2022年秋高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和課件新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第四章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.2.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,能夠運(yùn)用公式解決相關(guān)問題.3.理解并掌握錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法及應(yīng)用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的前n項(xiàng)和名師點(diǎn)撥(1)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比未知或是代數(shù)式時(shí),求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式常需分q=1與q≠1兩種情況進(jìn)行分類討論.(2)當(dāng)q≠1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)求解公式:當(dāng)已知a1,q,n時(shí),用q不明確時(shí),要分類討論

名師點(diǎn)睛(1)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比未知或是代數(shù)式時(shí),求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式常需分q=1與q≠1兩種情況進(jìn)行分類討論.(2)當(dāng)q≠1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)求解公式:當(dāng)已知a1,q,n時(shí),用過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可以直接套用公式

.(

)(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和不可以為0.(

)2.若等比數(shù)列{an}的公比q不為1,其前n項(xiàng)和為Sn=Aqn+B,則A與B有什么關(guān)系?3.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五個(gè)量,已知幾個(gè)量方可以求其他量?××提示

A=-B.提示

三個(gè).知識(shí)點(diǎn)2

錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫做錯(cuò)位相減法,一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積所構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)只有等比數(shù)列才能用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.(

)(2)求數(shù)列{n·3n}的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法.(

)×√重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用【例1】在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,解決下列問題:(1)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.分析(1)根據(jù)條件,建立關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組,求出首項(xiàng)和公比后利用前n項(xiàng)和公式求解.(2)根據(jù)已知條件和前n項(xiàng)和公式建立方程組求解.規(guī)律方法等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問題在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1,q,an,n,Sn中,a1與q是最基本的元素,當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí),均可以用a1與q表示an與Sn,從而列方程組求解.在解方程組時(shí)經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消元的目的.這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.答案

(1)C

(2)32【例2】設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2+S4=S6,求其公比q.分析根據(jù)前n項(xiàng)和公式建立公比q的方程求解,但必須先對(duì)q的值分q=1和q≠1進(jìn)行討論.規(guī)律方法等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的關(guān)注點(diǎn)(1)在利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),若其公比不確定,則應(yīng)對(duì)公比分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.(2)當(dāng)n的值較小時(shí),求Sn可以直接利用Sn=a1+a1q+a1q2+…求解,這樣與

相比較,可以防止忘記分類討論丟掉q=1時(shí)的特殊情況.變式探究

本例中,若條件改為“數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且S3=3a3”,求其公比q的值.探究點(diǎn)二利用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【例3】

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=3x+1上.(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí),數(shù)列{an}是等比數(shù)列?(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求Tn.解

(1)因?yàn)辄c(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=3x+1上,所以an+1=3Sn+1.當(dāng)n≥2時(shí),an=3Sn-1+1.于是an+1-an=3(Sn-Sn-1),即an+1-an=3an,an+1=4an.又當(dāng)n=1時(shí),a2=3S1+1,即a2=3a1+1=3t+1,令

=4,即a2=4a1,即3t+1=4t,所以當(dāng)t=1時(shí),a2=4a1,此時(shí)數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2)由(1),可得an=4n-1,an+1=4n,所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n,那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n)=規(guī)律方法

一般情況下形如cn=an±bn,其中數(shù)列{an}與{bn}一個(gè)是等差數(shù)列,另一個(gè)是等比數(shù)列,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列{bn}滿足,設(shè)cn=an+bn,若數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解

(1)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=2,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且首項(xiàng)為1,公差為2,所以an=1+2(n-1)=2n-1.探究點(diǎn)三用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和規(guī)律方法錯(cuò)位相減法求和的解題策略(1)如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成,此時(shí)可把式子Sn=a1+a2+…+an兩邊同乘公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,兩式錯(cuò)位相減整理即可求出Sn.(2)錯(cuò)位相減法求和是一種非常重要的求和方法,這種方法的計(jì)算過程較為復(fù)雜,對(duì)計(jì)算能力要求較高,應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.要注意通過訓(xùn)練,掌握在錯(cuò)位相減過程中的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié),避免出錯(cuò).(3)使用錯(cuò)位相減法求和時(shí)得到的結(jié)論,可以將n=1,2代入驗(yàn)證是否正確,如本例中當(dāng)n=1時(shí),因此所得結(jié)果正確.變式訓(xùn)練3求數(shù)列an=n·2n的前n項(xiàng)和.解

設(shè)前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,則2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,兩式相減,得-Sn=1×21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1,于是-Sn=21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,故Sn=(n-1)·2n+1+2.

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).(2)等比數(shù)列中與前n項(xiàng)和有關(guān)的基本運(yùn)算.(3)分組求和法和錯(cuò)位相減求和法的應(yīng)用.2.方法歸納:公式法、分組求和法、錯(cuò)位相減求和法.3.常見誤區(qū):等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中項(xiàng)數(shù)的判斷易出錯(cuò).學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)答案

C2.在等比數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,a1=5,S5=55,則公比q等于(

)A.4 B.2C.-2 D.-2或4答案

C解析

依題意可得

=55,代入上式驗(yàn)證得q=-2.3.設(shè)Sn為數(shù)列{an}