷和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式為： 為單元?jiǎng)偠染仃嚒＃?）計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力：用等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)代替所有在單元上的力。第3頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1834. 組成物體的整體方程組 由單元?jiǎng)偠染仃嚇?gòu)成整體剛度矩陣。對(duì)總體建立方程：5. 求解有限元方程和結(jié)果解釋 根據(jù)邊界條件和初始條件求解上式，得到節(jié)點(diǎn)位移。第4頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1843.2 連續(xù)體離散化 結(jié)構(gòu)的離散化也稱為有限元網(wǎng)格劃分，即將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且只在節(jié)點(diǎn)上彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域。 常用的單元類型：桿單元

3、 一維單元，位移僅是軸向座標(biāo)的函數(shù)。第5頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/185平面單元 二維單元，單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移僅與兩個(gè)座標(biāo)方向的變量有關(guān)。第6頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/186 三角形單元：采用線性位移模式，在整個(gè)單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變值為常數(shù)，所以也稱為常應(yīng)變單元或常應(yīng)力單元。 矩形單元：采用雙線性位移模式，單元內(nèi)的應(yīng)力是線性變化的。3. 薄板彎曲單元和薄板單元第7頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1874. 多面體單元第8頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)

4、37分，星期三2022/9/1885. 等參數(shù)單元：?jiǎn)卧獌?nèi)任一點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系恰好和該點(diǎn)的坐標(biāo)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系相同。 任意四邊形的邊一般不平行于坐標(biāo)軸，沿單元邊的位移將按拋物線變化，而不是線性變化。 以直角坐標(biāo)系XOY下的任意直邊四邊形單元單元的形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，用等分它四個(gè)邊的兩條直線為坐標(biāo)軸，建立一個(gè)非正交的局部座標(biāo)系 ，使單元邊界上的 、 是 ，這樣在局部坐標(biāo)系中構(gòu)成一個(gè)矩形單元。矩形單元的節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部任一點(diǎn)都與原總體坐標(biāo)系中的單元的節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部點(diǎn)形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?？傮w坐標(biāo)系適用于整個(gè)結(jié)構(gòu)，局部坐標(biāo)系只適用于具體某個(gè)單元。第9頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星

5、期三2022/9/1896. 軸對(duì)稱單元： 幾何形狀是回轉(zhuǎn)體，所受約束和外力對(duì)稱于回轉(zhuǎn)軸的機(jī)械機(jī)構(gòu)稱為軸對(duì)稱問(wèn)題。對(duì)此類問(wèn)題一般采取柱坐標(biāo)系來(lái)描述應(yīng)力和變形。 對(duì)于此類問(wèn)題采用軸對(duì)稱單元。劃分網(wǎng)格的基本原則：（1）網(wǎng)格數(shù)量：網(wǎng)格數(shù)量增加，計(jì)算精度會(huì)有所提高。（2）網(wǎng)格疏密：在結(jié)構(gòu)不同處采用不同的網(wǎng)格形式。（3）單元階次：網(wǎng)格數(shù)量較少時(shí)，計(jì)算精度差別較大，采用高階單元。網(wǎng)格數(shù)量較多時(shí)，采用兩種單元的精度相差不大，采用低階單元計(jì)算量降低。第10頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1810（4）網(wǎng)格質(zhì)量：網(wǎng)格幾何形狀的合理性，網(wǎng)格質(zhì)量的好壞會(huì)影響計(jì)算精度，對(duì)于太差的

6、網(wǎng)格形狀程序?qū)?huì)自動(dòng)停止計(jì)算。（5）網(wǎng)格分界面和分界點(diǎn)：結(jié)構(gòu)中一些特殊位置的界面或特殊位置的點(diǎn)應(yīng)分為網(wǎng)格邊界或節(jié)點(diǎn)。（6）位移協(xié)調(diào)性：一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)必須也是相鄰單元的節(jié)點(diǎn)，只有這樣單元上的力和力矩才能夠通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞到相鄰單元。（7）網(wǎng)格布局：對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)應(yīng)該劃分對(duì)稱單元。（8）節(jié)點(diǎn)和單元編號(hào)：一般情況下程序自動(dòng)編號(hào)。第11頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/18113.3 單元分析單元的插值函數(shù) 如果彈性體內(nèi)的位移分量已知，則應(yīng)變分量和應(yīng)力分量也可以確定了。 幾何方程 虎克定律第12頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1812

