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第三節(jié)泰勒定理第三章微分中值定理及導數(shù)的應用一.泰勒定理二.幾個常用函數(shù)的麥克勞林公式三.帶有佩亞諾余項的泰勒公式四.泰勒公式的應用泰勒中值定理泰勒中值定理的產(chǎn)生：微分帶皮亞諾余項的泰勒公式拉格朗日中值定理泰勒公式帶拉格朗日余項的泰勒公式還有帶其它余項的

多項式是一類很重要的函數(shù)，其明顯特點是結構簡單，因此無論是數(shù)值計算還是理論分析都比較方便從計算的角度看，只須加、減、乘三種運算，連除法都不需要，這是其它函數(shù)所不具備的優(yōu)點。

用多項式近似地表示給定函數(shù)的問題不僅具有實用價值，而且更具有理論價值。一般的函數(shù)不好處理先用較好處理的多項式近似替代，然后通過某種極限手續(xù)再過渡到一般的函數(shù)?！耙灾贝本褪怯靡淮味囗検饺ソ平o定函數(shù)一、泰勒定理問題的提出（如下圖）不足:1、精確度不高；2、誤差不能估計。問題:分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交泰勒(Taylor)定理證明:拉格朗日形式的余項注意:麥克勞林(Maclaurin)公式

e

的近似計算公式例二.幾個常用函數(shù)的麥克勞林公式

解：其中,

展開式的具體形式與n

的奇偶性有關.例解：其中,例解：例解：例解：三.帶有佩亞諾余項的泰勒公式

帶皮亞諾余項的馬克勞林公式

常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(!5!3sin221253++++-+-+-=nnnxonxxxxxL)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx+-++-+-=L)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+nnnxonxxxxxL)(1112nnxoxxxx+++++=+L)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx++--++-++=+LL因此，利用帶有佩亞諾余項的泰勒公式可以求出某些函數(shù)的極限。則：例

利用帶有佩亞若型余項的麥克勞林公式，求極限

解

由于分式的分母所以，用帶有佩亞若型余項的三階麥克勞林公式，即解例：求極限四.泰勒公式的應用１、計算函數(shù)的近似值２、用多項式逼近函數(shù)４、證明某些不等式３、證明在某條件下的存在性

應用三階泰勒公式求

sin18o的近似值，并估計誤差。例：１、計算函數(shù)的近似值誤差為：例２、用多項式逼近函數(shù)解：例設f(x)在[0，1]上二次可微證明證將f(x)在x=1處作一階Taylor展開，有將x=0代入上式，得由３、證明在某條件下的存在性該式中等號成立.由泰勒(馬克勞林)公式綜上所述，即得所證.例４、證明某些不等式解：例解：例設f(x)在[0，1]

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