《高等數(shù)學(xué)》第11章 微分方程習(xí)題詳解

1、 再積分，得y=-ilii（2x+1）+C2.將初值條件y|t.o=0代入上式，可得C2=o,故滿足初值條件的特解為(3)令yf=p9積分得y=-2-111(2x4-1).屮=卩丸，代入原方程，得dy2/?=sin2v，艮卩2/?d/?=siii2vdydvp=-|cos2y+Q.將初值條件）4=號(hào)，）仁=1代入上式，可解得C1=|.從而有1=siny,即y=siny,分離變量，得兩端積分，得空小,smvurliitail=x+lnC,k2)-A!或tan=GeA2將初值條件）=號(hào)代入上式，可解得C2=l,故滿足初值條件的特解為tail=ev,或v=2aictaiiev2(4)f(x)=cos

2、x屬于(x)cosex+幾(x)smoi型(其中A=09E(x)=0).對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為e=l解得,r+2r+l=0,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y=(G+3宀因?yàn)?id=i不是特征方程的根，所以(設(shè)其特解為y*=Acosx+Bsin.v從而有)=一Asmx+Bcosx,)=-Acosx-Bsmx,代入原方程，得(一Acosx_BsillX)+2(Asinx+Bcosx)+Acosx+Bsinx=cosx即-2Asiiix+2Bcosx=cosx,比較系數(shù)，得A=09B=,2故v*=-siiix因此，原方程的通解為y=Y+y=(G+C2x)e-V+-siiix,從而yr=C2e_A-(G+C2

3、x)e-r4-gcosx,將初值條件)Lo=o,y|r_o=|代入以上兩式，得q=0,3是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，且由X，比，力線性無關(guān)可推知X-%與-兒線性無關(guān)，而是非齊次方程的特解，故y=G(x一)b)+G(y2-)3)+風(fēng)=Q)+Gx+(iGc,)，3是非齊次方程的通解.所以本題應(yīng)選(D).因廣(耳)=0,即兒是/(x)的駐點(diǎn)，又因?yàn)?(x)是微分方程的解，故有d/g+ef嚴(yán)0.這說明心是/(x)的極小值點(diǎn)，所以本題應(yīng)選(C).由曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件里，可得微分方程莎dx其通解為/,(x)+/(x)=ev,其通解為f(x)=J(Jevedx+C卜e_ve：t+C由/(0)=0可得C=

4、-|,于是/(x)=*(eJe7),故本題應(yīng)選(B).求微分方程%2y+=r滿足初始條件xi)=1的特解.解法一用伯努利方程的解法，將原方程化為y2y+-yl=XX令z=)i則zr=-r2y,且原方程可化為J1一1zz=,xjt解得丄丄dx+C即原方程的通解為2xy=2C?TT-由Xl)=l,得C=,故所求特解為2xyx2+l解法二將原方程化為jr,jr,即丄lx令“=2_,即y=ux則/=u+xu,原方程進(jìn)一步化為u+xu=ir-u分離變量后積分|-2)-Inn=liix+-|liiC.代入“=上，得原方程的通解為xy由y(l)=l得C=l,故所求特解為=即尸yf+1=0的特設(shè)y=e1是微分

5、方程xy+p(x)y=x=0的特解將y=代入原方程，可得-Xxex+p(x)ex=x9即p(x)=xeTx-x-X于是，原方程可化為xyf+(xex-x)y=x,y+(e-r-l)y=l,于是得通解H%+cd(_)+CL(*+c)=ex+Cex+rt-V+C由初始條件兒皿=0,得0=2+C2臣即C=-門，故所求特解為rI*-y=e-e5.設(shè)f(x)=smx-(x-t)f(t)dt，其中f為連續(xù)函數(shù)，求f(x).解因/(v)=siiix-x/(f)d/+J；UM，代入x=0,得f(0)=0,且fW=cosa-J；f(t)dt-.xf(x)+xf(x),廣(x)=cosxJ；/(Odf,代入x=0

6、,得fr(0)=1.又廠(x)=-sinx-/(x)記y=/(x),即得初值問題上述微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程有根心=1，而自由項(xiàng)為f(x)=一siiix=eOx(0cosx一sinx),故兄=0,e=l,而2+1=!是特征方程的根，從而可令原方程的一個(gè)特解為)=x(Acosx+Bsinx),代入微分方程并比較系數(shù)，得人=丄，3=0,即y=-xcosx.于是得通解22)=qcosx+C,sinx+扌xcosx,y=-C.siii.v+Gcosx+丄cosx-丄xsinx“1-22得C=0,Cd1,I2C=0,C=.2y=/(x)=*sinx+jxcosx.6.求微分方程y+4y+4y=e

7、的通解，其中a為實(shí)數(shù).解原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r+4r+4=0,解得債=-2,故齊次方程的通解為Y=(CL+C2x)e-2x對(duì)于自由項(xiàng)f(x)=e當(dāng)-2時(shí)，可令原方程的一個(gè)特解為yA嚴(yán)代入原方程，即/=當(dāng)a=-2代入原方程，（+2）/=BFe亠,代入原方程，可得噸,即y十產(chǎn).故原方程的通解為(Ct+C2x)e-2v+eax+2)2(C+C2x)e2x+*x:e-：v,當(dāng)qh-2當(dāng)a=-27.設(shè)物體A從點(diǎn)（0,1）出發(fā)，以常速率v沿y軸正向運(yùn)動(dòng)，物體3從點(diǎn)（-匕0）與A同時(shí)出發(fā)，其速率為2“方向始終指向A試建立物體3的運(yùn)動(dòng)軌跡所滿足的微分方程，并寫(2)出初始條件.(2)解設(shè)物體B的運(yùn)

8、動(dòng)軌跡的方程為y=f（x）,又設(shè)在時(shí)刻f,物體B位于點(diǎn)（x,刃處,此時(shí)物體A位于點(diǎn)（0,1+v/）.按題意，則如右圖所示，有Q-x即y兀/一1=W又此刻，物體B從點(diǎn)（-1、0）行至（兀刃的路程為JJ1+）dx=2WFh（1）式與（2）式消去得_燈_1=扛+/d.v.兩端對(duì)x求導(dǎo)，得#_（y+A/）=fji+y,即F冷+初始條件為兒_1=0=18.在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的.設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N,在/=0時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為X。，在任意時(shí)刻f已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x（f）（將x（/）視為連續(xù)可微變量），其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k0,求如.解按題意可得初值問題=kx（N-x）,x,=xQ.分離變量得dxx(N-x)兩端分別從x0到X和從0到/積分，得初值問題的解:Xd.v丫。x(N_x)左端為dx丄丫丄