非線性動(dòng)力分析方法

1、非線性動(dòng)力分析方法第1頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art ComputationOutline一、非線性動(dòng)力系統(tǒng)二、經(jīng)典非線性測量方法三、例子四、小結(jié)第2頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)1.線性與非線性 線性方程： y(t)=a*t+b1 非線性方程：Y(t)=cos(t)+b2;Y(t)=t2+b3 藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第3頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)2.加入動(dòng)力學(xué)行為 記憶效應(yīng)（與t相關(guān)）： 無記憶效應(yīng)

2、（與t無關(guān)）： 藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第4頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)混沌： 混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第5頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)典型非線性方程：人口模型：x(t+1)=k*x(t)*(1-x(t)藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第6頁，共28頁，2022年，5

3、月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)混沌二分叉圖：藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第7頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)Lorenz方程組：藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第8頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)3.吸引子及其特性吸引子 能量耗散系統(tǒng)最終收縮到的一種定常狀態(tài)。這是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)在t 時(shí)所呈現(xiàn)的與時(shí)間無關(guān)的定態(tài)，并且不管選取什么樣的初始值其終值的定態(tài)只有一個(gè)，也就是說終值與初始值無關(guān)。這類吸引子也稱平庸吸引子。 如：阻尼單擺有不動(dòng)點(diǎn)吸引

4、子，范德玻耳方程有極限環(huán)吸引子，等等。藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第9頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四a.Point attractor 靜止在定態(tài)藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第10頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)3.吸引子及其特性 b.Limit cycle 周期性運(yùn)動(dòng)藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第11頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)3.吸引子及其特性 c.Torus 準(zhǔn)周期 不可通約

5、藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第12頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)奇怪吸引子 相對(duì)于平庸吸引子而言，它們的特點(diǎn)之一是終態(tài)值與初始值密切相關(guān)，或者說對(duì)初始值具有極端敏感性；初始取值的細(xì)微差別可能會(huì)導(dǎo)致完全不同的結(jié)果，這時(shí)的吸引子毫無周期可言，即所謂混沌。藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第13頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)3.吸引子及其特性 d.Chaotic attractor 具有收斂性 無周期 分型結(jié)構(gòu) “奇怪吸引子”藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mi

6、nd Art Computation第14頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四一 非線性動(dòng)力系統(tǒng)高維吸引子藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第15頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四二 經(jīng)典非線性測量方法1.Lorenz 散點(diǎn)圖藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第16頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四二 經(jīng)典非線性測量方法2.Lyapunov 指數(shù) Lyapunov 指數(shù)用于判斷一個(gè)系統(tǒng)是否屬于混沌系統(tǒng)。系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜中存在正值,則表明該系統(tǒng)具有混沌特征。因此,

7、只要系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜中最大的Lyapunov 指數(shù)為正,則該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第17頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四二 經(jīng)典非線性測量方法藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation設(shè) 為多維相空間中兩點(diǎn)的初始距離，經(jīng) n 次迭代后兩點(diǎn)的距離為：式中指數(shù) li 值可正可負(fù)。 表示沿該方向擴(kuò)展， 表示沿該方向收縮。在經(jīng)過一段時(shí)間(數(shù)次迭代)以后，兩個(gè)不同李雅普諾夫指數(shù)值將使相空間中原來的圓演變?yōu)闄E圓。第18頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四二 經(jīng)典非線性測量方

8、法藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation 穩(wěn)定體系的相軌線相應(yīng)于趨向某個(gè)平衡點(diǎn)，如果出現(xiàn)越來越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，則體系是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)只要有一個(gè)正值的就可出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。 判別一個(gè)非線性系統(tǒng)是否存在混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要檢查它的最大李雅普諾夫指數(shù) l 是否為正值。 第19頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation 吸引子可存在于高維相空間內(nèi)。在這相空間中大于零的李雅普諾夫指數(shù)可能不止一個(gè)，這樣體系的運(yùn)動(dòng)將為更復(fù)雜。人們稱高維相空間中有多個(gè)正值指數(shù)的混沌為超混沌。推廣到高維空間后，由指數(shù) 的值決定的各種類型的吸

9、引子歸納如下： 吸引子類型 維數(shù)不動(dòng)點(diǎn) D = 0極限環(huán)D = 1二維環(huán)面D = 2三維環(huán)面D = 2奇怪吸引子（混沌）D = 23（非整數(shù)）超混沌D = 高于3非整數(shù)第20頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四二 經(jīng)典非線性測量方法3.相關(guān)維度 C(r)為吸引子上兩個(gè)隨機(jī)點(diǎn)之間距離小于給定距離r的似然估計(jì)。是r的函數(shù)藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第21頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四二 經(jīng)典非線性測量方法藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第22頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分

10、，星期四二 經(jīng)典非線性測量方法4.K熵 K熵（柯爾莫哥洛夫熵） S熵（香農(nóng)熵，信息論） 一個(gè)吸引子的K熵是它（吸引子）所表示的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的信息損失率。 等于該系統(tǒng)具有的所有正Lyapunov指數(shù)之和。 藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第23頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四二 經(jīng)典非線性測量方法在隨機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，K熵是無界的；在規(guī)則運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，K熵為零；在混沌運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，K熵大于零，K熵越大，那么信息的損失速率越大，系統(tǒng)的混沌程度越大，或者說系統(tǒng)越復(fù)雜藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第24頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四三 例子正常人與癲癇發(fā)作時(shí)的比較1.EEG &2.相空間軌跡藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第25頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)35分，星期四三 例子3.相關(guān)維度藝術(shù)認(rèn)知與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室 Mind Art Computation第26頁，共28頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)3