廣東數(shù)學(xué)初中中考專題五課件

專題五

分類討論問(wèn)題——等腰三角形、直角三角形專題五分類討論問(wèn)題——等腰三角形、直角三角形

分類討論是指在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí),無(wú)法用同一種方法去解決,而需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問(wèn)題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題,下面主要以等腰三角形、直角三角形為例.解決此類問(wèn)題的基本方法是:先分類,以分類作為條件,找到幾何關(guān)系,再將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程,從而求出結(jié)果.分類討論是指在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí),無(wú)法用同一種方法去解決考點(diǎn)例析·疑難突破類型一等腰三角形

以等腰三角形的頂點(diǎn)分類,找到兩腰相等的幾何條件,再根據(jù)幾何關(guān)系,列出代數(shù)方程.考點(diǎn)例析·疑難突破類型一等腰三角形【例1】(幾何背景)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=16,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC,交AB于點(diǎn)D,連接PQ.點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t≥0).【例1】(幾何背景)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,A(1)當(dāng)t為何值時(shí),△CPQ的面積為15?(2)當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?(3)是否存在這樣的t,使△ACD為等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)當(dāng)t為何值時(shí),△CPQ的面積為15?【思路點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、解一元二次方程、勾股定理等知識(shí),有一定的綜合性,而運(yùn)用分類討論的思想則是解決本題的關(guān)鍵.(1)由題意可得AP=t,CQ=2t,PC=8-t,然后由△CPQ的面積為15建立關(guān)于t的方程,解方程解決問(wèn)題;(2)由于∠C是公共角,可分△PCQ∽△ACB和△QCP∽△ACB兩種情況討論,然后利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題;(3)由于等腰△ACD的腰不確定,故需分三種情況(①DA=DC;②AD=AC;③CD=CA)討論,然后利用等腰三角形的性質(zhì)或勾股定理解決問(wèn)題.【思路點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性【解析】(1)由題意可得:AP=t,CQ=2t,PC=8-t,則有S△CPQ=×CQ×PC=×2t×(8-t)=15,整理得t2-8t+15=0,解得t1=3,t2=5;(2)①若△PCQ∽△ACB,則有即解得t=4;②若△QCP∽△ACB,則有即解得t=.∴當(dāng)t為4秒或秒時(shí),以點(diǎn)C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似;【解析】(1)由題意可得:AP=t,CQ=2t,PC=8-t(3)存在.連接CD.①若DA=DC,∵DP⊥AC,∴AP=CP=4,∴t=4.②若AD=AC,則有AD=8.∵∠APD=∠ACB=90°,∠A=∠A,∴△APD∽△ACB,∴PD=2t,在Rt△APD中,∵AP2+PD2=AD2,∴t2+(2t)2=82,解得t=(負(fù)值已舍去);(3)存在.連接CD.③若CD=CA,則CD=8.在Rt△CPD中,∵CP2+PD2=CD2,∴(8-t)2+(2t)2=82,解得t1=0(舍去),t2=.∴當(dāng)t的值為4秒或秒或秒時(shí),△ACD為等腰三角形.③若CD=CA,則CD=8.在Rt△CPD中,∵CP2+PD【例2】(函數(shù)背景)(2020·黔東南州)已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).【例2】(函數(shù)背景)(2020·黔東南州)已知拋物線y=ax(1)求拋物線的解析式;(2)在y軸上找一點(diǎn)E,使得△EAC為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,Q,使得以點(diǎn)P,Q,B,D為頂點(diǎn),BD為一邊的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)求拋物線的解析式;【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式,再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解,即可得出結(jié)論;(2)先求出點(diǎn)A,C坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo),表示出AE,CE,AC,再分三種情況建立方程求解即可;(3)利用平移先確定出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo),即可得出結(jié)論.略【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式,再類型二直角三角形

以直角頂點(diǎn)分類,根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系,利用勾股定理列方程.【例3】(2020·北部灣)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=x+1與直線l2:x=-2相交于點(diǎn)D,點(diǎn)A是直線l2上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l1于點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),連接AC,BC.設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為t,△ABC的面積為s.(1)當(dāng)t=2時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)s關(guān)于t的函數(shù)解析式為s=其圖象如圖2所示,結(jié)合圖1,2的信息,求出a與b的值;類型二直角三角形(3)在l2上是否存在點(diǎn)A,使得△ABC是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)和△ABC的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)在l2上是否存在點(diǎn)A,使得△ABC是直角三角形?若存在【思路點(diǎn)撥】(1)先根據(jù)t=2可得點(diǎn)A(-2,2),因?yàn)锽在直線l1上,所以設(shè)B(x,x+1),在直角三角形中利用勾股定理列方程可得點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)先把(7,4)代入s=t2+bt-中計(jì)算得b的值,計(jì)算在-1<t<5范圍內(nèi)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值:當(dāng)t=2時(shí),根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)可計(jì)算此時(shí)s=,可得坐標(biāo)(2,),代入s=a(t+1)(t-5)中可得a的值;(3)存在,設(shè)B(x,x+1),分兩種情況:①當(dāng)∠CAB=90°時(shí);②當(dāng)∠ACB=90°時(shí),分別根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式和勾股定理列方程可解答.略【思路點(diǎn)撥】(1)先根據(jù)t=2可得點(diǎn)A(-2,2),因?yàn)锽在考點(diǎn)過(guò)關(guān)·當(dāng)堂演練考點(diǎn)過(guò)關(guān)·當(dāng)堂演練專題五

