一元二次方程講義

標(biāo)準(zhǔn)文案標(biāo)準(zhǔn)文案一元二次方程講義考點(diǎn)一、概念定義：①只含有一個未知數(shù)，并且②未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的③整式方程就是一元二次方程。一般表達(dá)式：ax2+bx+c=0(a豐0)注：當(dāng)b=0時可化為ax2+c=0這是一元二次方程的配方式(3)四個特點(diǎn)：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程.要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理.如果能整理為ax2+bx+c二0(a豐0)的形式，則這個方程就為一元二次方程.(4)將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應(yīng)滿足(a工0)(4)難點(diǎn)：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”該項(xiàng)系數(shù)不為“0”未知數(shù)指數(shù)為“2"；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是()A3（A3（x+1）2二2（x+1）1x2Cax2+bx+c=0Dx2+2x=x2+1變式：當(dāng)k時，關(guān)于x的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程。例2、方程(m+2)xm+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為考點(diǎn)二、方程的解⑴概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。(2)應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：TOC\o"1-5"\h\z例1、已知2y2+y-3的值為2,則4y2+2y+1的值為。例2、關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一個根為0,則a的值為。說明：任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)的限制.例3、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)的系數(shù)滿足a+c=b，則此方程必有一根為。說明：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對“代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1”巧解代數(shù)式的值。TOC\o"1-5"\h\z例4、已知a,b是方程x2-4x+m=0的兩個根，b,c是方程y2-8y+5m-0的兩個根，則m的值為。例5、已知口a豐b,a2-2a-1—0,b2-2b-1-0，求a+b—ab變式：若a2-2a-1-0,b2-2b-1-0，則一+-的值為。ba6、方程(a一b2+(--c+c-a-0的一個根為()A—1B1Cb—cD-a7、若2x+5y—3—0,貝卩4x?32y—。考點(diǎn)三、方程解法(1)基本思想方法：解一元二次方程就是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。(2)方法：①直接開方法；②因式分解法；③配方法；④公式法類型一、直接開方法：就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如x2-m(m>0)其解為：x-+\!m※對于(x+a)2-m，(ax+m\—(bx+n\等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程：(1)2x2—8-0;(2)(3x+1)2-7(3)(1-x)2-9=0;(4)9(x-1)2-16(x+2)2(5)9x2-24x+16-11例2、解關(guān)于x的方程：ax2-b-03.下列方程無解的是()C.2x+3-1-xD.x2+9-0A.x2+3-C.2x+3-1-xD.x2+9-0類型二、配方法基本步驟：1.先將常數(shù)C移到方程右邊2.將二次項(xiàng)系數(shù)化為13.方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方4.方程左邊成為一個完全平方式：※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明x2-2x+3的值恒大于0,-10x2+7x-4的值恒小于0。例2、已知x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式x2+y2+2x-4y+7的最小值。TOC\o"1-5"\h\z變式：若t=2^■■-3x2+12x-9，則t的最大值為，最小值為。例3、已知x2+y2+4x-6y+13=0,x、y為實(shí)數(shù)，求xy的值。變式1:已知x2+-x-—-4=0，則x+—=.x2xx變式2：如果a+b+”'□-1|=4Ja-2+2^'b+1-4，那么a+2b-3c的值為例4、分解因式：4x2+12x+3類型三、因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法(x(x-x1-x2實(shí)用文檔實(shí)用文檔實(shí)用文檔實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案標(biāo)準(zhǔn)文案2標(biāo)準(zhǔn)文案2標(biāo)準(zhǔn)文案※方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”※方程形式：如(ax(bx+n(x+a)(r+b)=(x+a)(r+c)，x2+2ax+a2=0※分解方法:提公因式，利用平方差與完全平方公式，十字相乘法針對練習(xí)：例1、2x(x-3)=5(x-3)的根為(Cxi=2,x2=Cxi=2,x2=32(2)-8x4y+6x3y2(2)-8x4y+6x3y2一2x3y(提公因式)(3)(m+n)2一4(m一n)2(平方差)(4)a2+6a+9(完全平方式)(5)一12xy+x2+36y2(完全平方式)(6)(a+b)2+5(a+b)+4(十字相乘法)(7)p2-7pq+12q2(十字相乘法)(8)5n(2m一n)2-2(n一2m)3(提公因式)例3、若(4x+y)2+3(4x+y)—4=0U4x+y的值為例4、方程x2+|x|—6=0的解為()D.x=2，x=一212A.x=一3,x=2B.x=3,xD.x=2，x=一21212121例5、解方程：x2+2('3+1)+2占+4=0

例6、已知2x2-3xy-2y2二0,則的值為。x—y變式：已知2x2-3xy-2y2二0，且x>0,y>0,則廿蘭的值為x—y例7、解下列方程4x+14x-52⑴(2x-3)2=(3x-2)2⑵—-〒=3x+2(4)5m2-17m+14=0(5)(x(4)5m2-17m+14=0類型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式的值，當(dāng)判別式大于等于零時，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式，就可得到方程的根。⑴條件：C豐⑴條件：C豐0,且b2-4ac>0)(2)公式:x二b士'""ac2a,C豐0,且b2一4ac>0)典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程：⑴3(1+x)2=6.⑵(x+3)(+6)=-8.(3)x2一4x+1=0⑸3(x-1)3x+1)=(x-1)2x+5)

說明：解一元二次方程時，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。類型五、“降次思想”的應(yīng)用主要內(nèi)容：⑴求代數(shù)式的值；⑵解二元二次方程組。典型例題：例1、已知x2-3x+2=0，求代數(shù)式"—x2+1的值。x一1例2、如果x2+x-1=0，那么代數(shù)式X3+2x2-7的值。例3、已知a是一元二次方程x2-3x+1=0的一根，求a3一2a2一5a+1的值。a2+1說明：在運(yùn)用降次思想求代數(shù)式的值的時候，要注意兩方面的問題：①能對已知式進(jìn)行靈活的變形；②能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次幕化為低次幕，最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組例4、用兩種不同的方法解方程組2x-y=6,x2-5xy+6y2=0.(1)(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想——化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題考點(diǎn)四、根與系數(shù)的關(guān)系⑴前提：I對于ax2+bx+c=0而言，當(dāng)滿足①a豐0、②A>0時，才能用韋達(dá)定理。⑵主要內(nèi)容：x+x=-—,xx=—112a12a⑶應(yīng)用：|整體代入求值。典型例題:例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2-8x+7=0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（）A.、.；3B.3C.6D.說明：要能較好地理解、運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握a+b、a-—、ab、a2+b2之間的運(yùn)算關(guān)系.例2、解方程組:⑴F+y=10,（2）P2+y2=10，1xy=24;[x+y=2.說明：一些含有x+y、x2+y2、xy的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時，后者顯得更為簡便.例3、已知關(guān)于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x,x，12（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。例4、當(dāng)k取何值時，方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根與m均為有理數(shù)？例5、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)時，小明因看錯常數(shù)項(xiàng)，而得到解為8和2，小紅因看錯了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少？例6、已次口a主b,a2-2a-1=0,b2-2b-1=0，求a+b=ab變式：若a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，則—+-的值為baTOC\o"1-5"\h\z例7、已知a,卩是方程x2-x-1=0的兩個根，那么a4+3P=.測試題目:一、選擇題解方程：3x2+27二0得().(A)x二±3(B)x=-3(C)無實(shí)數(shù)根(D)方程的根有無數(shù)個方程(x-1)2=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-2二、填空方程9x2=25的根是.已知二次方程X2+(t-2)x-t=0有一個根是2,則t=,/r/