三年級(jí)數(shù)學(xué)幾何專題講義（共5講）-第4講 幾何圖形計(jì)數(shù) 全國(guó)通用（含答案）

1、圖形計(jì)數(shù)圖形計(jì)數(shù)知識(shí)要點(diǎn)圖形規(guī)律問題分三步考慮：1）圖形的基本組成的確定；2）圖形變化規(guī)律確定；3）缺失圖形確定。圖形規(guī)律問題分三步考慮：1）圖形的基本組成的確定；2）圖形變化規(guī)律確定；3）缺失圖形確定。圖形基本組成的確定需注意的要點(diǎn)：圖形的形狀、顏色、位置、大小、數(shù)量等。圖形計(jì)數(shù)的關(guān)鍵在于找出常見的計(jì)數(shù)依據(jù)，通常把復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的線段計(jì)數(shù)最為常用。圖形計(jì)數(shù)基本公式：一條線段上有個(gè)點(diǎn)（包含線段的兩個(gè)端點(diǎn)），那么這條線段共包含的線段數(shù)為：條。兩條共端點(diǎn)的射線確定一個(gè)角（大于小于），假設(shè)由某點(diǎn)引出條射線（任意兩條射線均不在同一直線上），那么這條射線可以確定的角（大于小于）的個(gè)數(shù)為個(gè)。網(wǎng)格

2、狀圖形中，長(zhǎng)方形（包含正方形）的個(gè)數(shù)，等于相鄰兩條邊上線段數(shù)的乘積。一般的，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成等份，寬被分成等份（，每小格均為相等的正方形），那么這個(gè)長(zhǎng)方形中正方形的總數(shù)為：數(shù)線段請(qǐng)數(shù)出下圖中線段的總條數(shù)。法：我們規(guī)定：把相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，我們可以這樣分類數(shù)：由條基本線段構(gòu)成的線段有：、 條 由條基本線段構(gòu)成的線段有：、 條由條基本線段構(gòu)成的線段有：、 條由條基本線段構(gòu)成的線段有：、 條由條基本線段構(gòu)成的線段有： 條總數(shù)條 法：按線段的起點(diǎn)分類（注意保持方向的一致），如右圖以點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：、 條以點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：、 條以點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：、 條以點(diǎn)為共同左

3、端點(diǎn)的線段有：、 條以點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有： 條總數(shù)條 法：線段上共有個(gè)點(diǎn)，那么應(yīng)該共有條線段。【小結(jié)】?jī)牲c(diǎn)確定一條線段，假設(shè)某條線段上有個(gè)點(diǎn)（包含線段的兩個(gè)端點(diǎn)），那么這條線段共包含的線段數(shù)為條。數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少條線段？水平方向，有（條），豎直方向有（條），兩條對(duì)角線上有（條）線段，所以共有（條）線段。請(qǐng)問下圖有多少條線段？五角星每條邊上都有條線段，那么除去相接的那條線段，兩個(gè)五角星各條線 段，而兩個(gè)五角星相接的那條線段上有（條），由此可得此圖共有線段 （條）。數(shù)一數(shù)下圖一共有多少條線段？橫向線段：（條）； 同樣的，斜向左與斜向右的線段條數(shù)也均為條，那么此圖形線段總數(shù)為：（條）。數(shù)一

4、數(shù)下圖中共有多少條線段？橫線段：（條）； 豎線段：（條）； 因此總線段條數(shù)為：（條）。數(shù)長(zhǎng)方形數(shù)一數(shù)：下圖中有幾個(gè)長(zhǎng)方形（包括正方形）？（或）邊上的條線段中每一條對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)均為（或）邊上的線段個(gè)數(shù)個(gè)，也就是說整個(gè)圖形中的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為（個(gè)）?！拘〗Y(jié)】網(wǎng)格狀圖形中，長(zhǎng)方形（包含正方形）的個(gè)數(shù)，等于相鄰兩條邊上線段數(shù)的乘積。圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形（包括正方形）？圖1-7-1 圖1-7-1圖中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）； 圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形（包括正方形）？圖1-7-2圖1-7-2添加一條線段后（如圖1-7-1）增加了個(gè)長(zhǎng)方形；共60+5=65圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形（包括正方形）？ 圖1-7-3 圖1-7-3

