概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機(jī)事件與概率課件

隨機(jī)事件與概率

第一章第一講隨機(jī)事件

一．自然界的現(xiàn)象分兩類

１．必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象）特點：結(jié)果事先可預(yù)知。２．隨機(jī)現(xiàn)象（不確定性現(xiàn)象）特點：結(jié)果事先不可預(yù)知。隨機(jī)現(xiàn)象是否有規(guī)律可循呢？

是

隨機(jī)現(xiàn)象在相同的條件下，大量重復(fù)試驗中呈現(xiàn)的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性。二．概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。三．隨機(jī)試驗（簡稱試驗，用E表示）1.試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2.試驗的所有可能結(jié)果不止一個，而且是事先已知的；3.每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，究竟出現(xiàn)哪一個，試驗前不能確切預(yù)言。五．樣本空間：基本事件或樣本點的全體構(gòu)成的集合，用S表示。.

S樣本空間與基本事件的關(guān)系樣本點e特點：每次試驗只有一個樣本點出現(xiàn)，任兩個樣本點不能同時出現(xiàn)。四．基本事件（樣本點）：隨機(jī)試驗的每一個可能結(jié)果，用e表示。例1.寫出下列隨機(jī)試驗結(jié)果的樣本空間。將一枚均勻?qū)ΨQ的硬幣連續(xù)拋兩次，記錄兩次拋擲的結(jié)果；解：

=（正，正），=（正，反），

=（反，正），

=（反，反）；

S={，，，}={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}。2.對目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止，記錄結(jié)果；解：S={1，01，001，0001，00001，

……}。

0表示未中，1表示擊中。3.在區(qū)間[0，1]上隨意取一點，記錄結(jié)果；S=[0，1]。4.從一批燈泡中隨機(jī)地抽一只燈泡，測試它的使用壽命，設(shè)t表示壽命。S={t:t≥0}.六.隨機(jī)事件（簡稱事件）:在試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件；解：

解：

用數(shù)學(xué)語言描述為隨機(jī)試驗E的樣本空間S的某個子集，用A，B，C，…表示，不用X，Y，Z，…表示。

例2.擲一質(zhì)地均勻的骰子兩次，樣本空間

S={(a，b)|1≤a，b≤6，a，b∈N},用集合表示事件A=“兩次點數(shù)之和為8”，B=“兩次點數(shù)均大于4”，C=“兩次點數(shù)均為奇數(shù)”。A={（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）}；B={（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）}C={（1，1），（1，3），（3，1），（1，5），（5，1），（3，3），（3，5），（5，3），（5，5）}。解：

樣本空間S和空集作為S的子集也看作事件。由于S包含所有的基本事件，故在每次試驗中都發(fā)生，因此稱為：事

然

必

件

不包含任何基本事件，故在每次試驗中都不發(fā)生，因此稱為：可

能

事

件

不

必然事件S和不可能事件均不是隨機(jī)事件，為研究方便，可看作隨機(jī)事件的極端情況處理。總結(jié)：

理解隨機(jī)試驗、基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2．會求隨機(jī)試驗的樣本點、樣本空間。第二講事件的關(guān)系與運算

試驗E的樣本空間為S，Ai，Bi

（i=1,2……）都是S的子集（事件）。一．事件的包含與相等

事件的包含：若事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B包含A或A含于B中，記為任意事件A均有

BAS事件的相等：則稱事件A與B相等，A=B。且

ABS若二．事件的的積（交）事件A與B同事發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為A與B的積或交，記為A∩B或AB。A∩BS（1）n個事件同時發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為的積或交，記為（2）可列無限多個事件A1，A2，……同事發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為A1，A2，……

的積或交，記為推廣：三．互不相容事件（互斥事件）若A與B不能同時發(fā)生，即則稱A與B互不相容（或互斥）。S與互斥。BASn個事件互斥中任兩個互斥，即，i≠j,

i,j=1,2,3,……n.推廣：四．事件的和（并）事件A與B至少有一個發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為A與B的和（并）記為A∪B。當(dāng)A與B互斥時，A∪B=A+B。BAS推廣：（1）n個事件至少有一個發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為的和或并，記為當(dāng)互斥時（2）可列無限多個事件至少有一個發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為的和（并），記為當(dāng)互斥時A發(fā)生而B不發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為五.事件的差對任意事件A，A－BSB六.對立事件（逆事件）由A不發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為A的對立事件（逆事件）。記為A例1．?dāng)S一質(zhì)地均勻的骰子，A=“出現(xiàn)奇數(shù)點”=

