人教中考數(shù)學(xué)《平行四邊形的綜合》專項(xiàng)訓(xùn)練

.請(qǐng).請(qǐng)一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE.（1）①猜想圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，不必證明②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度a得到如圖2情形你通過觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷.4DAD圉11圖2e（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4）,且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（aHb,k>0）,第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡(jiǎn)要說明理由.4D衛(wèi)°1（3）在第（2）題圖4中，連接DG、BE，且a=3，b=2，k=〒，求BE2+DG2的值.【答案】（1）①BG丄DE,BG=DE；②BG丄DE，證明見解析；（2）BG丄DE,證明見解析；（3）16.25.【解析】分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到三角形DCE,從而判斷兩條直線之間的關(guān)系；②結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定ABCG^△DCE，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個(gè)三角形相似，從而可以得到1）中的位置關(guān)系仍然成立；（3）連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把BE2+DG2轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬平方和.詳解：（1）①BG丄DE,BG=DE；②T四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZECG=90°,ZBCG=ZDCE,

△BCG竺△DCE,BG=DE,ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90°,.ZCDE+ZDHG=90°,???.BG丄DE.(2)TAB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,.BC_CG_b~DC~~C^~~a，又:ZBCG=ZDCE,.△BCG-△DCE,.ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90°,.ZCDE+ZDHG=90°,.BG丄DE.(3)連接BE、DG.根據(jù)題意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1TBG丄DE,ZBCD=ZECG=90°DAA尸G3ESCc.BEDAA尸G3ESCc.BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.點(diǎn)睛：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.2.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).予Mr>*弐忌n如圖1,當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明ZBMC=90°；如圖2,當(dāng)b>2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在ZBMC=90°,若存在，請(qǐng)給與證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；如圖3,當(dāng)bV2a時(shí)，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)見解析；(2)存在，理由見解析;

(3)不成立．理由如下見解析.【解析】試題分析：(1)由b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得/AMB=ZDMC=45°,則可求得/BMC=90°；由/BMC=90°，易證得△ABM-△DMC，設(shè)AM=x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得方程：X2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定厶>0,即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；由(2)，當(dāng)bV2a,a>0,b>0,判定方程X2-bx+a2=0的根的情況，即可求得答案．試題解析：(1)Tb=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，AB=AM=MD=DC=a,又???在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,ZAMB=ZDMC=45°,.ZBMC=90°．(2)存在，理由：若ZBMC=90°,則ZAMB+ZDMC=90°,又:ZAMB+ZABM=90°,.ZABM=ZDMC，又:ZA=ZD=90°,△ABM-△DMC,.AM_ABCD~DM，xa設(shè)AM=x，則一_,ab一x整理得：x2-bx+a2=0，Tb>2a，a>0，b>0，.△=b2-4a2>0，.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，???當(dāng)b>2a時(shí)，存在ZBMC=90°,(3)不成立．理由：若ZBMC=90°,由(2)可知x2-bx+a2=0，tbV2a,a>0,b>0,?△=b2-4a2<0,.方程沒有實(shí)數(shù)根，???當(dāng)b<2a時(shí)，不存在ZBMC=90°,即(2)中的結(jié)論不成立.考點(diǎn)：1、相似三角形的判定與性質(zhì)；2、根的判別式；3、矩形的性質(zhì)3.如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到到B'的位置，AB'與CD交于點(diǎn)E.(1)求證：△AED^△CEB'【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)知，代一心—，?：：，冷一一-V：一「*」，則由AAE得到A4ED蘭也CEB'；由八可得;；,又由！,’'，即可求得"的長(zhǎng)，然后在嘰的中，利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)，再過點(diǎn)'作-■于“，由角平分線的性質(zhì)，可得/，；',易證得四邊形是矩形，繼而可求得答案.【詳解】(1廠‘四邊形為矩形，■■■CBr-BC-ADLB-山一￡0—90°（2）-上：V"人:.EB'-DE-3vAB'=4B=B■■■AE-AB'?EE—&-2一5在Rt色且DE中AD=J/1F-DE?=4過點(diǎn)'作挙丄于，v￡BrAC=￡BAC^^^.AE,??PK^PG:PHICDAB//CD■■PH1AB''IP、尺共線，-zKHD-lHKA-90°■?四邊形曲欣是矩形,■■HK-AD-外

