復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)

1、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第1頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/111 第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)內(nèi)容提要：復(fù)變函數(shù)就是自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)，本章先學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)與運(yùn)算，然后再引入平面上的點(diǎn)集、復(fù)變函數(shù)極限、連續(xù)本章中的許多概念在形式上與微積分學(xué)中一些基本概念有相似之處，可以把它們看作微積分學(xué)中相應(yīng)的概念及定理在復(fù)數(shù)域中的推廣 第2頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/112 第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1 復(fù)數(shù)1.2 復(fù)數(shù)的三角表示1.3 平面點(diǎn)集的一般概念1.4 無(wú)窮大與復(fù)球面1.5 復(fù)變函數(shù) 本章小結(jié) 思考題第3頁(yè)，共45頁(yè)，20

2、22年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/113第一節(jié) 復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的基本概念 第4頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/114二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 1.復(fù)數(shù)的和、差、積、商 和與差： 積： 商： 復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律第5頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1152共扼復(fù)數(shù)及性質(zhì) 重要性質(zhì)： 復(fù)數(shù)的共扼性質(zhì)在實(shí)際計(jì)算和證明中有廣泛應(yīng)用 第6頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/116例1計(jì)算復(fù)數(shù) 解：法一（商的公式） 法二（共軛性質(zhì)） 應(yīng)用共扼性質(zhì)來(lái)計(jì)算顯得簡(jiǎn)單，在

3、后面計(jì)算中要靈活運(yùn)用共軛第7頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/117例2解：由題意得 例3解：第8頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/118例4證明：證法二：第9頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/119第二節(jié) 復(fù)數(shù)的表示法 一、復(fù)平面 定義：復(fù)數(shù)的模： 復(fù)數(shù)的幅角： 主幅角： 即：一復(fù)數(shù)的輻角Argz是多值的第10頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1110二、復(fù)數(shù)的表示法 1復(fù)數(shù)的向量表示法 因此 顯然有不等式： 復(fù)數(shù)、復(fù)平面上點(diǎn)、向量之間一一對(duì)

4、應(yīng)第11頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/11112復(fù)數(shù)的三角表示法 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系： 復(fù)數(shù)的三角表示式： 3復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法利用歐拉公式： 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式： 注意：復(fù)數(shù)的三角表示式不是唯一的，因?yàn)檩椊怯袩o(wú) 窮多種選擇，如果有兩個(gè)三角表示式相等： 則可以推出： 第12頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1112例1解：于是主幅角值的確定： 第13頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1113練習(xí) 模 主輻角解： 例2解： 為復(fù)數(shù)形式的直線方程 復(fù)數(shù)形式的直線方程為 第14頁(yè)

5、，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1114例3解： 參數(shù)方程為 由參數(shù)式得復(fù)數(shù)形式參數(shù)方程為 若平面上曲線的參數(shù)方程為： 則定義 定義：復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程 第15頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1115例4求下列方程所表示的曲線 解： 第16頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1116三、復(fù)數(shù)的三角表示及指數(shù)表示作乘除法 即：模輻角定理1：兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積，幅角等于它們的幅角之和 說(shuō)明：例如：第17頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10

6、/1117例如：定理2：兩復(fù)數(shù)的商的模等于它們模的商，幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差 證明：即：模輻角第18頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1118例5用三角表示式和指數(shù)表示式計(jì)算下列復(fù)數(shù) 解： 第19頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1119例6解： 第20頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1120四、復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方、棣摩弗公式 1乘方公式這公式稱棣摩弗公式 2開(kāi)方公式 第21頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1121例7計(jì)算下列各題：

7、解：即：第22頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1122例8解：其解為 作業(yè)習(xí)題一1.1 (3) (4)1.31.41.6 (2) (4)1.8 (2) (3)1.9 (1)（2）(3)（4）1.10 (1)（2）(3)（4）1.12 (1)（5）1.13 (1)P28第23頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1123第三節(jié) 平面點(diǎn)集的一般概念 研究復(fù)變函數(shù)問(wèn)題，和實(shí)函數(shù)一樣，每個(gè)復(fù)變量都有自己的變化范圍，復(fù)變量的變化范圍同于二元函數(shù)的變化范圍稱為區(qū)域 一、開(kāi)集與閉集 1.鄰域： 2內(nèi)點(diǎn)： 3開(kāi)集： 4余集： 第24頁(yè)，