5、法：按所含寬邊的線段長(zhǎng)度分類統(tǒng)計(jì)： 以為寬邊長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形有：（個(gè)）； 以為寬邊長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形有：（個(gè)）； 以為寬邊長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形有：（個(gè)）； 以為寬邊長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形有：（個(gè)）； 以為寬邊長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形有：（個(gè)）； 以為寬邊長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形有：（個(gè)）； 由此可得圖中長(zhǎng)方形總數(shù)為：（個(gè)）。法：再增加兩條線段后（如原圖）增加了（個(gè)）長(zhǎng)方形；由此可得圖中長(zhǎng)方形總數(shù)為：（個(gè)）。下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？長(zhǎng)方形中包含的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；加上之后增加的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；最后再加上之后又增加的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；綜上可得，此圖形中包含的長(zhǎng)方形總數(shù)為：（個(gè)）。下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？把圖中的長(zhǎng)方形分為三部分來計(jì)算： 去

6、掉長(zhǎng)方形后圖中有長(zhǎng)方形：（個(gè)）； 去掉長(zhǎng)方形后圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)也為（個(gè)）； 兩部分共同構(gòu)成的長(zhǎng)方形有（個(gè)）； 因此，圖中長(zhǎng)方形的總數(shù)為：（個(gè)）。數(shù)正方形數(shù)一數(shù)：下圖中有幾個(gè)正方形？法：設(shè)最小的基本正方形邊長(zhǎng)為，那么邊長(zhǎng)為的正方形有個(gè)，邊長(zhǎng)為的正方形有個(gè)， 邊長(zhǎng)為的正方形有個(gè)，共個(gè)即（個(gè)）。法：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成等份，寬分成等份，那么正方形總數(shù)為：（個(gè)）【小結(jié)】一般的，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成等份，寬被分成等份（），那么這個(gè)長(zhǎng)方形中正方形的總數(shù)為：（個(gè)）。下圖中共有多少個(gè)正方形？水平方向的正方形有：由一個(gè)小正方形組成的正方形有個(gè)，由四個(gè)小正方形組成的正方形有個(gè)； 傾斜的正方形有：由一個(gè)小正方形組成的正

7、方形有個(gè)，由四個(gè)小正方形組成的正方形有個(gè)，由九個(gè)小正方形組成的正方形有個(gè)。那么此圖總共有正方形（個(gè)）。如圖所示，平面上有個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)上都釘上釘子，形成的正方形釘陣，現(xiàn)在有足夠的橡皮筋，請(qǐng)問能在這個(gè)正方形釘陣上套出多少個(gè)正方形？圖1-8-2 圖1-8-2由于正方形需要我們確定之后再數(shù)出來，那么首先我們要考慮的是如何確定正方形的邊長(zhǎng)和頂點(diǎn)。如圖所示的正方形可以套出（個(gè)），除此之外，我們還能套出如圖所示的正方形個(gè)，以及如圖所示的正方形個(gè)，那么可得此正方形釘陣共可套出正方形（個(gè)）。如圖所示為的正方形網(wǎng)格由個(gè)的小正方形構(gòu)成，網(wǎng)格的格點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)。那么，以網(wǎng)格的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形一共有個(gè)。圖1-8

8、-2圖1-8-2為了方便，以網(wǎng)格線為邊的正方形稱之為網(wǎng)格正方形；以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形稱之為格點(diǎn)正方形。如圖一所示，面積為的網(wǎng)格正方形有個(gè)；面積為的網(wǎng)格正方形的邊上有個(gè)格點(diǎn)，所以頂點(diǎn)在這樣的正方形邊上的格點(diǎn)正方形有個(gè)。如圖二所示，面積為的網(wǎng)格正方形有個(gè)；面積為的網(wǎng)格正方形的邊上有個(gè)格點(diǎn)，所以頂點(diǎn)在這樣的正方形邊上的格點(diǎn)正方形有個(gè)。如圖三所示，面積為的網(wǎng)格正方形有個(gè)；面積為的網(wǎng)格正方形的邊上有個(gè)格點(diǎn)，所以頂點(diǎn)在這樣的正方形邊上的格點(diǎn)正方形有個(gè)。如圖四所示，面積為的網(wǎng)格正方形有個(gè)；面積為的網(wǎng)格正方形的邊上有個(gè)格點(diǎn)，所以頂點(diǎn)在這樣的正方形邊上的格點(diǎn)正方形有個(gè)。所以，一共有個(gè)格點(diǎn)正方形?！拘〗Y(jié)】一般地，