{1，3，5}，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”={2，4，6}，C=“出現(xiàn)4或6”={4，6}，

D=“出現(xiàn)3或5”={3，5}，E=“出現(xiàn)的點數(shù)大于2”={3，4，5，6}，求解：

A∪B=S，A，B為對立事件，

CB，B，D互斥，C∪D=E，記C+D=EAE={3，5}，={1，2}。符號概率論集合論樣本空間，必然事件空間（全集）不可能事件空集基本事件（樣本點）元素事件子集A的對立事件A的余集事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件Ｂ發(fā)生A是B的子集事件Ａ與事件Ｂ相等A與B相等事件Ａ與事件Ｂ至少有一個發(fā)生A與B的并集事件Ａ與事件Ｂ同時發(fā)生A與B的交集事件Ａ發(fā)生而事件Ｂ不發(fā)生A與B的差集事件Ａ與事件Ｂ互不相容A與B沒有公共元素事件表示的概率論與集合論對照表事件的運算性質(zhì)：1.交換率：A∪B=B∪A，AB=BA2.結(jié)合率：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（AB）C=A（BC）；3.分配率：（A∪B）C=（AC）∪（BC），（AB）∪C=（A∪C）（B∪C）；4.對偶原則（德—摩根律）：例2.

A、B、C是隨機(jī)試驗E的三個事件，試用

A、B、C表示下列事件：1．A與B發(fā)生，C不發(fā)生；2．A、B、C中至少有兩個發(fā)生；3．A、B、C中恰好發(fā)生兩個；解：

1．2．3．4．（4）的對立事件是（2）

5．等價于至少有一個發(fā)生，4．A、B、C中有不多于一個事件發(fā)生；5．A、B、C中有不多于兩個事件發(fā)生。例3．某射手向一目標(biāo)進(jìn)行三次射擊，令A(yù)i=“第i次射擊命中目標(biāo)”，i=1,2,3.

Bj

=“在三次射擊中，命中j次”，

j=0,1,2,3.

則：僅第一槍擊中目標(biāo)=

至少有一槍擊中目標(biāo)=

恰有一槍擊中目標(biāo)=

至少有一槍未擊中目標(biāo)=

第一、三槍至少有一槍擊中目標(biāo)=倒著看：={恰好有兩槍擊中目標(biāo)}

={至少有兩槍擊中目標(biāo)}

總結(jié)：

１．理解事件的關(guān)系與運算２．熟練掌握用字母表示事件第三講古典概率——

概率論初期研究的主要對象

事件A、B、C……的概率通常用P（A），P（B），P（C）……表示，顯然0≤P（A）≤1。注意：概率是隨機(jī)事件的函數(shù)?！硎灸呈录l(fā)生可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo)。概率一．古典概率的定義：假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果e1,e2,…，eN

,假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其它結(jié)果，例如ej,更有優(yōu)勢，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會.23479108615例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機(jī)會是相等的，均為1/10.1324567891010個球中的任一個被取出的機(jī)會都是1/1023479108615我們用i表示取到i號球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機(jī)試驗為古典概型.34791086152且每個樣本點(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗的樣本空間如i=2若隨機(jī)試驗E的樣本空間S滿足：則稱E為古典概型試驗。

在古典概型的情況下，事件A的概率定義為：這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題.排列組合是計算古典概率的重要工具.二．排列組合基本計數(shù)原理這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計算古典概率所用到的1.加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法

.例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是基本計數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個步驟，第一個步驟有n1種方法，第二個步驟有n2種方法,…；第m個步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，例如，若一個男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？可以有種打扮３．排列和組合的區(qū)別：順序不同是不同的排列3把不同的鑰匙的6種排列而組合不管順序從3個元素取出2個的排列總數(shù)有6種從3個元素取出2個的組合總數(shù)有3種1、排列:從n個不同元素取k個（1kn)的不同排列總數(shù)為：k=n時稱全排列排列、組合的幾個簡單公式從n個不同元素取k個（允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法2、組合:從n個不同元素取

k個（1kn)的不同組合總數(shù)為：常記作，稱為組合數(shù)。組合系數(shù)又常稱為二項式系數(shù)，因為它出現(xiàn)在下面的二項式展開的公式中：3、組合系數(shù)與二項式展開的關(guān)系令a=-1,b=1利用該公式，可得到許多有用的組合公式：令a=b=1,得由有比較兩邊

xk

的系數(shù)，可得

運用二項式展開4、n個不同元素分為k組，各組元素數(shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個元素r2個元素rk個元素…n個元素因為三．古典概率的計算：