8、共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/11245邊界： 6孤立點(diǎn)： 7有界集與無(wú)界集： 例如：第25頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1125二、區(qū)域 1連通： 設(shè)G中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于G的折線連接起來(lái)，則稱G是連通的 2區(qū)域： 連通的開(kāi)集稱為區(qū)域，記為D 3閉區(qū)域： 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域，4有界、無(wú)界區(qū)域：（如上定義） 5圓環(huán)域： 例如 有界域：無(wú)界域：角形域： 帶形域： 第26頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1126例1試說(shuō)出下列各式所表示的點(diǎn)集是怎樣的圖形，并指出哪

9、些是區(qū)域： 解： 三、平面曲線 1平面曲線的復(fù)數(shù)式 平面曲線的復(fù)數(shù)形式參數(shù)方程 第27頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1127例2 圓周參數(shù)方程 解： 例3 解： 直線的參數(shù)方程 2光滑曲線 光滑曲線 由若干段光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線 第28頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1128例4 解： 容易驗(yàn)證： 因此該曲線是分段光滑曲線 3簡(jiǎn)單閉曲線 則稱這條曲線為簡(jiǎn)單閉曲線 簡(jiǎn)單閉曲線 非簡(jiǎn)單閉曲線 第29頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/11294單連通區(qū)域與多連通區(qū)域

10、 設(shè)D為一平面區(qū)域，若在D中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，而曲線內(nèi)部總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，否則是多連通區(qū)域 單連通區(qū)域的特征：屬于D的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，在D內(nèi)可經(jīng)過(guò)連續(xù)變形而縮成一點(diǎn) 單連通區(qū)域多連通區(qū)域洞第30頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1130第四節(jié) 無(wú)窮大與復(fù)球面一、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 為了討論問(wèn)題方便，我們不但要討論有限復(fù)數(shù)，還要討論一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)-無(wú)窮大，它是由下式定義的：加法：減法：乘法：除法：而實(shí)部、虛部和輻角均沒(méi)有意義， 第31頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1131這個(gè)點(diǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 復(fù)平面加上無(wú)窮遠(yuǎn)

11、點(diǎn)稱為擴(kuò)充復(fù)平面，擴(kuò)充復(fù)平面上的每一條直線都通過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn). （4）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域： 復(fù)球面定義：球面上的每一點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這樣的球面稱為復(fù)球面； 二、復(fù)球面 （5）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域： 第32頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1132第五節(jié) 復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的概念 說(shuō)明： 那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，即復(fù)變函數(shù)， 1定義：設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)的集合，如果有一個(gè)確定的法則存在，按照這一法則， 第33頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/11332復(fù)變函數(shù)與二元函數(shù)的關(guān)系 因此可以利用兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)來(lái)討論 例1

12、 解： 例2 將下列兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)表示為復(fù)變函數(shù)， 解： 第34頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/11343映射的概念 在“高等數(shù)學(xué)”中，常把函數(shù)用幾何圖形來(lái)表示，這樣，可以直觀地幫助我們理解和研究函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于復(fù)變函數(shù)，由于它反映了兩對(duì)變量和之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而無(wú)法用同一個(gè)平面的幾何圖形表示出來(lái)，必須把它看成兩個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 第35頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1135例3 第36頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1136例4 解： 第37頁(yè)，共45頁(yè)，20

13、22年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1137例5 解： （1）由乘法的模與幅角定理可知： 其象是2倍角域, 第38頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1138反函數(shù)（逆映射） 二、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù) 1復(fù)變函數(shù)的極限 定義1第39頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1139定理1設(shè)函數(shù) 證明： 必要性 充分性 第40頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1140定理2如果 第41頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1141例1 證明： 另證： 第42頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/11422復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 定理3函數(shù) 例2 解： 說(shuō)明： 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義與實(shí)函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義形式上完全相同，因此高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)定理依然成立，因此又有有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第43頁(yè)，共45頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)22分，星期四2022/10/1143定理4(1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為