幾何與代數(shù)：第一章 行列式和線性方程組的求解1

一元一次方程二元一次方程三元一次方程一元二次方程一元三次方程（卡爾達諾）一元四次方程（費拉里）五次或五次以上（阿貝爾，伽羅華）n元一次方程線性代數(shù)群抽象代數(shù)立體幾何，平面解析幾何空間解析幾何矩陣?yán)碚摼€性代數(shù)提供手段提供直觀研究數(shù)研究形代數(shù)學(xué)幾何學(xué)溝通形與數(shù)且涉及極限運算----分析學(xué)（高數(shù)，數(shù)學(xué)分析）數(shù)學(xué)建模300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12矩陣加密圖像處理ODE求解教材：2011年5月第三次印刷(或更新)數(shù)學(xué)實驗：MatlabBoys，beambitious！

第一章

行列式和線性方程組的求解

第一節(jié)

二階,三階行列式

第二節(jié)

n階行列式的概念

第三節(jié)

行列式的性質(zhì)

第四節(jié)

線性方程組的求解

本次課內(nèi)容概要求解二元線性方程組二階行列式求解三元線性方程組三階行列式求解n元線性方程組n階行列式？？行列式的轉(zhuǎn)置

線性方程組的應(yīng)用:

解析幾何

電路化學(xué)方程式配平交通流量營養(yǎng)配方搜索引擎投入產(chǎn)出模型

……

第一章行列式和線性方程組的求解§1.1二階,三階行列式(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2

(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21

當(dāng)a11a22a12a210時,a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2

x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.

§1.1二階,三階行列式

第一章行列式和線性方程組的求解§1.1二階,三階行列式a11a12a21a22記D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,則當(dāng)D=a11a22a12a210時,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一確定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.第一章行列式和線性方程組的求解§1.1二階,三階行列式對角線法則a11a12a21a22=a11a22

a12a21

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33a13

a21

a32a11a22a33a12

a23

a31a11

a23

a32a12

a21

a33

a13

a22

a31

第一章行列式和線性方程組的求解§1.1二階,三階行列式a11

a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33

記D=,則當(dāng)D0時,a11x1+a12x2+a13x3

=b1

a21x1

+a22x2+a23x3

=b2

a31x1

+a32x2+a33x3

=b3

,D1Dx1

=有唯一確定的解b1

a12

a13

b2a22

a23

b3

a32

a33

D1=,a11

b1

a13

a21

b2

a23

a31

b3

a33

D2=,a11

a12

b1a21

a22

b2a31

a32

b3D3=,,D2Dx2

=.D3Dx3

=

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

§1.2n階行列式的概念

1

1001

200001

1

001

2仿照三階行列式的對角線法則可得1212

11(1)1

=4+1=5.3

1005

200001

1

301

23212

15(1)1

=12+5=17.但方程組x1+x2=3x1+2x2=5x3x4=0x3+2x4=3有唯一解x1=1x2=2x3=1x4=1175

(行不通！)第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

一.排列的逆序數(shù)與奇偶性

排列Pn=n個不同元素的所有排列的種數(shù)=1

2

…

(n1)

n例如,1,2有

種排列:123,132,312,213,231,321

1

2,2

1.1,2,3有

種排列:26=

n!

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

2.逆序數(shù)先規(guī)定一個標(biāo)準(zhǔn)次序偶排列

如自然次序:1234…(n1)n

n=6時,123456——自然次序142356——有逆序

42432個

32321456——有逆序

21313個

奇排列

(1,4,2,3,5,6)=2(3,2,1,4,5,6)=3第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

例1.求下列排列的逆序數(shù)

(1)32514,(2)(2n)(2n2)…4213…(2n3)(2n1).3.對換/相鄰對換135426132456143265142365

注:①任一相鄰對換都改變排列的奇偶性.P1:143265P2:142365P2:142365P1:143265(P2)=(P1)-1(P1)=(P2)+1注:②任一對換都可通過奇數(shù)次鄰對換來實現(xiàn).第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

定理1.1.每一個對換都改變排列的奇偶性.1234567891234567推論1.2.n2時,n個元素的所有排列中,奇、偶排列各占一半,即各有n!/2個.

