拉普拉斯方程_第1頁
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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)兩個自變量的具有以下形式：解析函數(shù)的實部和虛部均滿足。換言之，若z=x+iy，并且那么f(z)是解析函數(shù)的是它滿足下列柯西-黎曼方程：上述方程繼續(xù)求導(dǎo)就得到所以u滿足。類似的計算可推得v同樣滿足拉普拉斯方程。反之，給定一個由解析函數(shù)（或至少在某點及其鄰域內(nèi)解析的函數(shù)）f(z)的實部確定的，若寫成下列形式：則等式成立就可使得柯西-黎曼方程得到滿足。 上述關(guān)系無法確定，只能得到它的微增量表達式：滿足拉普拉斯方程意味著滿足可積條件：所以可以通過一個線積分來定義?？煞e條件和斯托

2、克斯定理的滿足說明線積分的結(jié)果與積分經(jīng)過的具體路徑無關(guān)，僅由起點和終點決定。于是，我們便通過復(fù)變函數(shù)方法得到了和這一對拉普拉斯方程的解。這樣的解稱為一對共軛。這種構(gòu)造解的方法只在局部（復(fù)變函數(shù)f(z)）的解析域內(nèi)）有效，或者說，的積分路徑不能圍繞有f(z)的奇點。譬如，在極坐標(biāo)平面(r,)上定義函數(shù)那么相應(yīng)的解析函數(shù)為在這里需要注意的是，極角僅在不包含原點的區(qū)域內(nèi)才是單值的。拉普拉斯方程與解析函數(shù)之間的緊密聯(lián)系說明拉普拉斯方程的任何解都無窮階可導(dǎo)（這是解析函數(shù)的一個性質(zhì)），因此可以展開成冪級數(shù)形式，至少在不包含奇點的圓域內(nèi)是如此。這與的解形成鮮明對照，后者包含任意函數(shù)，其中一些的可微分階數(shù)是很小的。冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)之間存在著密切的關(guān)系。如果我們將函數(shù)f在復(fù)平面上以原點為中心，R為半徑的圓域內(nèi)展開成冪

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