試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)處理

1、試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理方法總述及總結(jié)王亞麗（數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院08統(tǒng)計(jì)1班081120132）摘要：實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理是一門非常有用的學(xué)科，是研究如何經(jīng)濟(jì)合理安排 試驗(yàn)可以解決社會(huì)中存在的生產(chǎn)問題等，對(duì)現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)有很重要的指導(dǎo)意義。因此 本文根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理進(jìn)行了總述與總結(jié)，以期達(dá)到學(xué)習(xí)、理解、掌握的 以及靈活運(yùn)用的目的。1試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理基本知識(shí)總述1.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理的基本思想試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要分支。它是以概率論、數(shù)理 統(tǒng)計(jì)及線性代數(shù)為理論基礎(chǔ)，結(jié)合一定的專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，研究如何經(jīng)濟(jì)、 合理地安排實(shí)驗(yàn)方案以及系統(tǒng)、科學(xué)地分析處理試驗(yàn)結(jié)果的一項(xiàng)科學(xué)技術(shù)，從而

2、 解決了長(zhǎng)期以來在試驗(yàn)領(lǐng)域中，傳統(tǒng)的試驗(yàn)方法對(duì)于多因素試驗(yàn)往往只能被動(dòng)地 處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而對(duì)試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)及試驗(yàn)過程的控制顯得無能為力這一問題。1.2試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理的作用（1）有助于研究者掌握試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)考察指標(biāo)影響的規(guī)律性，即各因素的水 平改變時(shí)指標(biāo)的變化情況。（2）有助于分清試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)考察指標(biāo)影響的大小順序，找出主要因素。（3）有助于反映試驗(yàn)因素之間的相互影響情況，即因素間是否存在交互作用。（4）能正確估計(jì)和有效控制試驗(yàn)誤差，提高試驗(yàn)的精度。（5）能較為迅速地優(yōu)選出最佳工藝條件（或稱最優(yōu)方案），并能預(yù)估或控制一定 條件下的試驗(yàn)指標(biāo)值及其波動(dòng)范圍。（6）根據(jù)試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)考察指標(biāo)影

3、響規(guī)律的分析，可以深入揭示事物內(nèi)在規(guī) 律，明確進(jìn)一步試驗(yàn)研究的方向。1.3試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理應(yīng)遵循的原則重復(fù)原則：重可復(fù)試驗(yàn)是減少和估計(jì)隨機(jī)誤差的的基本手段。隨機(jī)化原則：隨機(jī)化原則可有效排除非試驗(yàn)因素的干擾，從而可正確、無 偏地估計(jì)試驗(yàn)誤差，并可保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)的獨(dú)立性和隨機(jī)性。局部控制原則：局部控制是指在試驗(yàn)時(shí)采取一定的技術(shù)措施方法減少非試 驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。用圖形表示如下：2試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理方法總述和總結(jié)2.1方差分析概念：方差分析是用來檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本的平均值差異的顯著程 度。并由此判斷樣本究竟是否抽自具有同一均值的總體。優(yōu)點(diǎn)：方差分析對(duì)于比較不同生產(chǎn)工藝或設(shè)備條件下產(chǎn)量、質(zhì)量

4、的差異， 分析不同計(jì)劃方案效果的好壞和比較不同地區(qū)、不同人員有關(guān)的數(shù)量指標(biāo) 差異是否顯著時(shí)，是非常有用的。缺點(diǎn)：對(duì)所檢驗(yàn)的假設(shè)會(huì)發(fā)生錯(cuò)判的情況，比如第一類錯(cuò)誤或第二類錯(cuò)誤 的發(fā)生?；驹恚悍讲罘治龅幕舅悸肥且环矫娲_定因素的不同水平下均值之間 的方差，把它作為對(duì)由所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)所組成的全部總體的方差的第一個(gè)估 計(jì)值；另一方面再考慮在同一水平下不同試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)于這一水平的均值的 方差，由此計(jì)算出對(duì)由所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)所組成的全部數(shù)據(jù)的總體方差的第 二個(gè)估計(jì)值。比較上述兩個(gè)估計(jì)值，如果這兩個(gè)方差的估計(jì)值比較接近就 說明因素的不同水平下的均值間的差異并不大，就接受零假設(shè)；否則，說 明因素的不同水平下的均值間

5、的差異比較大。數(shù)據(jù)處理基本步驟：定義總離差和為各樣本觀測(cè)值與總均值的離差平方和，SS =室(X： X)2i=1 j=1其中：X 樣本均值，即X=X2XN iji=1 j=1式中：N = nk 樣本觀測(cè)值總數(shù)對(duì)離差平方和分解如下：SST =* n (X -X)i=1 j=1=ZS (X - X ) + (X X)i=1 j=1=E (X -X )2 +En(X -X)2 + 2工 (X -X )(X -X)i=1 j =1i=1i=1 j=式中：X第i個(gè)樣本的均值即y 1 E YX = J Xn j=1 j交叉項(xiàng)：2工 (X - X )(X - X)i=1 j=22L (X - X)8 (X -