9、的正方形網(wǎng)格中由個(gè)的小正方形構(gòu)成，網(wǎng)格的格點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)。那么，以網(wǎng)格的格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形一共有：個(gè)數(shù)三角形數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個(gè)三角形？圖中所有三角形必然都含有頂點(diǎn)，且必有一條邊在上，所以三角形的個(gè)數(shù)應(yīng)該等于邊上的線段數(shù)。邊上線段數(shù)為（條），所以共有個(gè)三角形。數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個(gè)三角形？圖中所有三角形必然都含有頂點(diǎn)，且必有一條邊在或者上， 以及邊上線段數(shù)均為（條），因此圖中三角形個(gè)數(shù)為（條）。數(shù)一數(shù)下圖一共有多少個(gè)三角形？【分析】定義基本三角形邊長(zhǎng)為，那么根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)分類：邊長(zhǎng)為的三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；邊長(zhǎng)為的三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；邊長(zhǎng)為的三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；邊長(zhǎng)為的三角形個(gè)數(shù)

10、為：（個(gè)）；邊長(zhǎng)為的三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；邊長(zhǎng)為的三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；綜上可得，圖中三角形的總數(shù)為：（個(gè)）。（第十四屆華羅庚少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題（小學(xué)組）如下圖所示，在邊長(zhǎng)為的小正方形組成的方格圖中，共有個(gè)格點(diǎn).在以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)分別是和的直角三角形共有_個(gè).如圖中所示橫向邊長(zhǎng)為縱向邊長(zhǎng)為且短邊在右側(cè)的直角三角形個(gè)數(shù)為，短邊的方向有上下左右四種，因此符合題意的直角三角形共有（個(gè)）。數(shù)一數(shù)下圖一共有多少個(gè)三角形？中含有的三角形個(gè)數(shù)為，加上之后多出個(gè)，因此，此圖一共有（個(gè)）。數(shù)一數(shù)下圖中的三角形個(gè)數(shù)是多少？觀察圖形可知此圖為以為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形，橫向：對(duì)稱軸之上的中包含

11、的三角形個(gè)數(shù)等于邊上的線段數(shù)為（個(gè)），那么對(duì)稱軸之下的之中必同樣包含個(gè)三角形，縱向：以邊為某條邊的三角形個(gè)，便可得出此圖共有三角形（個(gè)）數(shù)一數(shù)下面圖形中各有多少個(gè)三角形？每一個(gè)如圖的圖形中含有個(gè)三角形，而題中的圖形中有個(gè)這樣的圖形，另外再加上其他單獨(dú)的三角形有個(gè)，那么題中的圖形的三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）。下圖中共有幾個(gè)三角形？圖1-5-3圖1-5-2圖1-5-3圖1-5-2首先為圖形編號(hào)，如圖,定義編號(hào)的三角形為基本圖形。 由一個(gè)基本圖形構(gòu)成的三角形有：共個(gè)； 由兩個(gè)基本圖形構(gòu)成的三角形有：共個(gè)； 由三個(gè)基本圖形構(gòu)成的三角形有：共個(gè)； 由四個(gè)基本圖形構(gòu)成的三角形有：共個(gè)。 所以共有三角形個(gè)。一課一