例１．在哈市電話號碼薄中，任意取一個電話號碼，求后面四個數(shù)字全不相同的概率？設(shè)A=電話號碼后面四個數(shù)字全不相同，則例2．一批產(chǎn)品中有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽出一個，抽出后不放回，求第二次抽到次品的概率？設(shè)A=第二次抽到次品，則解：

解：

注意上下一致，上面用排列下面也用排列。例3．將A，B，B，I，I，L，O，P，R，T，Y等

11個字母隨機(jī)地排成一行，那末恰好排成單詞PROBABILITY的概率是多少？設(shè)A=恰好排成單詞PROBABILITY，則或解：例4．將r個人隨機(jī)地分配到n個房間里，設(shè)

=某指定r個房間中各有一人。=恰有r個房間中各有一人，=某指定房間恰有k個人，k≤r。求，，。解：例5．袋中有a個黑球，b個白球，若隨機(jī)地把球一個接一個地摸出來，求A=“第k次摸出的球是黑球”的概率，（k≤a+b）.解1:若把a(bǔ)+b個球編號（使球可辨），把a(bǔ)+b個球的一種全排列作為一個基本事件，基本事件總數(shù)為（a+b）!,第k次摸得黑球有a種可能，另外a+b－1次摸球的排列有（a+b－1）!種，則解2：若a個黑球是相同，b個白球也是相同的，把a(bǔ)+b個球的一種全排列作為一個基本事件，基本事件總數(shù)為A所包含的基本事件數(shù)為，則此結(jié)論說明抽簽與次序無關(guān)把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例６.n雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成n堆，每堆2只.問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？解：四．古典概率的性質(zhì)：

1．對任意事件A，有0≤P（A）≤1；2．P（S）=1；３．若事件A、B互斥，則

P（A+B）=P（A）+P（B）；推廣：若互斥，則：這是概率的加法公式或概率的有限可加性。

設(shè)A、B為任意兩事件，則

P（A－B）=P（A）－P（AB）；推廣：移項得(6),便得(7).再由由可加性6．若則且(7)(6)又因再由性質(zhì)3便得(8).

(8)7．（一般概率加法公式）對任意事件A、B有推廣：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)

－P(AC)－P(BC)+P(ABC)；注意：概率的前三條性質(zhì)是它的本質(zhì)屬性，后四條性質(zhì)是導(dǎo)出性質(zhì)。利用性質(zhì)可簡化運算一般：設(shè)為n個事件，則例1將一顆骰子拋擲4次，問至少出一次“6”點的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”點}A發(fā)生{出1次“6”點}{出2次“6”點}{出3次“6”點}{出4次“6”點}直接計算A的概率較麻煩,我們先來計算A的對立事件={4次拋擲中都未出“6”點}的概率.解：

于是=0.518

因此

==0.482由于將一顆骰子拋擲4次,共有

=1296種等可能結(jié)果,而導(dǎo)致事件={4次拋擲中都未出“6”點}的結(jié)果數(shù)有=625種

例2

有r個人，設(shè)每個人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩人同生日”的概率.

為求P(A),先求P()解：

={r個人的生日都不同}則A={至少有兩人同生日}令用上面的公式可以計算此事出現(xiàn)的概率為

=1-0.524=0.476美國數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過一個別開生面的實驗，在一個盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場上，他隨機(jī)地在某號看臺上召喚了22個球迷，請他們分別寫下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日.即22個球迷中至少有兩人同生日的概率為0.476.這個概率不算小，因此它的出現(xiàn)不值得奇怪.計算后發(fā)現(xiàn)，這個概率隨著球迷人數(shù)的增加而迅速地增加，如下頁表所示：

表3.1

人數(shù)至少有兩人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有這些概率都是在假定一個人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下計算出來的.實際上,這個假定并不完全成立，有關(guān)的實際概率比表中給出的還要大.當(dāng)人數(shù)超過23時，打賭說至少有兩人同生日是有利的.總結(jié)：

1．熟練掌握古典概率的性質(zhì)；2．會計算古典概率（會判定和計算）。第四講幾何概率早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識到，只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不夠的.請看演示

把等可能推廣到無限個樣本點場合,人們引入了幾何概型.