6、 X_)i=1j=1=22L(X -X)(nX -nX ) = 0i=1令SS =Y n(X X)2i =1SS S (X.X)2i=1 j=1其中，SSE刻畫了全部n次試驗(yàn)中純粹由隨機(jī)因素影響所產(chǎn)生的離差平方和，簡(jiǎn)稱為組內(nèi)平方和，也稱為誤差平方和。S%刻畫了因素水平A的差異對(duì)數(shù)據(jù)離散 型的作用，稱為組間平方和，或因素平方和。例如四種不同燈絲配料方案數(shù)據(jù)如下，問燈絲配料方案對(duì)燈泡使用壽命有無顯 著影響？解：運(yùn)用方差分析發(fā)得總試驗(yàn)次數(shù)N = 26,卜4,氣=7,七=5吧=8,n4 = 6燈泡品種試驗(yàn)結(jié)果/hA11600161016501680170017201800A21580164016401

7、7001750A314601550160016201640166017401820A4151015201530157016001680計(jì)算如下:T1 = Xjj=1=11760, T= X = 8310,T = X = 13090,T = T1 = Xjj=1j=1j=1j=1Q =X 2 = 19785400,Q =X 2j=Q =X 2 = 19785400,Q =X 2j=1j=1t= j=1 jt= j=1 j=1X = 42570, Q = X 2 = 69895900j=1 j=1T 2SS = Q =195711.54t Nsse =Q 一 T2 = 151350.83j=1SS

8、r = SSt - SSe將上述各項(xiàng)計(jì)算出結(jié)果后，可利用方差分析表進(jìn)行方差分析表-1方差分析表方差來源離差平方和自由度均方差統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量顯著性配料方案44360.71314786.902.15誤差15135.83226879.58總方差195711.5425（6）結(jié)論：從尸分布表中差得匕（3,22） =3.。5,因?yàn)镕 匕（3,22）故接受氣, 即可認(rèn)為燈絲不同配料方案對(duì)燈泡使用壽命無顯著影響，亦可說明各方案都可制 作燈泡。但在實(shí)際生產(chǎn)中可選用工藝簡(jiǎn)單、造價(jià)經(jīng)濟(jì)的配料方案，進(jìn)行方差分析 的目的也在此。2.2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)（1）基本思想：正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)利用正交表即可對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行合理安排，挑選少數(shù) 具有代

9、表性的組合處理試驗(yàn)一一以少代多，又可對(duì)實(shí)施的少數(shù)個(gè)組合處理結(jié)果進(jìn) 行科學(xué)的分析，做出正確的結(jié)論一一以少求全。（2）優(yōu)點(diǎn)：正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)從全面試驗(yàn)中挑選部分試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，減少試驗(yàn)次 數(shù)，且試驗(yàn)點(diǎn)均勻分散，整齊可比。（3）缺點(diǎn)：為了照顧整齊可比，試驗(yàn)點(diǎn)有時(shí)不能保證均勻分散，且試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù) 目就會(huì)比較多（試驗(yàn)次數(shù)隨水平數(shù)的平方而增加）.（4）表示符號(hào)：Ln m），其中L是正交表代號(hào)n，是行數(shù)（安排試驗(yàn)次數(shù)），t是因素水平數(shù)，q是列數(shù)（最多安排因素個(gè)數(shù)）（5）性質(zhì)：（1）表中任何一列，各水平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)次數(shù)相等。（2）表中任意兩列之間，各種不同水平的所有可能組合都出現(xiàn)，且 出現(xiàn)的次數(shù)相等。（6）正交試

10、驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理步驟：（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定試驗(yàn)指標(biāo)（2）挑選因素與水平，制定因素水平表（3）選擇正交表，并進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)（4）確定試驗(yàn)方案例題：乙醇溶液提取葛根中有效成分的試驗(yàn)，試驗(yàn)考察指標(biāo)有3項(xiàng)：提取物得率， 提取物中葛根總黃酮含量，總黃酮中葛根素含量，且3個(gè)指標(biāo)越大越好。選取3 個(gè)相對(duì)重要的因素：乙醇濃度，液固比和提取物回流次數(shù)進(jìn)行正交試驗(yàn)。解：運(yùn)用綜合平衡法，不考慮交互作用，選用正交表L（34）安排試驗(yàn)，試驗(yàn)和結(jié) 果表如表-2表-2葛根有效成分提取試驗(yàn)方案與結(jié)果試驗(yàn)方案試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)A乙醇濃度B液固比C回流次 數(shù)提取物得率/%葛根總 黃酮含 量/%葛根素 含量/%111116.25.1