7、 對(duì)于整體劃分單元后，在每個(gè)單元的局部范圍里可以采用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表達(dá)單元的真實(shí)位移，把各單元的位移函數(shù)連接起來(lái)，就可以近似表示整個(gè)區(qū)域的真實(shí)的位移函數(shù)。第13頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1813 在離散體中任取一個(gè)單元，三個(gè)節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蝽樞蚓幪?hào)為i，j，m。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別表示為（xi，yi），（xj，yj），（xm，ym）。第14頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1814 對(duì)于彈性力學(xué)平面問(wèn)題，一個(gè)三角形單元上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)有2個(gè)位移分量，則三角形單元共有6個(gè)自由度： 。三角形單元的節(jié)點(diǎn)位移矢量是：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)

8、力矢量是：第15頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1815 單元分析的基本任務(wù)是建立單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式：式中 是6*6的矩陣，稱為單元?jiǎng)偠染仃嚒?將單元的位移分量u，v取為坐標(biāo)x，y的多項(xiàng)式，且位移場(chǎng)函數(shù)u，v在三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值應(yīng)該等于這三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的六個(gè)位移分量。即有：第16頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1816在i，j，m三點(diǎn)應(yīng)該有：第17頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1817由上式可以確定 的值。將其帶入（1）式就可以得到用單元節(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移模式。第18

9、頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1818N稱為形函數(shù)矩陣或插值函數(shù)矩陣。插值函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）在節(jié)點(diǎn)上插值函數(shù)的值有：（2）在單元內(nèi)任一點(diǎn)各插值函數(shù)的和等于一。第19頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1819線性單元平面單元立體單元總體、局部和自然坐標(biāo)數(shù)值積分：高斯勒讓德多項(xiàng)式ANSYS實(shí)例第20頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/18203.1 一維單元形函數(shù)形函數(shù)在有限元分析中,扮演非常主要的角色. 除作為元素(單元)的內(nèi)插函數(shù),將元素內(nèi)的位移或溫度分布,以節(jié)點(diǎn)位移或節(jié)點(diǎn)溫度表

10、示外,在余量法中的迦遼金法中,亦可作為加權(quán)函數(shù)來(lái)用. 此外,亦可將分布載荷轉(zhuǎn)換為集中力與彎矩,分別施加在各節(jié)點(diǎn)上.形函數(shù)根據(jù)其多項(xiàng)式的冪次,分為一次、二次、三次與高次等。第21頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1821位移沿著單元的分布可以用一個(gè)線性函數(shù)近似。如圖所示。第22頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1822一維一次元素的形函數(shù)中，函數(shù)值沿單一坐標(biāo)軸以線性變化。假設(shè)位移函數(shù)沿x軸線性變化，位移函數(shù)uu(x)可寫成: u=a1+a2x向量形式: 假設(shè)在i、j節(jié)點(diǎn)的位移值分別為ui和uj , 有: u=ui 在X=Xi

11、處 u=uj 在X=Xj處第23頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1823將節(jié)點(diǎn)的值帶入線性方程將產(chǎn)生兩個(gè)方程和兩個(gè)未知量：求解未知量a1和a2得到：第24頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1824由節(jié)點(diǎn)的值表示的單元的位移分布為：改寫一下形式得到：定義形函數(shù)： 其中l(wèi)為單元長(zhǎng)度。第25頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1825由形函數(shù)表示的單元的位移分布為：寫成矩陣形式：可以使用形函數(shù)和相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)值來(lái)表示給定單元上的任意的未知量的變化。第26頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3

12、7分，星期三2022/9/1826形函數(shù)的性質(zhì)在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上值為1,而在相鄰節(jié)點(diǎn)上值為0. 和 和2.形函數(shù)的和為1。第27頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1827形函數(shù)對(duì)于x導(dǎo)數(shù)的和為0第28頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1828實(shí)例（a）懸臂梁在X4cm處的溫度由單元（2）來(lái)表示：第29頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1829（b）懸臂梁在X=8cm處的溫度由單元（3）來(lái)表示：對(duì)于這個(gè)例子，注意 和 的區(qū)別。第30頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三202

13、2/9/1830假設(shè)承受的是軸向負(fù)荷, 應(yīng)用線性單元, 柱體的垂直位移由下式確定.AB第31頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1831（a）應(yīng)用總體坐標(biāo)Y，點(diǎn)A的位移由單元（1）表示：（b）點(diǎn)B的位移由單元（4）表示：第32頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/18323.2 一維三節(jié)點(diǎn)單元一維三節(jié)點(diǎn)單元用二次函數(shù)代替線性函數(shù)要求使用三個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)定義一個(gè)單元,這是因?yàn)橹辽僖腥齻€(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)二次函數(shù).第三個(gè)點(diǎn)可以取在單元的中點(diǎn).第33頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1833如單元的溫度分布