12、練數(shù)一數(shù)下圖一共有多少條線段？五角星的每條邊上有條線段，那么整個(gè)五角星有條線段，加上外部的五邊形，此圖形共有線段（條）。數(shù)一數(shù)下圖一共有多少條線段？【分析】此圖形由四個(gè)大小不一的正五邊形套成，由內(nèi)向外數(shù)第一個(gè)五邊形包含的線段數(shù)為（條），第二個(gè)、第三個(gè)和第四個(gè)包含的線段數(shù)相同，總數(shù)為（條），由此可知圖中線段總數(shù)為：條。下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？圖中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為（個(gè)）。下圖中，大大小小的長(zhǎng)方形共有多少個(gè)？由圖可知總的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)應(yīng)該等于長(zhǎng)方形包含的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形中包含的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的和，再減去長(zhǎng)方形中被重復(fù)計(jì)算的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)。在長(zhǎng)方形共有長(zhǎng)方形：（個(gè)）在長(zhǎng)方形共有長(zhǎng)方形：（個(gè)）在長(zhǎng)方形被重復(fù)計(jì)算的長(zhǎng)方形

13、有：（個(gè)）由此可得圖中共有長(zhǎng)方形（個(gè)）。下圖中有多少個(gè)正方形？定義其中最小的正方形邊長(zhǎng)為，那么按照正方形的邊長(zhǎng)大小分類計(jì)數(shù)：邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)為個(gè)；邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)為個(gè)；邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)為個(gè)；邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)為個(gè)；綜上可得，圖中正方形總數(shù)為個(gè)。下面圖中有多少個(gè)正方形？【分析】定義其中最小的正方形邊長(zhǎng)為，那么按照正方形的邊長(zhǎng)大小分類計(jì)數(shù)：邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)為個(gè)；邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)為個(gè)；邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)為個(gè)；邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)為個(gè)；綜上可得，圖中正方形總數(shù)為個(gè)。數(shù)一數(shù)下面圖形中有多少個(gè)三角形？ 圖有(個(gè))三角形；圖比圖多了 個(gè)三角形，那么圖有（個(gè)）三角形。數(shù)一數(shù)下圖共有多少個(gè)三角形？上圖可

14、以分成兩部分來看，以最上面一點(diǎn)作為公共頂點(diǎn)的三角形包含在圖和圖中，個(gè)數(shù)為（個(gè)），以右邊一點(diǎn)作為公共頂點(diǎn)同時(shí)不含有最上面一點(diǎn)的三角形如圖所示，個(gè)數(shù)為（個(gè)），所以原圖中共有三角形個(gè)數(shù)為（個(gè)）補(bǔ)充題庫(kù)數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)銳角?你能用兩種方法解答這個(gè)問題么？圖1-5-5圖1-5-4 圖1-5-5圖1-5-4法：我們規(guī)定：由相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做基本角，我們可以這樣分類數(shù)：由個(gè)基本角構(gòu)成的角有：、共個(gè)由個(gè)基本角構(gòu)成的角有：、共個(gè)由個(gè)基本角構(gòu)成的角有：、共個(gè)由個(gè)基本角構(gòu)成的角有：、共個(gè)由個(gè)基本角構(gòu)成的角有：共個(gè)因此，角總數(shù)為： (個(gè))法：以角的起始邊分類（注意保持方向的一致）：以邊為公共邊的角有：、共

15、個(gè)以邊為公共邊的角有：、共個(gè)以邊為公共邊的角有：、共個(gè)以邊為公共邊的角有：、共個(gè)以邊為公共邊的角有：只個(gè)因此，角總數(shù)為： (個(gè))法3：在圖中添加一條線，如圖所示，此時(shí)以為頂點(diǎn)的三角形有多少個(gè)，就有多少個(gè)角，所以角的個(gè)數(shù)為（個(gè)）?！拘〗Y(jié)】?jī)蓷l共端點(diǎn)的射線確定一個(gè)角（大于小于），假設(shè)由某點(diǎn)引出條射線，那么這條射線可以確定的角（大于小于）的個(gè)數(shù)為個(gè)。下圖中共有幾個(gè)三角形？ 【分析】如右上圖所示為圖形標(biāo)號(hào)，定義標(biāo)號(hào)的三角形為基本三角形?？芍?由一個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)； 由兩個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)； 由三個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)； 由四個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)； 由五個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)； 由六個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)； 由七到十一個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形均為個(gè)； 由十二個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有個(gè)； 由此可知，此圖形共有三角形（個(gè)）。數(shù)一數(shù)下圖中梯形有_個(gè)。【分析】