11、2.1212227.46.32.5313337.87.22.6421238.06.92.4522317.06.42.5623128.26.92.5731327.47.32.8832138.28.03.1933216.67.02.2先對(duì)各指標(biāo)分別進(jìn)行直觀分析，分別得出因素的主次和最優(yōu)組合條件，結(jié)果 如表-3：表-3葛根有效成分提取試驗(yàn)結(jié)果分析試驗(yàn)結(jié)果AB空列C提 取 物 得 率 /%K121.421.622.619.8K223.222.622.023.0K322.222.622.224.0k17.137.207.536.60k27.737.537.337.67k37.407.537.408.00

12、極差R1.81.00.64.2因素主次CAB最優(yōu)組合條件C ABCAB3 2 2 或 3 2 3K118.619.320.018.5葛根總黃酮含量/%K220.220.720.220.5K322.321.120.922.1k16.206.436.676.17k26.736.906.736.83k37.437.036.977.37極差R3.71.80.93.6因素主次ACB最優(yōu)組合條件3 B3葛根素含量/%K17.27.37.76.8K27.48.17.17.8K38.17.37.98.1k12.402.432.572.27k22.472.702.372.60k32.702.432.632.70

13、極差0.90.80.81.3因素主次CAB最優(yōu)組合條件C3 A2 B2再進(jìn)行綜合平衡分析得，最優(yōu)組合條件A3 B2C3，即乙醇濃度70%,液固比 為6，回流3次。2.3均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)概念：均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)就是只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍，是部分因子設(shè)計(jì)的主 要方法之一，它適用于多因素多水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)場(chǎng)合，試驗(yàn)次數(shù)等于因素 的水平數(shù)，是大幅度減少試驗(yàn)次數(shù)的一種優(yōu)良的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案。（2）特點(diǎn):（1）每個(gè)因素的每個(gè)水平做一次且僅做一次試驗(yàn)。（2）任兩個(gè)因素的試驗(yàn)點(diǎn)點(diǎn)在格子上，每行每列有且僅有一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，且這兩點(diǎn)反映了試驗(yàn)安排的均衡性。（3）均勻設(shè)計(jì)表任兩列組成的試驗(yàn)方案一般并不等價(jià)。（4）當(dāng)因素的水平數(shù)增加時(shí)，

14、試驗(yàn)數(shù)按水平數(shù)的增加在增加。（3）思想：均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)沿用近30年來發(fā)展起來的“回歸設(shè)計(jì)”方法，運(yùn)用控 制論中的“黑箱”思想，把整個(gè)過程看作一個(gè)“黑箱”，把參與試驗(yàn)的因素土，氣，七，通過運(yùn)用均勻設(shè)計(jì)法安排試驗(yàn)，并作為系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)而把試驗(yàn)指標(biāo)（結(jié)果）Y，作為輸出參數(shù)（如圖-1所示）。X r1系 統(tǒng)X r2（黑箱）圖-1試驗(yàn)因素（輸入）與試驗(yàn)指標(biāo)（輸出）系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上可以把輸出參數(shù)Y與輸入?yún)?shù)X（i = 1，2，n）的關(guān)系用函數(shù)式表示Y = f （ x , x , X ）函數(shù)的模型對(duì)不同的系統(tǒng)可根據(jù)理論或憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果 運(yùn)用回歸分析等方法確定模型中的系數(shù)。（4）優(yōu)點(diǎn)：“均勻設(shè)計(jì)”方

15、法的思路是去掉“整齊”可比的要求，通過提高試驗(yàn)點(diǎn) “均勻分散”的程度，使試驗(yàn)點(diǎn)具有更好的代表性，使得能用較少的試驗(yàn)獲得較多的信息。（5）表示符號(hào)：Un （域U*（nm ），其中，“U ”表示均勻設(shè)計(jì)，小標(biāo)“n ”表示要 做n次試驗(yàn)，括號(hào)中“n”表示每個(gè)因素有個(gè)n水平（試驗(yàn)時(shí)水平數(shù)可以小于試 驗(yàn)次數(shù)，但必須能被試驗(yàn)次數(shù)整除），“m ”表示該表有m個(gè)因素（列），U的右 上角加“*”和不加“*”分別代表兩種不同類型的均勻設(shè)計(jì)表。示例表-4叩)123112422433312144315555U 5(53)的使用表因素?cái)?shù)列號(hào)D2120.310031230.4570(7)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及步驟：具體步驟見例題