14、可以表示為:并且節(jié)點(diǎn)的值為:T=Ti 在X=Xi處T=Tk 在X=Xk處T=Tj 在X=Xj處第34頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1834產(chǎn)生的三個(gè)方程和三個(gè)未知量:求解c1，c2和c3，整理后得到由節(jié)點(diǎn)的值和形函數(shù)表示的單元溫度分布：將以上表達(dá)式寫成矩陣形式為：第35頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1835這里形函數(shù)為：一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于給定單元，由節(jié)點(diǎn)的值表示的參數(shù)變化 可以寫為：第36頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1836對(duì)于給定單元節(jié)點(diǎn)的位移變化:在形函數(shù)的性質(zhì)中,二次形函

15、數(shù)關(guān)于X的導(dǎo)數(shù)之和不為零.第37頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/18373.3 一維四節(jié)點(diǎn)單元 在有限元公式中，二次插值提供了較為精確的結(jié)果。然而，如果需要更高的精度，可以使用更高階的插值函數(shù)，例如三次多項(xiàng)式。這樣可以使用三次函數(shù)表示給定變量的空間變化。用三次函數(shù)代替二次函數(shù)，要求使用四個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)定義一個(gè)單元，這是因?yàn)橹辽僖兴膫€(gè)節(jié)點(diǎn)才能確定一個(gè)三階多項(xiàng)式。單元被分成等長(zhǎng)的三段。四個(gè)節(jié)點(diǎn)的取法如圖所示。應(yīng)用三次近似考慮上例，典型單元的溫度分布可以表示為：第38頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1838第39頁(yè)，共58頁(yè)，2

16、022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1839并且節(jié)點(diǎn)的值為： 在 處 在 處 在 處 在 處由節(jié)點(diǎn)的值和形函數(shù)表示的單元溫度分布：寫成矩陣的形式為：第40頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1840形函數(shù)為:第41頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1841當(dāng)插值函數(shù)的階數(shù)增加時(shí),可以用拉格朗日插值代替以上的方法來(lái)得到形函數(shù):對(duì)于三次插值函數(shù),每個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的形函數(shù)可以用三個(gè)函數(shù)的乘積表示.函數(shù)的乘積在給定的節(jié)點(diǎn)上為1,而在其他節(jié)點(diǎn)上為0.如考慮節(jié)點(diǎn)i:第42頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星

17、期三2022/9/1842若將X=Xj X=Xk X=Xm代入方程, 函數(shù)Si的值為零.當(dāng)在給定節(jié)點(diǎn)上計(jì)算形函數(shù)時(shí),即X=Xi時(shí),函數(shù)的值為1:第43頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1843由節(jié)點(diǎn)值表示的三次插值函數(shù)任意參數(shù)的變化可以表示為:三次形函數(shù)性質(zhì):形函數(shù)在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上值為1,而在另一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)上值為0;如果對(duì)形函數(shù)求和,結(jié)果為1;對(duì)三次形函數(shù)的求導(dǎo)將得到二次的結(jié)果.第44頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/18443.4整體、局部和自然坐標(biāo) 在有限元建模中，可以使用幾個(gè)參考系。整體坐標(biāo)用來(lái)表示每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置和每個(gè)單

18、元的方向，并用來(lái)施加邊界條件和負(fù)荷。另一方面，需要使用局部和自然坐標(biāo)系，以簡(jiǎn)化計(jì)算。對(duì)于一維單元，整體坐標(biāo)X和局部坐標(biāo)x的關(guān)系為：第45頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1845 在一維一次形函數(shù)的表達(dá)式中帶入由局部坐標(biāo)x表示的X有：第46頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/18463.4.1 一維線性自然坐標(biāo) 自然坐標(biāo)是局部坐標(biāo)的無(wú)量綱形式。使用自然坐標(biāo)容易在上限1和下限1之間積分。令：這里x是局部坐標(biāo)，局部坐標(biāo)與自然坐標(biāo)的關(guān)系如圖所示。第47頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1847 通過(guò)將由 表示的x帶入形函數(shù)的表達(dá)式能夠得到自然線性形函數(shù)。自然線性形函數(shù)具有線性形函數(shù)相同的性質(zhì)。第48頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/18483.4.2 一維自然二次和三次形函數(shù)將 帶入形函數(shù)的表達(dá)式得到二次自然形函數(shù)為：第49頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/1849 一維三次自然形函數(shù)為：第50頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三2022/9/18503.5 數(shù)值積分：高斯-勒讓德多項(xiàng)式 高斯-勒讓得積分是用來(lái)計(jì)算不等距離點(diǎn)上的已知函