■■■PG+PH^PK+PH-UK:-4【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí).此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)A（5,0）,點(diǎn)B（0,3）.以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點(diǎn)0,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,E,F.（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H.求證△ADB^△AOB；求點(diǎn)H的坐標(biāo).（3）記K為矩形AOBC對(duì)角線的交點(diǎn)，S為KDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.仆E【答案】（1）D（1,3）；（2）①詳見解析；@H（y，3）；（3）30-3辰心30+3屈4__4■【解析】【分析】（1）如圖①，在RtAACD中求出CD即可解決問題；（2）①根據(jù)HL證明即可；②，設(shè)AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m，在RtAAHC中，根據(jù)AH2=HC2+AC2，構(gòu)建方程求出m即可解決問題；（3）如圖③中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△DEK的面積最小，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△DZEZK的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；【詳解】（1）如圖①中，55圖①???A(5,0),B(0,3),0A=5,OB=3,T四邊形AOBC是矩形，AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=AC=90°,T矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到，.AD=AO=5,在Rt5ADC中，CD=QAD2AC2=4,.BD=BC-CD=1,.D(1,3)．2)①如圖②中,由四邊形ADEF是矩形，得到ZADE=90°,T點(diǎn)D在線段BE上,.ZADB=90°,由(1)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,RtHADB^RtHAOB(HL).②如圖②中，由△ADB^△AOB，得至l」ZBAD=ZBAO,又在矩形AOBC中，OAIIBC,.ZCBA=ZOAB,.ZBAD=ZCBA,BH=AH,設(shè)AH=BH=m，貝HC=BC-BH=5-m,在Rt^AHC中,TAH2=HC2+AC2,.m2=32+(5-m)2,17.m=—,BH=1717二H(—,3).11(3)如圖③中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△DEK的面積最小，最小值=二?DE?DK=-x3xJ3?、30-3^4)=—TOC\o"1-5"\h\z24EB0A圖③尸’EB0A圖③尸’、當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△DEK的面積最大，最大面積=-xD'E'xKD^-x3x/^34、30+3打4(5+)=一24綜上所述:①30+邁.44【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．5.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊厶ABD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交線段AD于點(diǎn)F.DBFEACDBFEAC(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)若AB=6，求平行四邊形ADBC的面積.【答案】(1)見解析；(2)S平行四邊形C一2—?解析】

分析】11(1)在RtAABC中，E為AB的中點(diǎn)，則CE=下AB,BE=3AB,得到上BCE=ZEBC=60°.由△AEF竺△BEC,得上AFE=ZBCE=60°.又上D=60°，得上AFE=ZD=60度.所以FCIIBD,又因?yàn)樯螧AD=ZABC=60°，所以ADIIBC,即FD//BC，則四邊形BCFD是平行四邊形.(2)在RtAABC中，求出BC,AC即可解決問題；【詳解】解：(1)證明：在厶ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,AZABC=60°，在等邊厶ABD中，ZBAD=60°,AZBAD=ZABC=60°,VE為AB的中點(diǎn)，AAE=BE,又：ZAEF=ZBEC,11A△AEF^△BEC,在厶ABC中，ZACB=90°,E為AB的中點(diǎn)，ACE=AB,BE=AB,22ACE=AE,AZEAC=ZECA=30°,AZBCE=ZEBC=60°,又:△AEF竺△BEC,AZAFE=ZBCE=60°,又：ZD=60°,AZAFE=ZD=60°,AFCIIBD,又VZBAD=ZABC=60°,AADIIBC,即FDIIBC,A四邊形BCFD是平行四邊形；(2)解：在RfABC中,VZBAC=30°，AB=6,ABC=AF=3,AC=3翦,AS平行四邊形平行四邊形ADBCbcfd=3x33=3,SAacf=2x3x33=一平行四邊形ADBC【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.6.已知AD是厶ABC的中線P是線段AD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、D重合)，連接PB、PC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，AD與EF交于點(diǎn)M；劉S2如圖1,當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：四邊形EGHF是矩形；如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與△BPE面積相等的三角形(不包括厶BPE本身).【答案】(1)見解析；(2)△APE、△APF、△CPF、△PGH.【解析】【分析】

11(1)由三角形中位線定理得出EGIIAP,EFIIBC,EF=帀BC,GHIBC,GH=-BC,推出EFIIGH,EF=GH,證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF丄AP,推出EF丄EG，即可得出結(jié)論；(2)由厶APE與厶BPE的底AE=BE，又等高，得出S^APE=S^BpE，由厶APE與厶APF的底EP=FP，又等高，得出SaaPe=S“Pf，由△APF與厶CPF的底AF=CF，又等高，得出S"pf=SaCPF，證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出1詳解】1)證明.EGIIAP,沐PGH=2'△AEF=S詳解】1)證明.EGIIAP,TE、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)11EFIIBC,EF=BC,GHIIBC,GH=—BC,

22綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：△APE、△APF、△CPF、△PGH.EFIGH,?四邊形EGHF是平行四邊形,EF=GH,-AB=ACEFIGH,?四邊形EGHF是平行四邊形,EF=GH,-AB=AC,.AD丄BC,.EF丄AP,EGIAP,?EF丄EG,?平行四邊形EGHF是矩形;(2)TPE>△APB的中線，.△APE與厶BPE的底AE=BE,又等高,S=S,△APE△BPEAP是厶AEF的中線，△APE與厶APF的底?EP=FP,又等高,S=S，APE△APFS=S，APF△BPEPF是厶APC的中線，△APF與厶CPF的底AF=CF,又等高,S=S，APF△CPFS=S，CPF△BPEEFIGHIBC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC底邊BC上高的一半,???△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半,TGH=EF,?'△pgh=2S"ef=Saapf，【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵.7.（問題情境）在厶ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD丄AB，PE丄AC，垂足分別為D、E,過點(diǎn)C作CF丄AB，垂足為F.當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如圖1）,求證：PD+PE=CF.證明思路是：如圖2,連接AP，由△ABP與厶ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF.（不要證明）（變式探究）（1）當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變（如圖3）,試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：（結(jié)論運(yùn)用）（2）如圖4,將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG丄BE、PH丄BC,垂足分別為G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值.4（遷移拓展）（3）在直角坐標(biāo)系中，直線J：y=-3x+8與直線l2：y=-2x+8相父于點(diǎn)A,直線I】、l2與x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線-的距離為2.求點(diǎn)P的坐標(biāo).A圖①圖②A圖①圖②【答案】【變式探究】證明見解析【結(jié)論運(yùn)用】8【遷移拓展】（-1，6），（1，10）【解析】【變式探究】連接AP,同理利用厶ABP與厶ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得；【結(jié)論運(yùn)用】過點(diǎn)E作EQ丄BC，垂足為Q,根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)解答即可；【遷移拓展】分兩種情況，利用結(jié)論，求得點(diǎn)P到x軸的距離，再利用待定系數(shù)法可求出P的坐標(biāo).【詳解】變式探究:連接AP,如圖3：TPD丄AB，PE丄AC，CF丄AB,且S=S-S，△ABC△ACP△ABP111AB?CF=AC?PE-AB?PD.222TAB=AC,CF=PD-PE；結(jié)論運(yùn)用:過點(diǎn)E作EQ丄BC，垂足為Q,如圖④,T四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，AD=BC,ZC=ZADC=90°.TAD=16,CF=6,BF=BC-CF=AD-CF=5,由折疊可得：DF=BF,ZBEF=ZDEF..DF=5.TZC=90°,.DC=\DF2—CF2=<102-62=8.TEQ丄BC,ZC=ZADC=90°,.ZEQC=90°=ZC=ZADC..四邊形EQCD是長(zhǎng)方形..EQ=DC=4.TADIIBC,.ZDEF=ZEFB.TZBEF=ZDEF,

ZBEF=ZEFB.BE=BF,由問題情境中的結(jié)論可得：PG+PH=EQ.PG+PH=8..PG+PH的值為8；遷移拓展:如圖,由題意得：A(0,8),B(6,0),C(-4,0).AB=\：6282=10，BC=10.AB=BC,由結(jié)論得：P1D1+P1E1=OA=8TP］D］=1=2,.P］E］=6即點(diǎn)P］的縱坐標(biāo)為6又點(diǎn)P］在直線l2上,.y=2x+8=6,.x=-1,即點(diǎn)P］的坐標(biāo)為(-1,6)；由結(jié)論得：P2E2-P2D2=OA=8TPD=2,22.p2E2=10即點(diǎn)P］的縱坐標(biāo)為10又點(diǎn)P］在直線12上,.y=2x+8=10,.x=1,即點(diǎn)P］的坐標(biāo)為(1,10)利用面積【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)法列出等式是解決問題的關(guān)鍵.利用面積8．閱讀下列材料：我們定義：若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：下列哪個(gè)四邊形一定是和諧四邊形.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形命題：“和諧四邊形一定是軸對(duì)稱圖形"是命題(填"真"或"假”).如圖，等腰RtAABD中，ZBAD=90°.若點(diǎn)C為平面上一點(diǎn)，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC,請(qǐng)求出ZABC的度數(shù).【答案】(1)C;(2)ZABC的度數(shù)為60°或90°或150°.【解析】試題分析：(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)和和諧四邊形定義，直接得出結(jié)論.(2)根據(jù)和諧四邊形定義，分AD=CD,AD=AC，AC=DC討論即可.根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對(duì)角線不能把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，菱形的一條對(duì)角線能把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形夠.故選C.T等腰RtAABD中，ZBAD=90°，二AB=AD.TAC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，???分三種情況討論：若AD=CD，如圖1,則凸四邊形ABCD是正方形，ZABC=90°；若AD=AC，如圖2,則AB=AC=BC，