由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.幾何概率定義:

設(shè)有一個可度量區(qū)域S（這個區(qū)域可以是直線區(qū)域、平面區(qū)域或空間區(qū)域），向區(qū)域內(nèi)任意擲一質(zhì)點M，此點落于S內(nèi)任一位置是等可能的，且落在S內(nèi)任何子區(qū)域A上的可能性與A的度量（如長度，面積，…）成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，則這個試驗稱為幾何概型試驗；并定義M落在A中的概率P（A）為：1．樣本空間無限——無限性；2．每個樣本點發(fā)生的可能性相同

——等可能性。特點：請看演示會面問題例1．（約會問題）甲、乙兩人約定在6點到7點之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率。以x,y分別表示甲乙兩人到達(dá)約會地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是：|x－y|≤15.在平面上建立直角坐標(biāo)系，如圖則（x,y）的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，圖中陰影表示可會面的時間。

設(shè)A=兩人能會面，則

解：

015156060yxy－x＝15x－y＝15例2．甲、乙兩人約定在下午1點到2點之間到某車站乘公共汽車，這段時間內(nèi)有4班公共汽車，發(fā)車時間分別為1：15，1：30，1：45，2：00。如果規(guī)定見車就上，求兩個人乘同一輛公共汽車的概率。設(shè)甲、乙到達(dá)車站的時間分別為x,y則1≤x≤2,1≤y≤2,確定平面S，如圖正方形，設(shè)A=兩人乘同一輛公共汽車，則：

A發(fā)生的充要條件是：兩人到達(dá)時間x,y在同一發(fā)車區(qū)間，即陰影部分。故P（A）=4/16=1/4。

01122yx1.51.5解：

二.性質(zhì):

3．若互斥，則：古典概率的其他性質(zhì)對幾何概率也同樣成立。1．對任意事件A，有0≤P（A）≤1；2．P（S）=1；蒲豐投針試驗法國科學(xué)家蒲豐于1777年發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)投針的概率與圓周率π之間的關(guān)系，提供了早期學(xué)者們用隨機(jī)試驗求π

值的范例.請看演示第五講統(tǒng)計概率在充分多次試驗中，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，一般來說擺動越小.這個性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性.

頻率穩(wěn)定性擲硬幣試驗擲骰子試驗高爾頓釘板試驗統(tǒng)計概率是以事件的頻率具有穩(wěn)定性為基礎(chǔ)的，下面先介紹事件頻率的概念。

頻率定義：設(shè)A為聯(lián)系于某一試驗的事件，將試驗在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次，用m表示A出現(xiàn)的次數(shù)，則比值

m/n稱為事件A的相對頻率，記為fn(A),即

一般情況下：，只有當(dāng)n充分大時，頻率才呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。

二.

統(tǒng)計概率:在一組固定條件下，重復(fù)做n次試驗，如果當(dāng)n增大時，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)圍繞著某一個常數(shù)p擺動；而且一般說來，隨著n的增大，這種擺動的幅度越來越小，則稱常數(shù)p為事件A的概率，即P（A）=p。此定義適合于一切類型的試驗，

當(dāng)n充分大時，頻率作為概率的近似值，即，足以滿足實際需要。

例1．用某種藥物對患有胃潰瘍的512個病人進(jìn)行治療，結(jié)果368人有明顯療效，現(xiàn)有胃潰瘍病人預(yù)服此藥，你能對其效果作何估計？有明顯效果的頻率為：，由統(tǒng)計概率定義該患者服此藥有明顯效果的可能性為0.72。解：

定理：事件頻率具有如下性質(zhì)：1.對任意事件A，有

2．3．若為互不相容事件，則：古典概率的其他性質(zhì)對統(tǒng)計概率也同樣成立。由概率是頻率的數(shù)學(xué)抽象，可以推得統(tǒng)計概率具有如下性質(zhì)：3.若互不相容，則

0≤P（A）≤1；2.P（S）=1；

第六講概率的公理化定義在學(xué)習(xí)幾何和代數(shù)時，我們已經(jīng)知道公理是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)上所說的“公理”，就是一些不加證明而公認(rèn)的前提，然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對象的進(jìn)一步的內(nèi)容.即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率.下面介紹用公理給出的概率定義.

1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡單，但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.概率的公理化定義公理2

P(S)=1——規(guī)范性

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

互不相容，則有

(3)這里事件個數(shù)可以是有限或無