分類討論問(wèn)題——等腰三角形、直角三角形專題五分類討論問(wèn)題——等腰三角形、直角三角形

分類討論是指在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí),無(wú)法用同一種方法去解決,而需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問(wèn)題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題,下面主要以等腰三角形、直角三角形為例.解決此類問(wèn)題的基本方法是:先分類,以分類作為條件,找到幾何關(guān)系,再將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程,從而求出結(jié)果.分類討論是指在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí),無(wú)法用同一種方法去解決考點(diǎn)例析·疑難突破類型一等腰三角形

以等腰三角形的頂點(diǎn)分類,找到兩腰相等的幾何條件,再根據(jù)幾何關(guān)系,列出代數(shù)方程.考點(diǎn)例析·疑難突破類型一等腰三角形【例1】(幾何背景)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=16,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC,交AB于點(diǎn)D,連接PQ.點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t≥0).【例1】(幾何背景)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,A(1)當(dāng)t為何值時(shí),△CPQ的面積為15?(2)當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?(3)是否存在這樣的t,使△ACD為等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)當(dāng)t為何值時(shí),△CPQ的面積為15?【思路點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、解一元二次方程、勾股定理等知識(shí),有一定的綜合性,而運(yùn)用分類討論的思想則是解決本題的關(guān)鍵.(1)由題意可得AP=t,CQ=2t,PC=8-t,然后由△CPQ的面積為15建立關(guān)于t的方程,解方程解決問(wèn)題;(2)由于∠C是公共角,可分△PCQ∽△ACB和△QCP∽△ACB兩種情況討論,然后利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題;(3)由于等腰△ACD的腰不確定,故需分三種情況(①DA=DC;②AD=AC;③CD=CA)討論,然后利用等腰三角形的性質(zhì)或勾股定理解決問(wèn)題.【思路點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性【解析】(1)由題意可得:AP=t,CQ=2t,PC=8-t,則有S△CPQ=×CQ×PC=×2t×(8-t)=15,整理得t2-8t+15=0,解得t1=3,t2=5;(2)①若△PCQ∽△ACB,則有即解得t=4;②若△QCP∽△ACB,則有即解得t=.∴當(dāng)t為4秒或秒時(shí),以點(diǎn)C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似;【解析】(1)由題意可得:AP=t,CQ=2t,PC=8-t(3)存在.連接CD.①若DA=DC,∵DP⊥AC,∴AP=CP=4,∴t=4.②若AD=AC,則有AD=8.∵∠APD=∠ACB=90°,∠A=∠A,∴△APD∽△ACB,∴PD=2t,在Rt△APD中,∵AP2+PD2=AD2,∴t2+(2t)2=82,解得t=(負(fù)值已舍去);(3)存在.連接CD.③若CD=CA,則CD=8.在Rt△CPD中,∵CP2+PD2=CD2,∴(8-t)2+(2t)2=82,解得t1=0(舍去),t2=.∴當(dāng)t的值為4秒或秒或秒時(shí),△ACD為等腰三角形.③若CD=CA,則CD=8.在Rt△CPD中,∵CP2+PD【例2】(函數(shù)背景)(2020·黔東南州)已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).【例2】(函數(shù)背景)(2020·黔東南州)已知拋物線y=ax(1)求拋物線的解析式;(2)在y軸上找一點(diǎn)E,使得△EAC為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,Q,使得以點(diǎn)P,Q,B,D為頂點(diǎn),BD為一邊的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)求拋物線的解析式;【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式,再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解,即可得出結(jié)論;(2)先求出點(diǎn)A,C坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo),表示出AE,CE,AC,再分三種情況建立方程求解即可;(3)利用平移先確定出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo),即可得出結(jié)論.略【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式,再類型二直角三角形

以直角頂點(diǎn)分類,根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系,利用勾股定理列方程.【例3】(2020·北部灣)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=x+1與直線l2:x=-2相交于點(diǎn)D,點(diǎn)A是直線l2上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l1于點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),連接