16、屆 | 曰舌人A , A , A 王口B , B 、l n C , C 土 鼻時(shí) m 主 rA -kb Zr-r 4/L例題：考慮 |三狀態(tài)1 2 3和兩狀態(tài)1 2以及1 2之定性因素的均勻設(shè)計(jì)。我們選的表U6(3 23如下所示ABABAB11AB22AB32AB21AB31ABCYC1592C1646C2550C2501C1608C9532 77777A狀態(tài)對(duì)應(yīng)3個(gè)特征變量711,712,713,我們選其中2個(gè)711,712, ； B狀態(tài)對(duì)應(yīng)2|特征變量7，7 我們選7 C 狀態(tài)對(duì)應(yīng)2 個(gè)特征變量7，7我們?nèi)?1特征變量 2122，我們選21， 狀態(tài)對(duì)應(yīng)2 |特征變量 3132，我們?nèi)?1。

17、這是可列出含有4個(gè)虛擬變量的回歸方程為：Y = k + k Z + k Z + k Z + k Z + e011 1112 1221 2131 31建立回歸方程后再求解即可，此處不再贅述。（8）均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)應(yīng)特別注意的問題：（1）試驗(yàn)次數(shù)為奇數(shù)時(shí)的均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì) 表的問題，對(duì)策之一在因素排列水平不變的條件下，將均勻設(shè)計(jì)表中某些列從上 到下的水平號(hào)碼做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，也就是將原來最后一個(gè)水平與第一個(gè)水平銜接起 來，組成一個(gè)封閉圈，然后從任意一處開始定為第一水平，按原方向或相反方向 排出第二水平、第三水平等等；對(duì)策之二改變因素水平的排列順序。（2） 選用的均勻設(shè)計(jì)表的試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)大于回歸模型中回歸系數(shù)的個(gè)

18、數(shù)。2.4回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)（1）回歸正交試驗(yàn)簡(jiǎn)介：正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是將試驗(yàn)安排與數(shù)據(jù)的回歸分析結(jié)合起來 考慮，在試驗(yàn)中，通過適當(dāng)?shù)匕才旁囼?yàn)點(diǎn)，使得在每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)上的獲得的數(shù)據(jù)含 有最大的信息，并且各自變量（因素）向量間滿足正交性以便于回歸分析；然后 再用回歸分析處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將試驗(yàn)指標(biāo)與被考察的各因素間的關(guān)系以回歸方程 表示出來。回歸正交設(shè)計(jì)兼容了正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與回歸分析的優(yōu)點(diǎn)，是一種優(yōu)良的 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。（2）次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)模型：一次回歸正交設(shè)計(jì)就是利用回歸正交原理，建立試驗(yàn)指標(biāo)（y）與m個(gè)試驗(yàn)因素氣,號(hào),七，之間回歸方程：y = b + bx + b x + + b x01122 m m式中：

19、4,4,bm 回歸模型的參數(shù)氣,X2，. Xm模型的自變量（3）次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法（1）確定因素的變化范圍，根據(jù)試驗(yàn)指標(biāo) y,選擇需要考察的m個(gè)因素 X（乃1，2，*）,并確定每個(gè)因素的取值范圍。一般地說，上限于與下限的距離 愈小，愈接近最佳水平范圍，試驗(yàn)求得的回歸方程的預(yù)測(cè)性就越好。設(shè)因素Xj的 變化范圍為七2，分別稱七和%為因素X的下限和上限，并將它們的算術(shù) 平均值稱為零水平七0，即X + Xj 0 2上限與零水平之差稱為因素土的變化區(qū)間，用氣表示，即A. = x - x（2）對(duì)因素的水平進(jìn)行編碼，編碼的目的是為了將試驗(yàn)效應(yīng)y對(duì)因素的回 歸關(guān)系轉(zhuǎn)化為y對(duì)編碼值的回歸關(guān)系。編碼值為

20、編碼以后，試驗(yàn)因素被編為-1,0，和1，即Zji=T Zj2=0 Zj 3 =1 一般稱xj為 自然變量，Z為規(guī)范變量。（3）確定零水平的重復(fù)次數(shù)，零水平取值是各個(gè)因素的基準(zhǔn)水平，其重復(fù) 的次數(shù)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況和實(shí)驗(yàn)要求而定。（4）選擇合適的正交表，回歸正交表有如下特點(diǎn)1）任一列編碼的和為0.乙=0即j2）任兩列編碼的乘積之和等于零，即七 =0（k j； j = 1,2,., m）ij kj i=1（4） 一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)分析：1）一次回歸方程的建立，如果采用二水平正交表編制m元一次回歸正交 設(shè)計(jì)，一共進(jìn)行了N次試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果以七&.，七，則一次回歸的數(shù)學(xué)模型 為y = b +Lib x +Lib x x +e （i = 1,2,.,N, j