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

二.n階行列式的定義

三階行列式的特點每一項都是三個元素的乘積.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.每一項的三個元素都位于不同的行和列.行列式的6項恰好對應(yīng)于1,2,3的6種排列.各項系數(shù)與對應(yīng)的列指標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān).

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33j1

j2

j3的逆序數(shù)對所有不同的三級排列j1

j2

j3求和a11a12a21a22

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

2.n階行列式的定義a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:當(dāng)n=1時,一階行列式|a11|=a11,這與絕對值符號的意義是不一樣的.

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

例如,四階行列式中,a11

a12

a13

a14a21a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44

負(fù)a12a23a34a41

a11

a12

a13

a14a21a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44

a11

a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44

a14a23a32a41前面帶____號,

正

a11

a12

a13

a14a21a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44

a31a22a13a44前面帶____號.

負(fù)

沒有,

a11a22a31a44

前面帶____號,a13a22a31a44

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

3.幾個特殊的行列式10…00

2…0…………00…n0…010

…2

0…………n…00=12…n

,(1)對角行列式12…n

.=(1)n(n1)2

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

(2)上(下)三角形行列式a11a12…a1(n-1)a1n

0a22…a2(n-1)a2n……………0

0

…a(n-1)(n-1)a(n-1)n0

0

…0anna110…0

a21a22…0…………an1

an2…ann=a11a22…ann

.=a11a22…ann

.事實上,只有pi

i(i=1,2,…n)時,才有可能不為0.

進一步，pn

只能為n，pn-1只能為n-1,…,p1只能為

1.第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

例2.確定四階行列式中a

a

a

a

前面的符號.i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

a

a

a

a

a

a

a

a

i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

1j1

2

j2

3

j3

4

j4

(j1j2j3j4)(1)

符號即為若干次對換第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

例2.確定四階行列式中a

a

a

a

前面的符號.i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

①(i1i2i3i4)奇(j1j2j3j4)奇②(i1i2i3i4)奇(j1j2j3j4)偶③(i1i2i3i4)偶(j1j2j3j4)奇④(i1i2i3i4)偶(j1j2j3j4)偶經(jīng)過一次對換后奇奇偶偶偶奇奇偶(i1i2i3i4)

(j1j2j3j4)(i1i2i3i4)

(j1j2j3j4)(i1i2i3i4)

(j1j2j3j4)(i1i2i3i4)

(j1j2j3j4)(i1i2i3i4)+

(j1j2j3j4)的奇偶性相同(i1i2i3i4)+(j1j2j3j4)的奇偶性與

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

例2.確定四階行列式中a

a

a

a

前面的符號.i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

(i1i2i3i4)+

(j1j2j3j4)的奇偶性相同(i1i2i3i4)+(j1j2j3j4)的奇偶性與(i1i2i3i4)+

(j1j2j3j4)(i1i2i3i4)+(j1j2j3j4)(1)=(1)

一次對換后第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

例2.確定四階行列式中a

a

a

a

前面的符號.i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

(i1i2i3i4)+

(j1j2j3j4)(i1i2i3i4)+(j1j2j3j4)(1)=(1)a

a

a

a

a

a

a

a

i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

1j1

2

j2

3

j3

4

j4

(i1i2i3i4)+(j1j2j3j4)=(1)(1234)+(j1j2j3j4)(1)(j1j2j3j4)(1)

=若干次對換后第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

4.n階行列式的另外一種定義a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann

第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

性質(zhì)1.DT=D.記D=行列式DT稱為D的轉(zhuǎn)置.記bij=aji,則DTa11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT=5.行列式的轉(zhuǎn)置=D.

本次課內(nèi)容總結(jié)求解二元線性方程組二階行列式求解三元線性方程組三階行列式求解n元線性方程組n階行列式對角線法則逆序數(shù)行列式的轉(zhuǎn)置待驗證內(nèi)容預(yù)告如何去計算n階行列式？關(guān)于習(xí)題習(xí)題(A)用于個人自我檢測；習(xí)題(B)用于布置作業(yè)習(xí)題(C)需要結(jié)合Matlab軟件使用，Matlab軟件將有選擇性地給以介紹。