2022年茂名市高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．2．設集合，則()A． B．C． D．3．設a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B．C． D．5．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．6．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．7．設復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若直線經過拋物線的焦點，則（）A． B． C．2 D．9．山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外.據統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在內的概率為（）附：若，則，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.954410．公比為2的等比數(shù)列中存在兩項，，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，（）A． B． C． D．12．造紙術、印刷術、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經濟，文化的發(fā)展產生了巨大的推動作用.某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據此估計該校三級的500名學生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是九位評委打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據的平均分為_______．14．已知點為雙曲線的右焦點，兩點在雙曲線上，且關于原點對稱，若，設，且，則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.15．某學習小組有名男生和名女生.若從中隨機選出名同學代表該小組參加知識競賽，則選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為___________．16．若的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中各項的系數(shù)和是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，討論的單調性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.18．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據，結果統(tǒng)計如表：AQI空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質量造成的經濟損失y（單位：元）與空氣質量指數(shù)x的關系式為，假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質量對應的概率以表中100天的空氣質量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.19．（12分）設橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上，的周長為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：為定值.20．（12分）已知數(shù)列滿足且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）設其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，為的前n項和，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，結合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點，，且平面，，的中點為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據三視圖判斷幾何體的結構特征，利用幾何體的結構特征與數(shù)據求得外接球的半徑是解答本題的關鍵．2．B【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎題.3．D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．4．B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體，分別求解兩個部分的體積，加和得到結果.【詳解】由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個圓柱，上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為：四棱錐體積為：原幾何體體積為：本題正確選項：【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關鍵在于能夠準確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.5．C【解析】

設M,N,P分別為和的中點，得出的夾角為MN和NP夾角或其補角，根據中位線定理，結合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據題意畫出圖形:設M,N,P分別為和的中點，則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知，.作BC中點Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點睛】此題考查異面直線夾角，關鍵點通過平移將異面直線夾角轉化為同一平面內的夾角，屬于較易題目.6．A【解析】

根據題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關系分別求得的值，即可比較各選項.【詳解】如下圖所示，平面，從而平面，易知與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∴結合四個選項可知，只有正確.故選：A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.7．A【解析】

由復數(shù)的除法運算可整理得到，由此得到對應的點的坐標，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復數(shù)對應的點所在象限的求解，涉及到復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.8．B【解析】

計算拋物線的交點為，代入計算得到答案.【詳解】可化為，焦點坐標為，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.9．C【解析】

根據服從的正態(tài)分布可得，，將所求概率轉化為，結合正態(tài)分布曲線的性質可求得結果.【詳解】由題意，，，則，，所以，.故果實直徑在內的概率為0.8185.故選：C【點睛】本題考查根據正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題，考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎題.10．D【解析】

根據已知條件和等比數(shù)列的通項公式，求出關系，即可求解.【詳解】，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式，注意為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎題.11．B【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.12．D【解析】

先求得名學生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

寫出莖葉圖對應的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個數(shù)，平均分為，故答案為1．【點睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算，屬于基礎題．14．【解析】

設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故，由雙曲線定義可得，再求的值域即可.【詳解】如圖，設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故.在中，由雙曲線的定義可得，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線定義及其性質，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學生的運算能力，是一道中檔題.15．【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有，符合條件數(shù)有，后者除以前者即得結果【詳解】從7人中隨機選出2人的總數(shù)有，則記選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為事件，∴故答案為：【點睛】組合數(shù)與概率的基本運用，熟悉組合數(shù)公式16．【解析】

由題意得出展開式中共有11項，；再令求得展開式中各項的系數(shù)和．【詳解】由的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中共有11項，所以；令，可求得展開式中各項的系數(shù)和是：．故答案為：1．【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，考查二項式展開式各項系數(shù)和的求法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當時，求得函數(shù)的導函數(shù)以及二階導函數(shù)，由此求得的單調區(qū)間.（2）令求得，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的單調區(qū)間、極值和最值，結合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當時，遞減，當時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當時，所以當時，有一個極值點，當時，有兩個極值點，當時，沒有極值點，綜上因為是的兩個極值點，所以不妨設，得，因為在遞減，且，所以又所以【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，考查利用導數(shù)證明不等式，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.18．（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）會超過；詳見解析【解析】

（1）利用組合進行計算以及概率表示，可得結果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計算相對應的概率，列出表格可得結果.（ii）由（i）的條件結合7月與8月空氣質量所對應的概率，可得7月與8月經濟損失的期望和，最后7月、8月、9月經濟損失總額的數(shù)學期望與2.88萬元比較，可得結果.【詳解】（1）設ξ為選取的3天中空氣質量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業(yè)9月的經濟損失的數(shù)學期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設7月、8月每天因空氣質量造成的經濟損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質量造成經濟損失總額的數(shù)學期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成經濟損失總額的數(shù)學期望會超過2.88萬元.【點睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學期望，屬基礎題。19．（1）（2）見解析【解析】

(1)由，周長,解得,即可求得標準方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時,求得,再證明的斜率存在時,即可證得為定值.通過設直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關系代入,化簡即可證得即可證得結論.【詳解】（1）由題意得，周長，且.聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標準方程為.（2）①當直線l的斜率不存在時，不妨設其方程為，則，所以，即.②當直線l的斜率存在時，設其方程為，并設，由，，，由直線l與圓E相切，得.所以.從而，即.綜合上述，得為定值.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系中定值問題,考查了學生計算求解能力,難度較難.20．（1）；（2）【解析】

（1）根據已知可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解；（2）由（1）可得/r